2021-2022学年河南省南阳市西峡县九年级（上）期末数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年河南省南阳市西峡县九年级（上）期末数学试卷
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
下列式子属于最简二次根式的是
A. B. C. D.
一元二次方程的解是
A. B.
C. ， D. ，
下列说法正确的是
A. “买中奖概率为的奖券张中奖”是必然事件
B. 气象局预报说“明天下雨的概率是”，就是说明天的时间下雨
C. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上
D. “水中捞月”是不可能事件
如图，，与相交于点，：：，，则等于
A.
B.
C.
D.
把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线
A. B. C. D.
如图，点在的边上，如果添加一个条件后可以得到∽，那么以下添加的条件中，不正确的是
A. B.
C. D.
如图，已知：是的直径，的半径为，，则的值等于
A.
B.
C.
D.
如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，把线段放大后得到线段若点，，，则点的对应点的坐标是
A.
B.
C.
D.
如图，抛物线与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴交轴于点，，并与抛物线的对称轴交于点下列结论：；；；其中正确的个数是
A. B. C. D.
如图，在中，，，点、分别是边、的中点，点是以为圆心、以为半径的圆弧上的动点，则的最小值等于
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
已知点在二次函数的图象上，则的值等于______．
如图，是的内接四边形，，点在的延长线上，，则______．
在一个布袋里放有个白球和个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出个球，记下颜色后不放回，再摸出个球，则两次摸出的球都是红球的概率是______．
如图，正方形和正方形的边长分别为和，点，分别在边，上，为的中点，连接，则的长为______．
如图，点是矩形的边上的动点，沿直线将折叠，点落在了点位置．已知：，，则当点恰好落在了矩形的对称轴上时，______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）
计算：．
已知关于的一元二次方程．
若，解这个方程；
若该方程有实数根，求的取值范围．
如图，、两地间有一座山，汽车原来从地到地需要经折线绕山行驶．为加快城乡对接，建立全域美丽乡村，某地区对、两地间的公路进行改建，在这座山打一条隧道，使汽车可以直接沿行驶．已知千米，，求：
开通隧道前，汽车从地到地需要行驶多少千米；
开通隧道后汽车从地到地大约少行驶多少千米？结果精确到千米参考数据：，
在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图象，再根据图象回答后面的问题．
已知直线的解析式是，直接写出不等式的解集为______；
已知点、在二次函数的图象上，且，则、的大小关系是______．
当时，的取值范围是______．
甲、乙两家水果店经销同一种水果，采取不同的降价措施增加销售额，提高利润．
甲水果店原售价每千克元，连续两次降价后每千克元，每次降价的百分率相同．求每次降价的百分率；
乙水果店原来每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，若每千克降价元，日销售量将增加千克．在进货价不变的情况下，乙水果店决定采取适当的降价措施增加销售盈利．乙水果店降价多少元时，每天销售这种水果获利最多？最多可获利多少元？
如图，在四边形中，，，圆心在四边形对角线上的与边相切于点．
求证：是的切线；
若是的中点，点是的中点，，的半径，求的长．
如图，已知抛物线经过点和点解答下列问题．
求抛物线的解析式；
抛物线的顶点为，对称轴与轴的交点为，求线段的长；
点在抛物线上运动，是否存在点使的面积等于？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．
观察发现：如图，在中，，，点是平面内一点，连结、，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结求的值．
拓展应用：如图，点是线段上一点，且，点是平面上的动点，且，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结，求线段的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.是最简二次根式，故本选项符合题意；
C.的被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】
【解析】解：，
，
或，
所以，．
故选：．
先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
3.【答案】
【解析】解：、“买中奖概率为的奖券张中奖”是随机事件，故此选项不合题意；
B、气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着明天大概率下雨，是随机事件，故此选项不合题意；
C、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故此选项不合题意；
D、“水中捞月”是不可能事件，故此选项符合题意；
故选：．
概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
此题主要考查了概率的意义以及方差的意义、随机事件，正确掌握概率的意义是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：，
∽，
，
，
，
故选：．
根据，得∽，则，即可得出答案．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由题意得原抛物线的顶点为，
平移后抛物线的顶点为，
新抛物线解析式为，
故选：．
易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．
考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点．
6.【答案】
【解析】解：、当时，又，∽，故此选项错误；
B、当时，又，∽，故此选项错误；
C、当即时，又，∽，故此选项错误；
D、无法得到∽，故此选项正确．
故选：．
分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：连接，
是的直径，
，
在中，
的半径为，，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据圆周角定理得到，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了位似变换，坐标与图形，正确得出对应点的关系是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系．
【解答】
解：以原点为位似中心，把线段放大后得到线段，且，，
