高中数学同步指导试卷苏教版（2019）必修第二册解三角形2（word版含解析）

高中数学同步指导试卷苏教版（2019）必修第二册解三角形
一、单选题
1．在△中，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，的对边分别为，，，若，则最大角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．1
4．已知锐角△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积，且，则S的最大值为（ ）
A．6 B．4
C．2 D．1
5．在中，若，，，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解 B．两解
C．一解 D．解的个数不能确定
6．某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，则A，B间的直线距离约为（参考数据）（ ）
A．60米 B．120米 C．150米 D．300米
7．锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D．已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站A，B在江的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件能使得△ABC的形状唯一确定的是（ ）
A．a=1，b=2，c=2
B．A=150°，asin A+csin C+asin C=bsin B
C．a=，b=2，A=30°
D．C=60°，cos Asin Bcos C+cos（B+C）cos Bcos C=0
10．在中，若，则下列说法正确的是（ ）
A．为钝角 B． C． D．
11．在中，角所对的边分别是，且，若满足条件的唯一确定，则的可能值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
12．的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则有两解
C．若为钝角三角形，则
D．若，，则面积的最大值为
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．对于，有如下四个命题:
①若 ，则为等腰三角形，
②若，则是直角三角形
③若，则是钝角三角形
④若，则是等边三角形.
其中正确的命题序号是_________
14．锐角，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，D为AB的中点，则中线CD的范围为______________.
15．已知锐角的面积为9，，点D在边上，且，则的长为__________．
16．拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在△ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D，E，F，若，利用拿破仑定理可求得AB＋AC的最大值为___．
四、解答题
17．在中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，．
(1)若，求；
(2)若，且，求的面积．
18．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.
(1)求角B的大小；
(2)若，，求△ABC的面积.
19．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且，．
(1)求角B的大小；
(2)若，求△ABC的面积．
20．如图，在山顶P点已得三点A，B，C的俯角分别为，，，其中A，B，C为山脚下两侧共线的三点，现欲沿直线AC挖掘一条隧道，试根据测得的AD，EB，BC的长度，建立估计隧道DE长度的数学模型．
21．如图，两名搬家工人要将一个大衣柜搬出房间，已知衣柜长1.5m，宽0.8 m，高2.5 m，房门的宽为1.2 m，高为2.2 m．试问此衣柜的倾斜度要在多少度以下，才能顺利通过房门？（，，）
22．已知函数．
(1)若，求函数的值域；
(2)在中，，，且锐角B满足，求b的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
通过正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式可得，进而可得结果.
【详解】
因为，
由正弦定理可得，
由于，即，所以，得，
故选：C.
2．B
【解析】
【分析】
利用正弦定理和余弦定理进行求解.
【详解】
解：
由正弦定理得:
设
根据余弦定理可知
又
所以，根据正弦定理可知长边对大角，故最大角的弧度数为.
故选：B
3．A
【解析】
【分析】
利用正弦定理及两角和的正弦公式可得，进而可求，再利用同角关系式即求.
【详解】
∵，
∴，
∴，又，，
∴，又，
∴.
故选：A.
4．C
【解析】
【分析】
由三角形的面积公式求得，再由余弦定理求得，根据基本不等式可求得答案.
【详解】
解：由得，又△ABC是锐角三角形，所以，
由余弦定理及得，整理得，所以(负值舍去)，
所以，所以，，当时取等号，
故选：C．
5．C
【解析】
【分析】
求出的值，结合大边对大角定理可得出结论.
【详解】
由正弦定理可得可得，
因为，则，故为锐角，故满足条件的只有一个.
故选：C.
6．C
【解析】
【分析】
应用正弦定理有，结合已知条件即可求A，B间的直线距离.
【详解】
由题设，，
在△中，，即，
所以米.
故选：C
7．B
【解析】
【分析】
由题得，即，进而得，再结合对勾函数的性质求解即可.
【详解】
解：因为在锐角中，，
所以，得，则
所以，
令，则，
所以函数在单调递减，在单调递增，
又，，
所以的最小值为.
故选：B
8．D
【解析】
【分析】
根据题意可得，，利用正弦定理求出BC，进而结合余弦定理即可求出AB.
【详解】
在中，，
所以，有，所以，
在中，，
由正弦定理，得，
在中，由余弦定理，得
，
所以，即两个基站A、B之间的距离为.
故选：D
9．AC
【解析】
【分析】
A：由证明三角形全等的定理“SSS”可以判断出这样的三角形是唯一的；
B：利用正弦定理和余弦定理求出，可以判断出不满足内角和定理，即可下结论；
C：先求出边长c，再根据，证明三角形全等的定理“SSS” 可以判断出这样的三角形是唯一的；
D：直接解三角形即可..
【详解】
A中，a=1，b=2，c=2，任意两边都满足两边之和大于第三边，能够构成三角形，由证明三角形全等的定理“SSS”可以判断出这样的三角形是唯一的.故A正确；
B中，对于asin A+csin C+asin C=bsin B，由正弦定理可知a2+c2+ac=b2，
∴cos B=，因为，所以
此时A=150°，B=135°，不满足内角和定理，所以三角形无解；
C中，因为a=，b=2，A=30°，由余弦定理得：，即
，解得：，任意两边都满足两边之和大于第三边，能够构成三角形，由证明三角形全等的定理“SSS”可以判断出这样的三角形是唯一的.故A正确；
D中，cos Asin Bcos C+cos（B+C）cos Bcos C=0，
∴cos（B+C）cos C（cos B-sin B）=0，
∴B=45°或者B+C=90°，B=30°，三角形的解不唯一.
