高中数学同步指导试卷苏教版（2019）必修第二册立体几何初步2（word版含解析）

必修第二册立体几何初步
一、单选题
1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：）是（ ）
A．8 B． C． D．
2．如图所示的网格中小正方形的边长均为，粗线画出的是某三棱锥的正视图和俯视图，若该三棱锥的侧视图面积为，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个棱长为的正方体的顶点都在球面上，则该球体的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
5．已知一个圆锥的母线长为6，侧面积为，则此圆锥的体积为（ ）
A． B．
C． D．
6．若圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
7．在四棱锥中，顶点P在底面ABCD上的射影H是正方形ABCD的中心，，锥体的高为，则四棱锥内切球的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的外接球的表面积（单位：）为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，，则（ ）
A．直线AC与平面OBC所成角的大小等于45°
B．直线AC与直线OB所成角的大小等于60°
C．用空间中一平面截该三棱锥所得截面有可能是四边形
D．三棱锥O-ABC外接球的体积为
10．已知、表示不同的平面，、表示不同的直线，则下列命题中正确的有（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，且，则
11．如图,下列各正方体中,为下底的中点,为顶点,为所在棱的中点,则满足的是（ ）
A． B．
C． D．
12．在正方体，中，M，N分别是，上的点，若满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．AC与MN是异面直线 D．平面ABCD
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为______.
14．在单位正方体中，点E为AD的中点，过点B，E，的平面截该正方体所得的截面面积为______.
15．如图，在等腰直角中，，为半圆弧上异于，的动点，当半圆弧绕旋转的过程中，有下列判断：
①存在点，使得；②存在点，使得；③四面体的体积既有最大值又有最小值：④若二面角为直二面角，则直线与平面所成角的最大值为45°.其中正确的是______（请填上所有你认为正确的结果的序号）.
16．如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，若该棱锥的体积为，则该正方体的体对角线长为___________.
四、解答题
17．如图，在三棱柱中，为棱的中点，平面．
(1)试确定点的位置，并证明平面；
(2)若是等边三角形，，，且平面平面，求四面体的体积．
18．某人买了一罐容积为V L，高为a m的直三棱柱形罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m，c m的地方（如图）．为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家．试问罐内液体车油最多还能剩多少？
19．如图，平面平面，是等边三角形，为的中点，，，.
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积.
20．已知四棱锥的底面为矩形，，，E为中点，.
(1)求证：平面；
(2)若平面，，求四棱锥的体积.
21．某型号氧气瓶形状如图所示，可看作是由一个圆柱和一个圆台组合而成（设氧气瓶中氧气已充满，图中所给尺寸是氧气瓶的内径尺寸）．某潜水员身背该型号氧气瓶潜入水深am的湖底进行某项工作，其匀速下潜和上浮的速度均为v m/min．该潜水员下潜时每分钟耗氧量与其下潜速度的平方成正比，经测验，当其下潜速度为1 m/min时，每分钟耗氧0.2 L；在湖底工作时，每分钟耗氧0.4 L；上浮时，每分钟耗氧0.2 L．若下潜与上浮时，他的速度均不能超过pm/min，试问：该潜水员在湖底最多能工作多长时间（π取3.14，氧气瓶体积计算精确到1 L，a，p为常数）？
22．画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据三视图，还原几何体，再根据棱柱和棱锥的体积公式求组合体的体积即可.
【详解】
根据三视图还原几何体如下：
直棱柱底面是为直角的等腰直角三角形，且，高；
棱锥和棱柱同底，且高，
故该组合体的体积.
故选：B.
2．B
【解析】
【分析】
作出三棱锥的直观图，求出三棱锥的底面积和高，利用锥体的体积公式可求得结果.
【详解】
作出三棱锥的直观图如下图所示，
由图可知，三棱锥的底面积为，
设三棱锥的高为，则该三棱锥的侧面积为，可得，
因此，.
故选：B.