，
，
．
故选B．
9.【答案】
【解析】解：观察图象开口向下，，
所以错误；
对称轴在轴右侧，，
所以正确；
因为抛物线与轴的一个交点的坐标为，
对称轴在轴右侧，
所以当时，，即，
所以错误；
抛物线与轴交于，两点，
，
，
四边形为矩形，
，
，
所以正确．
综上：正确．
故选：．
根据抛物线开口方向即可判断；根据对称轴的位置即可判断；根据图象即可判断；根据抛物线与轴的交点坐标及对称轴可得，再根据，即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是综合运用二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点进行计算．
10.【答案】
【解析】解：在上截取，连接，，，
点、分别是边、的中点，点是以为圆心、以为半径的圆弧上的动点，
，
，，
，
，
∽，
，
，
在中，，，
，
的最小值，
故选：．
在上截取，连接，，，证明∽，可得，则，的当、、三点共线时，的值最小，求出即为所求．
本题考查了阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
11.【答案】或
【解析】解：点在二次函数的图象上，
，即，
解得．
故答案为：或．
把点的坐标代入函数解析式计算即可得解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了函数图象上的点的坐标满足函数解析式．
12.【答案】
【解析】解：是的内接四边形，
，
又，
，
，
，
．
故答案为：．
根据圆内接四边形的性质先求的度数，从而得到的度数，再根据即可求出答案．
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，注意：圆内接四边形的对角互补，并且一个外角等于它的内对角．
13.【答案】
【解析】解：根据题意画图如下：
共有种情况，两次摸出的球都是红球的有种情况，
两次摸出的球都是红球的概率是．
故答案为：．
根据题意先画出树状图，求出总情况数，再根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】
【解析】解：延长交于点，作于点．
则．
是的中点，
是的中位线，
．
直角中，，
是等腰直角三角形，即，
同理中，．
．
在中，．
故答案是
延长交于点，作于点，则是的中位线，求得的长和的长，在中利用勾股定理求解．
本题考查了勾股定理和三角形的中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．
15.【答案】
【解析】解：设，则，，
在中，
，
，
．
设，则，，在中，，即，即可求得的值．
本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】解：原式
．
【解析】首先代入特殊角的三角函数值，再利用完全平方公式、平方差公式、零指数幂进行计算，最后计算加减即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是熟练掌握角的三角函数值，掌握计算顺序．
17.【答案】解：当时，方程为，
解得，；
由题意得，，
．
故的取值范围为．
【解析】把代入，得到，解之可得．
根据该方程有两个不相等的实数根，由根的判别式可求的取值范围．
此题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
18.【答案】解：如图，过点作的垂线，垂足为，
，，千米，
千米，千米，
千米．
开通隧道前，汽车从地到地大约要走千米．
，千米，
千米，
，千米，
千米，
千米．
汽车从地到地比原来少走的路程为：
千米．
开通隧道后，汽车从地到地大约可以少走千米．
【解析】开通隧道前，汽车从地到地要走的距离为的长，利用角的正弦值和余弦值即可算出．
开通隧道后，汽车从地到地要走的距离为的长，汽车从地到地比原来少走的路程为的长，利用角的余弦值和正切值即可算出．
本题主要考查了三角函数在解直角三角形中的应用，明确三角函数的定义式及其变形是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：如图，
抛物线与直线交点坐标为，，
的解集为．
故答案为：．
，
抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，
当时，随增大而减小，
，
．
故答案为：．
，
当时，取最小值为，
，
时，取最大值，
故答案为：．
根据抛物线与直线交点横坐标，结合图象求解．
由抛物线开口方向及对称轴求解．
将抛物线解析式化为顶点式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
20.【答案】解：设每次降价的百分率为，
根据题意，得：，
解得，不符合题意，舍去，
答：每次降价的百分率为；
设乙水果店降价元，每天销售这种水果获利为元，
则
，
该函数图象开口向下，当时，取得最大值，
此时的最大值为元，
答：乙水果店降价元时，每天销售这种水果获利最多，最多可获利元．
【解析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的一元二次方程，然后求解即可，注意下降率不能超过；
根据题意，可以写出与下降的钱数之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，可以求得当为何值时，取得最大值．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和写出相应的函数解析式．
21.【答案】证明：连接，过点作，垂足为，
与相切于点，
，
，，，
≌，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
，
在中，，
，
．
【解析】直线与圆无公共点，作垂直，证半径，所以连接，过点作，垂足为，证明≌，然后利用角平分线的性质定理即可解答；
利用三角形的中位线定理证明，从而可得，最后在中，利用锐角三角函数进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：抛物线经过点，，
，，
即得，，
抛物线的表达式为：；
；
函数的对称轴为直线，顶点，
，
，
；
存在，理由：
的面积，
解得：，
故：，
解得：或或，
故点的坐标为：或或或．
【解析】抛物线经过点，，根据待定系数法即可求解；
先把函数配方得对称轴为直线和点，再由对称性求得即可求得的长；
的面积，解得：，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、解一元二次方程，其中问要注意分类求解，避免遗漏．
23.【答案】解：连接，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，，
∽，
；
作，取，连接，，，，
则和是等腰直角三角形，
由同理得∽，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
．
【解析】连接，由题意知是等腰直角三角形，可说明，，则∽，可得结论；
作，取，连接，，，，则和是等腰直角三角形，由同理得∽，得，再利用三角形三边关系可得答案．
本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
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