高中数学同步指导试卷苏教版（2019）必修第二册解三角形1（word版含解析）

高中数学同步指导试卷苏教版（2019）必修第二册解三角形
一、单选题
1．如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，某人先在塔的正西方点C处测得塔项的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60到达点D处，在D处测得塔项的仰角为，则铁塔AB的高度是（ ）
A．50 B．30 C．25 D．15
2．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，若，则∠C=（ ）.
A．60° B．120° C．135° D．150°
4．东寺塔和西寺塔为昆明市城中古景，分别位于昆明市南面的书林街和东寺街，一东一西隔街相望，距今已有1100多年历史，在二月的梅花和烟雨中，“双塔烟雨”成为明清时的“昆明八景”之一.东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称.如图，从东到西的公路上有相距80（单位：）的两个观测点，在点测得塔在北偏东60°的点处，在点测得塔在北偏西30°，塔顶的仰角为45°，则塔的高度约为（ ）
A． B． C． D．
5．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（ ）
A．等腰非等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为( )
A． B．
C． D．
7．设的三个内角满足，又，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
8．已知在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（ ）
A．若2cos C(acos B＋bcos A)＝c，则C＝
B．若2cos C(acos B＋bcos A)＝c，则C＝
C．若边BC的高为a，则当取得最大值时，A＝
D．若边BC的高为a，则当取得最大值时，A＝
10．已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若是锐角三角形，则
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若是等边三角形，则
11．在中，角、、的对边分别是，，且．若，有下列说法：①；②的取值可以为；③的面积没有最小值；④的面积的最大值为，其中正确说法为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
12．在△ABC中，角，，的对边分别为，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．在锐角三角形中，不等式恒成立
B．若则△ABC为锐角三角形
C．若acosB＝bcosA＋c，则△ABC一定是直角三角形
D．若，则△ABC一定是锐角三角形
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．如图，在单位圆中，， 分别在单位圆的第一 二象限内运动，若，为等边三角形，则___________.
14．中，内角，，的对边分别为，，，若面积为，，且，则________．
15．在中，，，，则__________.
16．在中，∠A=60°，AB=1，AC=2，则BC=___________.
四、解答题
17．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求该三角形的周长；若问题中的三角形不存在，请说明理由.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，______.
18．如图，四边形内接于一个圆中，其中为直径，，，.
(1)求的长；
(2)求的面积.
19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求B.
(2)___________，若问题中的三角形存在，试求出；若问题中的三角形不存在，请说明理由.
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在横线上.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
20．如图，为测量河对岸A，B两点的距离，在河的这边取C，D两点观察，测得，，，，（A，B，C，D在同一平面内），求A，B两点之间的距离．
21．如图，已知的半径为R，为其内接等边三角形，求的边长和的外接圆半径．
22．如图，一艘船以的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东20°方向上，30min后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东60°方向上，求灯塔S到B处的距离（精确到，参考数据：，）．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
计算得到，，在中利用余弦定理计算得到答案.
【详解】
设塔高的高度为，在中，因为，所以；
在中，因为，所以；
在中，，，，
根据余弦定理可得，，
即，解得或（舍去）.
故选：B.
2．A
【解析】
【分析】
先根据求出关系，代入面积公式，利用二次函数的知识求解最值.
【详解】
因为，所以，
即；
由正弦定理可得，所以
；
当时，取到最大值.
故选：A.
3．B
【解析】
【分析】
结合余弦定理求得正确答案.
【详解】
由，得，
由于，所以.
故选：B
4．A
【解析】
【分析】
根据给定信息作出图形，在直角三角形中直接计算作答.
【详解】
如图，依题意，，，，
于是得，，在中，，
所以塔的高度约为.
故选：A
5．B
【解析】
【分析】
由条件可得，由正弦定理结合三角形中有，利用正弦的和角公式可得，从而可得出答案.
【详解】
由，可得，所以，
所以.
在中，，故，
因为，所以，因为，所以，
故为直角三角形.
故选：B
6．C
【解析】
【分析】
根据已知条件结合正弦定理边化角可得，结合和余弦定理可得cosA和，根据三角形面积公式可得面积.
【详解】
∵，
结合正弦定理可得，
可得，∵，
结合余弦定理，可得，
∴A为锐角，且，从而求得，
∴的面积为．
故选：C.
7．B
【解析】
【分析】
根据给定条件可得，再利用正弦定理角化边，借助余弦定理计算判断作答.
【详解】
因的三个内角，而，则，
又，由正弦定理得：，
由余弦定理得：，整理得，即，是等腰三角形，
所以是等边三角形.
故选：B
8．D
【解析】
【分析】
由正弦定理把,表示为的函数，然后利用二倍角公式，两角和与差的余弦公式变形，并结合余弦函数性质得范围．
【详解】
由正弦定理得，则，，又，则，
所以
，
，所以，所以，
所以．
故选：D．
9．AC
【解析】
【分析】
根据正弦正理、三角形面积公式，结合余弦定理和辅助角公式进行判断即可.
【详解】
因为在△ABC中，0即2cos C·sin C＝sin C，又sin C≠0，所以cos C＝，所以C＝，故A正确，B错误.
