高中数学同步指导试卷苏教版（2019）必修第二册立体几何初步1（word版含解析）

必修第二册立体几何初步
一、单选题
1．某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
2．四氯化碳是一种有机化合物，分子式为，是一种无色透明液体，易挥发，曾作为灭火剂使用．四氯化碳分子的结构为正四面体结构，四个氯原子（Cl）位于正四面体的四个顶点处，碳原子（C）位于正四面体的中心．则四氯化碳分子的碳氯键（C-Cl）之间的夹角正弦值为（ ）．
A． B． C． D．
3．在棱长为6的正方体内有一个正四面体，该四面体外接球的球心与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则该四面体的棱长的最大值为（ ）．
A． B．4 C． D．
4．在正方体中，，E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为（ ）
A． B． C．4 D．
5．如图，正三棱锥 中，，该三棱锥外接球的表面积为，则正三棱锥的体积为（ ）
A．2 B． C． D．
6．设m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确的是（　　）
A．若α⊥β，l α，m β，则l⊥m； B．若α∥β，l α，m β，则l∥m；
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β； D．若l α，l⊥m，l⊥n，m∥β，n∥β，则α⊥β.
7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：）是（ ）
A．8 B． C． D．
8．已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，，表示不同的平面，则下列推理正确的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．， D．，，
10．若m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的有（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
11．如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．平面
C．与所成的角的余弦值为
D．点到平面的距离为
12．某艺术比赛提倡能力均衡发展，特别将水晶奖杯设计成具有对称美的形状．其形如图所示，是将棱长为的正四面体沿棱的三等分点，作平行于底面的截面得到所有棱长均为的空间几何体，则下列说法正确的是（ ）
A．该几何体的体积为 B．该几何体的外接球表面积为
C．该几何体的表面积为 D．该几何体中，二面角的余弦值为
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．已知三棱锥的所有棱长均为，点分别为中点，点在直线上，点在平面上，则的最小值为__________．
14．已知A、B、C、D为空间不共面的四个点，且，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为______．
15．三棱锥中，与均为边长为的等边三角形，平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为________．
16．如图，在正四棱锥中，为棱PB的中点，为棱PD的中点，则棱锥与棱锥的体积之比为______．
四、解答题
17．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图：
(1)边长为的正三角形；
(2)边长为的正方形；
(3)边长为的正八边形．
18．如图甲，在 中，∠B=90°，BC=1，AB=2，D、E分别是AB、AC边上的动点（除去端点），满足，.现将△ 沿DE折起，使点A到达点A'的位置，连接A'B，A'C得到如图乙所示的四棱锥A'-DBCE.
(1)设l为平面A'DE与平面的交线，求证：l//平面DBCE；
(2)若A'D⊥BD，则当为何值时，四棱锥A'-DBCE的体积最大？
19．某型号氧气瓶形状如图所示，可看作是由一个圆柱和一个圆台组合而成（设氧气瓶中氧气已充满，图中所给尺寸是氧气瓶的内径尺寸）．某潜水员身背该型号氧气瓶潜入水深am的湖底进行某项工作，其匀速下潜和上浮的速度均为v m/min．该潜水员下潜时每分钟耗氧量与其下潜速度的平方成正比，经测验，当其下潜速度为1 m/min时，每分钟耗氧0.2 L；在湖底工作时，每分钟耗氧0.4 L；上浮时，每分钟耗氧0.2 L．若下潜与上浮时，他的速度均不能超过pm/min，试问：该潜水员在湖底最多能工作多长时间（π取3.14，氧气瓶体积计算精确到1 L，a，p为常数）？
20．如图，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，点E、F分别为AD、PC的中点.
(1)证明：平面PBE；
(2)求三棱锥P-BDF的体积与四棱锥P-ABCD的体积之比.
21．如图，在长方体的各面所在的平面中，分别写出与直线AB，，AD平行的平面.
22．如图，在三棱锥中，平面平面，且，．
(1)求证：；
(2)求直线与所成角的余弦值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
首先还原几何体，再利用锥体的体积公式，即可求解.
【详解】
由题意可知几何体的形状如图：
是矩形，，所以几何体的体积为.
故选：B．
2．D
【解析】
【分析】
将四面体放入正方体中进行计算，结合正方体和正四面体的几何特点，借助余弦定理即可容易求得结果.
【详解】
如图所示，正方体的棱长为a，正四面体的棱长为，
又该正方体的体对角线长度为，故，
根据题意可知，所求夹角为，
在中，由余弦定理可得：，
故，即四氯化碳分子的碳氯键（C-Cl）之间的夹角正弦值为.
故选：D．
3．D
【解析】
【分析】
结合正方体的内切球及其内切球的正四面体的结构特征，利用勾股定理求得所求的最大棱长.
