山西省四校2013届高三上学期第二次联考数学理试题

2013届高三年级第二次四校联考
数学试题（理）
命题： 康杰中学　忻州一中 临汾一中 长治二中
（满分150分，考试时间120分）
一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号)
1．设全集U＝R，集合＝A. (2,3) B. (2,4] C. (2,3)∪(3,4) D. (2,3) ∪(3,4]
2．复数＝A. B. C. D.
3．已知等差数列各项都不相等，A. 0 B.
C. 2 D. 0或
4．阅读如图所示的程序框图，则输出的S＝
A．14 B．20
C．30 D．55
5．从2,4中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为
A．6 B．12
C．18 D．24
6．设分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在一点P，满足到直线的距离等于双曲线的实轴长，则双曲线离心率为A. B. C. D.
7．已知向量，，则A. 2 B. 3 C. D. 4
8．若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程为21世纪教育网A. 　 B. C. D.
9．将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为21世纪教育网
A. B.
C. D.
10．函数的图象大致是

A.　　　　　 B.　 C.　　　　　　 D.
11．已知在平面直角坐标系xOy中，O(0, 0), A(1,-2), B(1,1), C(2,-1)，动点M(x,y) 满足条件，则·的最大值为
A.1 B.-1 C.4 D.-4
12．已知定义域为R上的函数单调递增，如果的值
A．可能为0 B．恒大于0 C．恒小于0 D．可正可负
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上)
13．已知 则实数k的取值范围为 ．
14．在的展开式中，x5的系数为 ．
15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(b－c) cosA＝acosC，则cosA＝______ __．
16．已知是定义在上的函数，且对任意实数，恒有，且的最大值为1，则满足的解集为 ．
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卡的相应位置上)
17．（本小题满分10分）
已知函数．
(Ⅰ)求函数的对称轴方程和最小正周期；
(Ⅱ)求函数上的最大值和最小值．
18．（本小题满分12分）
已知数列的各项均为正数，前项和为，且 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求．
21世纪教育网
19．（本小题满分12分）
高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.
（Ⅰ）求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；
（Ⅱ）设为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求的分布列和数学期望．
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求的单调区间和极值；（Ⅱ）若在[2，4]上为增函数，求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆上的任意一点到它的两个焦点，的距离之和为，且其焦距为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线与椭圆交于不同的两点Ａ，Ｂ．问是否存在以Ａ，Ｂ为直径的圆过椭圆的右焦点．若存在，求出的值；不存在,说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数（为常数，是自然对数的底数）是实数集上的奇函数，函数是区间[－1，1]上的减函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）试讨论函数的零点的个数．
2013届高三年级第二次四校联考
数学参考答案（理）
一、1—5 CDBCD 6—10 DAABA 11—12 CC
二、13.［1，3］ 14. -160

15.  16 .
三、
17. 解 ：(Ⅰ) （3分）
则的对称轴是，k∈Z,最小正周期是是. （5分）
(Ⅱ） （8分）
，所以最大值为，最小值为-2.（10分）
18. 解：（Ⅰ）∵，∴ ①
②
由①－②得： (2分) ，∵
∴，又∵，∴
∴ ---------------(5分)
当时，，符合题意. ----------（6分）
（Ⅱ）∵ ∴-----（10分）
则---------(12分)
19．解：（Ⅰ）设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件A，“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件B.由于事 件A、B相互独立，
且, . …………………4分
所以选出的4人均考《数学解题思想与方法》的概率为
…………………………… 6分
（Ⅱ）设可能的取值为0,1,2,3.得
,
,21世纪教育网
…………… 9分
的分布列为
0
1
2
3
P
∴ 的数学期望 ………12分
20. 解：（1）由，（2分）
又，由>0得
，
所以的单调增区间为，单调递减区间为.（4分）
和随x的变化情况如下表：
（0，1）
1
+
0
－
－
0
+
极大值
极小值
由表知的极大值为极小值为.--（6分）
（Ⅱ），若在区间[2，4]上为增函数，则当时，恒成立，即，----------------------------------------（8分）
21世纪教育网
21．解：（Ⅰ）依题意可知
又∵，解得 ——————21世纪教育网—————————（2分）
则椭圆方程为．—————————————————————（4分）
（Ⅱ）联立方程 消去整理得：（6分）
则
解得 ①————————————————————（7分）

解得 ——————————————（11分）
检验都满足①，————————————（12分）
22. 解：（Ⅰ）是奇函数，则恒成立．
∴ 即
∴……………4分
（Ⅱ）由（I）知∴ ∴
又在[－1，1]上单调递减，在[－1，1]上恒成立。
∴对[－1，1]恒成立，[-cosx]min=-1,∴……………6分
∵ 在上恒成立,即……………7分
=
∴即对恒成立21世纪教育网
令则…………8分
∴ ， ．…21世纪教育网……9分
（Ⅲ）由（I）知21世纪教育网
∴讨论函数的零点的个数,即讨论方程根的个数。
令，，
当上为增函数；
当上为减函数，
∴当时， 而，
、在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当时，方程无解．函数没有零点；---10分
②当时，方程有一个根．函数有1个零点……11分
③当时，方程有两个根．函数有2个零点.…12分