高中数学同步指导试卷苏教版（2019）必修第二册平面向量1 （word含解析）

平面向量
一、单选题
1．已知，点M是△ABC内一点且，则△MBC的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知菱形ABCD的边长为2，设，若恒成立，则向量在方向上投影的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是圆的一条弦，仅由下列一个条件就可以得出的是（ ）
A．圆半径为2 B．圆半径为1
C．圆的弦长为2 D．圆的弦长为1
4．设向量，，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线
6．已知△ABC中，，，点O是△ABC的外心，则（ ）
A．－ B．－ C． D．
7．中，，D为AB的中点，，则（ ）
A．0 B．2 C．-2 D．-4
8．若非零向量满足，则( )
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）
A．，，若，则
B．单位向量，，则
C．若点为的重心，则
D．若，则
10．如图，在直角坐标系中，，，点在轴上且，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．与共线的单位向量的坐标可以是
D．与的夹角的余弦值为
11．已知在等腰中，是底边的中点，则（ ）．
A．在方向上的投影向量为
B．在边上存在点使得
C．
D．
12．在中，，，，的交点为，过的动直线分别交线段，于，两点，若，（，），则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，若点，则的最大值为_________．
14．已知在边长为4的等边中，，则________；
15．已知向量，满足，则___________.
16．已知圆O：x2＋y2＝1，M，N，P是圆O上的三个动点，且满足∠MON＝，则_________.
四、解答题
17．如图，已知，，分别是三边，，上的点，且，，．如果，试用基底表示向量，，．
18．如图，在中，C为直线AB上一点，且．求证：．
19．已知，，与的夹角为，试求：
(1)；
(2)．
20．已知都是空间向量，且，求．
21．已知点,,且，，，求点C，D，E的坐标．
22．如图，已知A（－2，1），B（1，3）．
(1)求线段AB的中点M的坐标；
(2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
结合平面向量的线性运算得到，进而根据等底等高的三角形面积相等即可求出结果.
【详解】
取的中点，因为，所以，故，所以，因为，因此,
故选：C.
2．A
【解析】
【分析】
先由恒成立解得向量与的夹角的取值范围，再去求向量在方向上投影的取值范围即可.
【详解】
设向量与的夹角为
由，可得，
即，
即关于恒成立
则，即
故向量在方向上投影
故选：A
3．C
【解析】
【分析】
根据即可得到结果．
【详解】
解：如图所示，
过点作于点，则是的中点，
所以，
所以．
故选：C．
4．B
【解析】
【分析】
由向量夹角的坐标运算可直接求得结果.
【详解】
，.
故选：B.
5．D
【解析】
【分析】
根据给定条件逐项计算对应三点确定的某两个向量，再判断是否共线作答.
【详解】
平面向量，不共线，，，，
对于A，，与不共线，A不正确；
对于B，因，，则与不共线，B不正确；
对于C，因，，则与不共线，C不正确；
对于D，，即，
又线段与有公共点，则，，三点共线，D正确.
故选：D
6．C
【解析】
【分析】
由△ABC为等腰直角三角形，得出，结合数量积公式计算即可.
【详解】
，即△ABC为等腰直角三角形，即
点O是△ABC的外心，点O是的中点
故选：C
7．A
【解析】
【分析】
取为基底，表示出即可求解.
【详解】
在中，D为AB的中点，，取为基底，
所以,
.
所以.
因为，，所以.
即.
故选：A
8．C
【解析】
【分析】
根据向量加法的性质即可判断：.
【详解】
因为，
∴.
若与共线，由则中有一个必为零向量，
与不共线，即，
.
同理知无法判断之间的大小关系.
故选：C.
9．AD
【解析】
【分析】
根据平面向量平行、模的坐标表示判断AB选项的正确性，利用向量运算、向量共线的知识判断CD选项的正确性.
【详解】
A选项，由于，所以，A错误.
B选项，，B正确.
C选项，依题意是三角形的重心，设是的中点，连接，三点共线，如图所示，则，所以，C正确.
D选项，时就不行，D错误.
故选：AD
10．BD
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的定义可判断A错误；根据平面向量模的计算公式可知B正确；根据向量数乘的概念可判断C错误；根据向量夹角公式可判断D正确．
【详解】
对A，，A错误；
对B，，B正确；
对C，依题可知，，所以与共线的单位向量的坐标是和，C错误；
对D，设与的夹角为，，，，所以，所以，D正确．
故选：BD．
11．BCD
【解析】
【分析】
对于A，利用向量的加法运算和数量积的几何意义判断即可，对于B，如图建立坐标系，利用数量积的坐标运算求解判断，对于C，分别求出和的坐标，然后判断，对于D，利用坐标求解判断即可
【详解】
对于A，因为，在方向上的投影向量为，所以A错误，
对于B，如图建立坐标系，设，则
，
所以，
由，得，得，
因为，所以，所以在边上存在点使得，所以B正确，
对于C，因为，所以，所以，所以C正确，
对于D，因为，所以，所以D正确，
故选：BCD
12．ABC
【解析】
【分析】
由和，求得，得到，可判断A正确，再由，且，得到，可判定B正确；结合基本不等式，可判定C正确，D不正确.
【详解】
由三点共线，则存在实数使得，
同理由三点共线，则存在实数使得，
所以，解得，所以，所以A正确.
又由，且，
可得，解得，则，
可得，所以B正确；
又由，
当且仅当时，等号成立，所以C正确.
又由，可得，所以D不正确.
故选：ABC.
13．
【解析】
【分析】
根据题意求出点A、B的坐标，由平面向量的坐标表示和向量的几何意义写出的表达式，利用三角函数的值域即可求出的最大值.
【详解】
由题意知，
直线分别与x轴、y轴交于点A、B，
则，又，
所以，
有，
则
，其中，
当时，取得最大值，
且最大值为.
故答案为：
14．
【解析】
【分析】
将转化为，进而结合题意及平面向量数量积数量积的运算求得答案.
【详解】
由题意，
.
故答案为：10.
15．
【解析】
【分析】
对两边平方，再根据数量积运算，即可得到答案；
【详解】
因为，所以.
故答案为：
16．1
【解析】
【分析】
利用向量的几何运算将转化为用表示，然后代入数值计算即可.
【详解】
，
，且
故答案为：1
17．，，
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算表示出，，.
【详解】
，
，
.
18．证明见解析
【解析】
【分析】
将条件中的向量都改为以点为起点的向量再变形整理即可证明.
【详解】
由，有，整理得，即.
19．(1)
(2)
【解析】
【分析】
直接利用即可求解.
(1)
因为，，与的夹角为
所以，
即.
(2)
因为，，与的夹角为
所以，
即.
20．
【解析】
【分析】
将两边平方展开可得的值，再计算的值，进而可得的值.
【详解】
，
因为，，
所以，
所以，
可得.
21．
【解析】
【分析】
设点C，D，E的坐标，根据向量的等量关系列出方程求解未知数
【详解】
由题得：，设，则，， ，根据题意得： 得： ，得：；得：，所以点C，D，E的坐标分别为
22．(1)；
(2)或.
【解析】
【分析】
（1）根据中点坐标公式进行求解即可；
（2）根据平面共线向量的性质进行求解即可.
(1)
设，
因为A（－2，1），B（1，3），
所以，即；
(2)
设，
当时，有；
当时，有.
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