【详解】
由题意得，该正四面体在正方体的内切球内，故该四面体内接于球时棱长最大．
正方体的内切球半径为，如图，记正四面体为，棱长为a，O为底面ABC的中心，
四面体外接球的球心为，连接PO，OC，，则PO⊥底面ABC，
，，，
在中，，解得．
故选：D
4．D
【解析】
【分析】
先作出平面截正方体的截面，再求出截面的高，由梯形面积公式得出截面面积.
【详解】
取的中点为M，连接EM，，则，且，则．又正方体中，，所以，，因此，所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，因此该等腰梯形的高为，所以该截面的面积为．
故选：D．
5．B
【解析】
【分析】
根据三棱锥的几何特点，结合正方体外接球的球半径公式，求得三棱锥的棱长，再根据棱锥体积的计算公式，代值计算即可.
【详解】
因为三棱锥为正三棱锥，所以，．
又因为，所以三条侧棱AB，AD，AC两两垂直，不妨设，
则三棱锥外接球即为棱长为a的正方体的外接球，且球的直径为．
又三棱锥外接球的表面积为，即外接球的直径为，即，
所以正三棱锥的体积.
故选：B．
【点睛】
本题考察三棱锥的外接球半径的求解，解决问题的关键是根据几何体的特点将其转化为求正方体外接球的半径，属中档题.
6．C
【解析】
【分析】
对于选项A，B，D，举出符合选项条件的事例判断；对于C，推理说明判断作答.
【详解】
对于A，在长方体中，令平面为平面，平面为平面，如图，
直线AB为直线l，直线为直线m，满足，而l与m不垂直，A不正确；
对于B，在A选项的长方体中，令平面为平面，平面为平面，
直线AB为直线l，直线为直线m，满足，而，B不正确；
对于C，过l作平面，如图，因，则，又，而，于是得，所以，C正确；
对于D，在A选项的长方体中，令平面为平面，平面为平面，
直线AB为直线l，直线AD，BC分别视为m，n，满足，而，D不正确.
故选：C
7．B
【解析】
【分析】
根据三视图，还原几何体，再根据棱柱和棱锥的体积公式求组合体的体积即可.
【详解】
根据三视图还原几何体如下：
直棱柱底面是为直角的等腰直角三角形，且，高；
棱锥和棱柱同底，且高，
故该组合体的体积.
故选：B.
8．C
【解析】
【分析】
设圆锥的高为h，母线长为l，根据圆锥的侧面积公式求出，再利用勾股定理求出，最后根据体积公式计算可得；
【详解】
解：设圆锥的高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积，故，故圆锥的体积．
故选：C．
9．ABD
【解析】
【分析】
根据点线面的位置关系即可得到答案.
【详解】
根据公理1可知A正确；
根据公理3可知B正确；
易知D正确；
点A可以为的交点，C错误.
故选：ABD.
10．AC
【解析】
【分析】
根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项，即可求得答案.
【详解】
对于A，由面面平行性质：两平面平行，在一平面内的任意直线与另一平面平行.而，，故，A正确；
对于B，，此时m有可能在平面内，故不能得到，B错误；
对于C，由于，则可经平移到与重合的位置而平移不改变直线与平面是否直，，故，C正确；
对于D，当，，过上一点作直线，此时，不能得到，D错误.
综上，AC正确.
故选：AC.
11．AD
【解析】
【分析】
根据线线垂直、线面平行、线线角、点面距等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.
【详解】
A选项:取中点为，则易得：，故与，，可得平面，又平面，故，A正确；
B选项：若平面，则平面或在平面内，显然不成立，B错误；
C选项：取中点为，则即为所求角，，故，D错误；
D选项：三棱锥中，，
等边三角形的外接圆半径为，
所以到平面的距离为，D正确.
故选：AD
12．AB
【解析】
【分析】
补全几何体为棱长为3a的正三棱锥，应用棱锥体积、表面积的求法求几何体的体积、表面积，再由几何法求几何体外接球的半径，进而求外接球面积，根据四面体的性质判断二面角与棱锥侧面夹角的关系，通过求棱锥侧面夹角余弦值求二面角的余弦值.
【详解】
补全几何体为棱长为3a的正三棱锥，如下图示，
∴几何体体积，故A正确；
若分别是面、底面的中心，由题设易知：，若几何体外接球半径，则，即，解得，则几何体的外接球表面积，故B正确.
几何体的表面积，故C错误；
由正四面体的性质及图知：二面角为正四面体相邻两个面夹角的补角，而正四面体相邻两个面夹角的余弦值为，则二面角的余弦值为，故D错误；
故选：AB.
13．
【解析】
【分析】
根据题意，作出图像，可得点到平面的距离就是的最小值，由题意计算，从而得，可得，利用计算出的最小值.
【详解】
如图所示，由题意可得平面，取中点，把平面围绕直线旋转到与平面重合，点到达点，因为，所以直线平面，所以点到平面的距离就是的最小值，且，，又点分别为中点，三棱锥的所有棱长均为，所以，可得，，所以，所以．
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
由题可得当BA、BC、BD两两垂直时，三棱锥的体积最大，将三棱锥补形为一个长宽高分别为，，的长方体，即得.