对于C，D，由等面积法得×a2＝bcsin A，所以a2＝2bcsin A，
又b2＋c2＝a2＋2bccos A＝2bcsin A＋2bc·cos A，
则＝2sin A＋2cos A＝4sin≤4，当且仅当A＋＝＋2kπ，k∈Z，即A＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值4，又0故选：AC
10．ACD
【解析】
【分析】
利用诱导公式及正弦函数的性质可判断A，由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B，由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C，利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断D.
【详解】
对于A，因为是锐角三角形，所以，所以，即，故A正确；
对于B，由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，由及正弦定理化边为角，可知，即，因为为的内角，所以，所以是等腰三角形，故C正确；
对于D，由是等边三角形，所以，所以，由正弦定理，故D正确.
故选：ACD.
11．BCD
【解析】
【分析】
根据已知条件结合可得可判断①；由可判断②；由余弦定理结合基本不等式求出的范围，再由三角形的面积公式计算面积可判断③④，进而可得正确选项.
【详解】
由，得，即，
因为，所以，即，又因为，所以，故①不正确；
因为，所以，故的取值可以为，故②正确；
由余弦定理可得，
所以，所以，
即面积的最大值是，无最小值．故③，④正确；
故选：BCD.
12．ABC
【解析】
【分析】
直接利用三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用进一步判定结果．
【详解】
解：对于A：若为锐角三角形，则为锐角，所以，由余弦定理，所以，故A正确；
对于B：假设为钝角三角形，不妨设，则，
，与题设矛盾．
又不是直角三角形，直角没有正切值，为锐角三角形，故B正确．
对于C，由余弦定理知，，化简整理得，为直角三角形，故C正确；
对于D：因为，所以，即，故，则由余弦定理可得，整理得，则是直角三角形，故D错误；
故选：ABC
13．##
【解析】
【分析】
先根据三角形面积公式求出，然后结合两角和与差的正弦公式求得答案.
【详解】
由题意，，而点N在第二象限，所以，因为，所以.
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
先由三角形的面积求出，再由余弦定理可求出结果
【详解】
由，得，
所以．
从而．
故答案为：
15．
【解析】
【分析】
由已知在中利用余弦定理可得的值，可求，可得，即可得解的值．
【详解】
解：因为在中，，，，
所以由余弦定理可得，
所以，即，
则．
故答案为：．
16．
【解析】
【分析】
根据给定条件利用余弦定理计算作答.
【详解】
在中，，AB=1，AC=2，由余弦定理得：
，则，
所以.
故答案为：
17．答案见解析.
【解析】
【分析】
根据可求B的大小.
若选①：根据正弦定理角化边，由得，根据余弦定理可求a和c；
若选②：根据余弦定理角化边，由可得a和B的关系，再结合余弦定理可求a和c；
若选③：由可求c，再根据余弦定理可求a.
【详解】
在中，，
∴，
∵，∴，
化简得，在中，，∴，
又∵，∴，
又∵，∴，即，
若选①，
∵，即，
又，∴，，
故此时存在，其周长为；
若选②，
∵，∴，
即，
又，∴，
故此时存在，其周长为；
若选③，
∵，∴，
又∵，∴，
该方程无解，∴三角形不存在.
18．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理可求得，利用正弦定理可求得结果；
（2）利用勾股定理可求得，利用三角形面积公式可得结果.
(1)
在中，由余弦定理得：
，解得：，
设为外接圆半径，由正弦定理得：，
即.
(2)
为直径，，
，，又，
.
19．(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理及正弦的两角和公式可求解；
（2）选择条件①，由正弦定理及辅助角公式可求解；选择条件②，由余弦定理及正切三角函数可求解；选择条件③，由余弦定理可求解.
(1)
由，可得，则.
∴，
在中，，
则，∵，∴，∴，∵，∴.
(2)
选择条件①
，在中，，可得，
∵，∴，
∴，
根据辅助角公式，可得，
∵，∴，即，
故.
选择条件②
由，得，
∵，∴，因此，，
整理得，即，则.
在中，，∴.
故.
选择条件③
由，得，
即，
整理得，
由于，则方程无解，故不存在这样的三角形.
20．km
【解析】
【分析】
由题意，先计算得，，，由正弦定理计算，再由余弦定理计算
【详解】
∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠DCB﹣∠ACB＝30°，∠DBC＝180°﹣∠DCB﹣∠ADC﹣∠ADB＝60°
在△ADC中由正弦定理得：
∴
在△CDB中由正弦定理得：
∴
在△ADB中由余弦定理得：AB2＝DB2+AD2﹣2DB×ABcos∠ADB＝2+9﹣2××3×＝5
∴AB＝km
答：A、B两点间的距离为km
21．的边长为，的外接圆半径为.
【解析】
【分析】
运用正弦定理，结合圆的性质进行求解即可.
【详解】
设等边三角形的边长为，的外接圆半径为，
由正弦定理可知：；
在中，由圆的性质可知：，
由正弦定理可知：，
所以的边长为，的外接圆半径为.
22．
【解析】
【分析】
根据题意，计算得的值，根据正弦定理计算.
【详解】
在中，，，，由正弦定理得，，即，所以灯塔S到B处的距离为
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