故选：AC
10．BC
【解析】
【分析】
选项A，转化，结合题干条件，可得，故可判断；
选项B，，可得，可判断；
选项C，转化，代入，可判断；
选项D，，结合均值不等式和，可判断
【详解】
为锐角，故选项A不正确；
又，化简得，故选项B正确；
将代入得：
故选项C正确；
当且仅当时等号成立
，故选项D不正确
故选：BC
【点睛】
本题考查了解三角形综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
11．ABD
【解析】
【分析】
根据唯一确定，得到或，求解即可得到的可能值.
【详解】
若满足唯一确定，
则或，
故选：ABD.
12．ABD
【解析】
【分析】
对于A选项，由，得到，再利用正弦定理判断；对于B选项，由判断；对于C选项，由为钝角三角形且为钝角，利用余弦定理判断； 对于D选项，利用余弦定理与基本不等式集合三角形面积公式求解判断.
【详解】
对于A选项，若，则，由正弦定理可得，所以，，A选项正确；
对于B选项，，则，如图：所以有两解，B选项正确；
对于C选项，若为钝角三角形且为钝角，则，可得，C选项错误；
对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得，即，当且仅当时，等号成立，
所以，D选项正确．
故选：ABD
13．③④
【解析】
【分析】
对于①可得或；②若可判断；③由正弦定理得，即，是钝角三角形；④由正弦定理知，进而，可判断.
【详解】
解：对于①可推出或，故不正确；
②若，显然满足条件，但不是直角三角形；
③由正弦定理得，所以，是钝角三角形；
④由正弦定理知，由于半角都是锐角，所以，三角形是等边三角形.
故答案为：③④
14．
【解析】
【分析】
由正弦定理及切化弦等得，再由余弦定理及向量知识得，再由正弦定理统一角与函数名称求解即可.
【详解】
由，
则，，.
，
由余弦定理有：，
所以，，
由正弦定理
，，因为为锐角三角形，所以且，则，，
故答案为：
15．4
【解析】
【分析】
先求出，利用面积为9求出，在中，由余弦定理求出．
【详解】
因为，所以，所以，则，所以，所以，，所以．
在中，由余弦定理得，解得．
故答案为：4
16．
【解析】
【分析】
结合拿破仑定理求得，利用勾股定理列方程，结合基本不等式求得AB＋AC的最大值.
【详解】
设BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图，连接AF，BD，AD．
由拿破仑定理知，△DEF为等边三角形．
因为D为等边三角形的中心，所以在△DAB中，，
同理．
又，
所以．
在△ADF中，由勾股定理可得，
即，化简得，
由基本不等式得，解得
（当且仅当时取等号），所以．
故答案为：
17．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由两角和的正弦公式展开，并利用正弦定理化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦公式变形后可求得角，对由正弦定理化边为角后，由三角函数恒等变换可求得；
（2）已知等式利用正弦定理可得关系，再由余弦定理得关系，从而可求得，最后由三角形面积公式计算可得．
(1)
由展开得，
又由正弦定理可知，
在中，，
所以，
又，则，∴，
∴，得．
又，，
∴，；
若，由正弦定理得，
又，∴，
得，
所以，
又，∴，
所以，
又，，所以；
(2)
由，及正弦定理知．
由，所以，
又由余弦定理得，即，
整理可得，
∵，可得，所以．
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理进行求解即可；
（2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可.
(1)
由正弦定理可得，
又，所以，因此，
又，所以；
(2)
由余弦定理，得，
所以，
所以△ABC的面积.
19．(1)；
(2)或.
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理的边角关系，及已知条件可得，再根据三角形内角性质求B的大小；
（2）由（1）及余弦定理求c，再根据三角形面积公式求面积即可.
(1)
由正弦定理知：，则，
所以，则且，可得或，
又，所以.
(2)
由题设，，则，又，
所以，整理得，解得，满足题设.
由，
所以，当时；当时；
20．.
【解析】
【分析】
在中，正弦定理可得PB，在中，由正弦定理可得，再计算，即可得出答案．
【详解】
在中，，，
由正弦定理可得，
∴，
在中，∵，，
∴，
由正弦定理可得，
∴，
∴.
21．.
【解析】
【分析】
根据题意，只需，结合已知条件，求得，以及的最大值，即可求得的最大值.
【详解】
根据题意，要顺利通过房门，只需，
又，
故，则
又，则，
又，故.
故衣柜的倾斜度要在以下，才能顺利通过房门.
故答案为：.
22．(1)；
(2)1
【解析】
【分析】
（1）先把化简为，即可求出值域；
（2）先求出角B，利用余弦定理即可求出b.
(1)
.
当时，，所以，所以，
即函数的值域为.
(2)
因为锐角B满足，所以，解得：
在中，，，，
由余弦定理得：.
即边长.
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