【详解】
当BA、BC、BD两两垂直时，如图三棱锥的底面的面积和高同时取得最大值，则三棱锥的体积最大，
此时将三棱锥补形为一个长宽高分别为，，的长方体，
长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
球的半径，表面积为．
故答案为：.
15．
【解析】
【分析】
计算出外接球的半径，进而求得外接球的表面积.
【详解】
等边三角形、等边三角形的高为，
等边三角形、等边三角形的外接圆半径为，
设分别是等边三角形、等边三角形的中心，
设是三棱锥的外接球的球心，是外接球的半径，
则，
所以外接球的表面积为.
故答案为：
16．
【解析】
【分析】
根据图形可求出与棱锥的体积之比，即可求出结果．
【详解】
如图所示：
棱锥可看成正四棱锥减去四个小棱锥的体积得到，
设正四棱锥的体积为，为PB的中点，为PD的中点，
所以，而，
同理，
故棱锥的体积的为，
即棱锥与棱锥的体积之比为
故答案为：.
17．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【解析】
【分析】
（1）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图；
（2）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图；
（3）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图.
(1)
解：如图①所示，以边所在的直线为轴，以边的高线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
画对应的轴、轴，使，
在轴上截取，在轴上截取，
连接、、，则即为等边的直观图，如图③所示.
(2)
解：如图④所示，以、边所在的直线分别为轴、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
画对应的轴、轴，使，
在轴上截取，在轴上截取，
作轴，且，连接，
则平行四边形即为正方形的直观图，如图⑥所示.
(3)
解：如图⑦所示，画正八边形，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，
设点、在轴上的射影点分别为、，
画对应的轴、轴，使，
在轴上截取，，，
在轴上截取，作轴且，
作轴，且，作轴，且，
作轴，且，作轴，且，
连接、、、、、、、，
则八边形为正八边形的直观图，如图⑨所示.
18．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先证明线线平行，再证明线面平行即可；
（2）根据四棱锥体积公式求出四棱锥A'-DBCE的体积的表达式，利用导数求得其最大值.
(1)
由题意可知，而 ,
故 ,
则 ，且 ,
而平面平面
平面
平面平面 ,
而平面平面平面；
(2)
由（1）知，∠B=90°，
故 ,
由此可知,
又平面
,
在上为正，在上为负,
在上为增函数，在上为减函数
所以当时四棱锥体积最大..
19．当p≥1时，潜水员在湖底最多能工作42.5-a分钟；当p<1时，潜水员在湖底最多能工作分钟.
【解析】
【分析】
先求出氧气瓶中氧气的体积.设潜入水下a米过程中的每分钟需氧量为Q，则.计算出k=0.2，得到来回途中需氧量为和在湖底的工作时间为由此能够求出潜水员在湖底最多工作时间.
【详解】
氧气瓶中氧气的体积
.
设潜入水下a米过程中的每分钟需氧量为Q，则.
因当速度为1m/min时，每分钟需氧量0.2L，所以k=0.2，故来回途中需氧量为，则在湖底的工作时间为.
因为，当且仅当时取等号.
所以①当p≥1时，的最大值是42.5-a.
②当p<1时，，
因为，
，
即当时，在湖底的工作时间的最大值为分钟.
因此，当p≥1时，潜水员在湖底最多能工作42.5-a分钟；当p<1时，潜水员在湖底最多能工作分钟.
20．(1)证明过程见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）作出辅助线，证明出平行四边形，得到线线平行，进而证明线面平行；（2）由中点关系及正方形得到体积之比为.
(1)
取PB中点H，连接FH，EH，因为点E、F分别为AD、PC的中点.
所以FH∥CB，FH=，因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，且BC=AD，所以DE∥FH，DE=FH，所以四边形DEHF为平行四边形，所以DF∥HE，因为DF平面PBE，HE平面PBE，故DF∥平面PBE
(2)
因为F是PC的中点，所以，因为四边形ABCD为正方形，平面ABCD，所以，故三棱锥P-BDF的体积与四棱锥P-ABCD的体积之比为.
21．直线平行的平面是平面和平面，直线平行的平面是平面和平面，直线平行的平面是平面和平面.
【解析】
【分析】
结合已知，根据线面平行的判定定理，即可求得答案.
【详解】
平面平面，
平面，
同理可证：平面
与直线平行的平面是平面和平面；
，
平面平面，
平面，
，
同理可证：平面
与直线平行的平面是平面和平面；
平面平面
平面
同理可证：平面
与直线平行的平面是平面和平面.
22．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）过点作交的延长线于点，连接，由，，证出平面，即可证出.
（2）以为原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，
写出相应点的坐标，利用，即可得到答案.
(1)
过点作交的延长线于点，连接，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，即，.
因为，所以平面，
因为平面，所以．
(2)
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
以为原点，的方向分别为轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，可得
，
因为，
所以直线与所成角的余弦值为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页