2022年2月
高2021级高一下期入学考试试题
数学参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C C D C A B B D B A D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）原式．
（2）原式．
18．（1）由题知=，
则=，则=．
在中，
，则．
（2）由余弦定理得，
即．
又，所以．
的面积．
19．（1）令，当时，，
则可将原函数转化为．
当时，；当时，．
在上的值域为．
（2） 令，当时，，
则关于的不等式对恒成立，
可化为对恒成立，
，即．
又在上为减函数，在上为增函数，
而，，
在上的最大值为．
因此实数的取值范围为．
20．（1）当年产量不足台时，
利润 ；
当年产量不少于台时，
．
所以年利润(万元)关于年产量 (台)的函数关系式为：
．
（2）由（1）得，当时，，开口向下，对称轴为，
故当时，(万元)；
当时，，
根据对勾函数的性质，当时，(万元)．
综上所述，当年产量为台时，利润最大，为万元．
21．（1）由题可知，，
，又，．
函数的解析式为：；
令，
得，
函数的单调递增区间为：．
（2）作出函数在上图象：
函数的零点即函数与图象交点的横坐标，
如图可得．
当时，；
当时，．
22．（1）是奇函数，是偶函数，
，，
则，
，
联立解得：，．
（2）在上单调递增，理由如下：
设，且，
则．
，，，，
，即．
在上单调递增．
（3）函数在上恰有两个零点
等价于方程在上有两个不同的根，
为奇函数，
等价于在R上有两个不同的根，
由（2）知在上单调递增，
在R上有两个不同的根，
显然不满足条件，
，
令，作出的图象：
结合对勾函数图象及函数图象变换得．
答案第1页，共2页
52022年 2月
2021 级高一下期入学考试试题
数学
第 I卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．设集合A = { |0 < < 4}，B = {2,3,4}，则A ∩ B =（ ）
A．{2,3} B．{1,2,3} C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}
2．已知弧长为 的扇形圆心角为 ，则此扇形的面积为（ ）
6
A． B．2 C．3 D．4
3．(预习内容第 31 页第 5 题)在△ ABC中，若AB = 5，AC = 3，BC = 7，则∠BAC =（ ）
2 5
A． B． C． D．
6 3 3 6
4. (第 22页第 3题)函数 ( ) = tan (2 + )的定义域为（ ）
4
π π
A．{ | ≠ kπ + , k ∈ Z, ∈ R} B．{ | ≠ 2kπ + , k ∈ Z, ∈ R}
2 2
π kπ π
C．{ | ≠ kπ + , k ∈ Z, ∈ R} D．{ | ≠ + , k ∈ Z, ∈ R}
8 2 8
5．函数 ( ) = + 2 3的零点所在的区间是（ ）
A．( 2, 1) B．( 1,0) C．(0,1) D．(1,2)
6．(预习内容第 6页第 2题)已知 A B = (3,5)，A C = ( 1,2)，则 C B =（ ）
A．(4,3) B．( 4, 3) C．( 4,3) D．(4, 3)
7．函数 ( ) = 3 + 与函数 ( ) = log ( > 0且 ≠ 1)的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
第 1页 共 4页
8．将函数 ( ) = √3 sin 2 + 2 cos2 1的图象向右平移 个单位长度后得到函数 ( )的图象，6
则函数 ( ) =（ ）
A．2 sin (2 + ) B．2 sin (2 )
6 6
C．2 cos (2 + ) D．2 cos (2 )
6 6
1
9．已知sin( ) = ，则sin(2 ) =（ ）
3 3 6
7 1 1 7
A． B． C． D．
9 9 9 9
( ) ( )
10．若 ( )是定义在R上的偶函数，对 1, 2 ∈ ( ∞, 0]，当 1 ≠ 2时，都有
1 2 > 0，
1 2
1
则 = (sin 3)， = (ln )， = (21.5)的大小关系是（ ）
3
A． > > B． > > C． > > D． > >
11．(第 18页第 5题)若A，B，C是△ ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3 2 5 + 1 = 0的
两个实根，那么△ ABC是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均有可能
12．设函数 ( ) = 2 sin( + ) 1 ( > 0, 0 ≤ ≤ )的最小正周期为4 ，且 ( )在[0,5 ]
2
内恰有 3个零点，则 的取值范围是（ ）
5
A．[0, ] ∪ { } B．[0, ] ∪ [ , ]
3 12 4 3 2
5
C．[0, ] ∪ { } D．[0, ] ∪ [ , ]
6 12 6 3 2
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。
4
13．已知θ ∈ ( , 0)，cos θ = ，则sin 2θ =________．
2 5
, ≥ 2
14．函数 ( ) = { 2 ，则 (0) =________．
( + 1), < 2
15．(预习内容第8页第2题)已知 = (1, )， = ( 1, )，且2 与 垂直，则| | = ________．
|log x|, 0 < x ≤ 2
16．(第 17页第 7题)已知函数 (x) = { 2 ，若方程 ( ) = 有 4个不同的实
(x 3)2, x > 2
x4
数根 1， x2，x3，x4(x1 < x2 < x3 < x4)，则 + x + xx1x2x 3 4的取值范围是________． 3
第 2页 共 4页
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分 10分）
1
2
8 3求值：（1） 1 0 283 0.25 3 π ；
27 2
2
（2） lg 2 lg5 lg5 lg 2 lg 2 lg500 2lg 2 eln2．
18．（本题满分 12分）
(预习内容第 39页第 9题)△ ABC的内角A，B，C的对边分别是 ， ， ，满足2 = + 2 cos A．
（1）求角B的大小；
（2）若 + = 5， = 3，求△ ABC的面积．
19．（本题满分 12分）
已知函数 ( ) = 2 4 ， ∈ [ 2,1]．
（1）求 ( )的值域；
（2）若对 ∈ [ 2,1]，不等式 ( ) > 2 2 恒成立，求实数 的取值范围．
20．（本题满分 12分）
(第 25页第 9题)某企业为紧抓“长江大保护战略”带来的历史性机遇，决定开发生产一款大
型净水设备．生产这种设备的年固定成本为400万元，每生产 台( ∈ N )需要另投入成本
1
( ) (万元) ，当年产量不足75台时， ( ) = 2 + 50 550 (万元) ；当年产量不少于75
3
8100
台时， ( ) = 91 + 2080 (万元) ，若每台设备的售价为90万元，经过市场分析，该
企业生产的净水设备能全部售完．
(1)求年利润 (万元)关于年产量 (台)的函数关系式；
(2)年产量为多少台时，该企业在这一净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少？
第 3页 共 4页
21．（本题满分 12分）
已知函数 ( ) = 2 sin( + ) ( > 0, | | < )，周期 = ， (0) = √3．
2
（1）求函数 ( )的解析式及函数 ( )的单调递增区间；
3
（2）函数 = ( ) 在[0, ]上有两个不同的零点
4 1
， 2，求实数 的取值范围及 1 + 2的
值．
22．（本题满分 12分）
已知定义在R上的奇函数 ( )和偶函数 ( )满足 ( ) + ( ) = 2 ．
（1）求函数 ( )和 ( )的解析式；
（2）判断 ( )在R上的单调性，并用定义证明；
（3）函数 ( ) = (| 2 + 8 + 11|) + ( | + 1|)在R上恰有两个零点，求实数 的取值范围．
第 4页 共 4页