3．B
【解析】
【分析】
根据正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，由此可求出外接球的半径，再根据球的体积公式，即可求出结果.
【详解】
若棱长为的正方体的顶点都在同一个球面上，
则球的直径等于正方体的体对角线长，即，（其中是该球的半径），
所以，则球的体积．
故选：B．
4．C
【解析】
【分析】
结合棱台的概念对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】
A选项，，所以几何体不是三棱台，A选项错误.
B选项，，所以几何体不是三棱台，B选项错误.
C选项，，所以几何体是三棱台，C选项正确.
D选项，该几何体可能是三棱柱，D选项错误.
故选：C
5．C
【解析】
【分析】
由条件可以先算出圆锥的底面半径，然后可算出高，然后可得答案.
【详解】
设圆锥的底面半径为r，高为h，则，得，
所以圆锥的高为，因此该圆锥的体积．
故选：C．
6．B
【解析】
【分析】
根据圆锥侧面积和体积公式求解即可.
【详解】
设圆锥的高为，底面半径为，
则，解得.
所以.
则圆锥的体积.
故选：B
7．B
【解析】
【分析】
根据题意，的该四棱锥为正四棱锥，且，高为，斜高为，求得其体积和表面积，设四棱锥的内切球的半径为，利用体积相等，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，四棱锥中，顶点P在底面ABCD上的射影H是正方形ABCD的中心，
所以该四棱锥为正四棱锥，且，高为，可得斜高为，
所以四棱锥的体积为，
表面积为，
设四棱锥的内切球的半径为，
可得，即，解得.
故选：B.
8．C
【解析】
【分析】
由三视图还原几何体为直三棱柱，将其补全为长方体，由它们的外接球相同求球体半径，利用球体表面积公式求面积.
【详解】
由三视图知：几何体为直三棱柱，如下图示：将其补全为长方体，
所以长方体的外接球也是该几何体的外接球，故外接球半径为，
则几何体的外接球的表面积.
故选：C
9．AC
【解析】
【分析】
A利用线面垂直的判定及线面角的定义即可确定直线AC与平面OBC所成角的大小；B利用线面垂直的判定、性质判断；C取分别是中点，易知是否存在平面截三棱锥所得截面为四边形；D由三棱锥O-ABC外接球也是棱长为2的正方体外接球，结合球体的体积公式求体积即可.
【详解】
A：由，，易得面，又，所以直线AC与平面OBC所成角的平面角为，正确；
B：同A可证：面，又面，故，故错误；
C：如下图，若分别是中点，以平面截该三棱锥所得截面是四边形，正确；
D：由题意，易知三棱锥O-ABC外接球也是棱长为2的正方体外接球，所以外接球半径为，则外接球的体积为，故错误.
故选：AC
10．AB
【解析】
【分析】
利用面面垂直的判定可判断A选项；利用线面垂直的性质可判断B选项；根据已知条件判断线面、线线位置关系，可判断CD选项.
【详解】
对于A选项，若，，则，A对；
对于B选项，若，，则，B对；
对于C选项，若，，则，因为，则或，C错；
对于D选项，若，且，则、平行、相交或异面，D错.
故选：AB.
11．BC
【解析】
【分析】
根据图形利用垂直的判定或性质可判断.
【详解】
对于A,如图,//EF,但EF与OP不垂直,所以A不符合条件；
对于B,如图,点Q是所在棱的中点,则，易得平面，所以，因为，可得MN平面OPQ，所以,所以B符合条件；
对于C,如图，易得，平面，则，因为，所以平面，所以，因为，所以，所以C符合条件；
对于D，如图，为中点，易得，若，则平面，则，显然和不垂直，故D不符合.
故选：BC.
12．AD
【解析】
【分析】
过点M、N分别作底面ABCD的垂线，垂足分别为，通过证明可判断AD；
通过可判断B C．
【详解】
如图：过点M、N分别作底面ABCD的垂线，垂足分别为，连接ME，EF，FN
可得且，得四边形是平行四边形，
可知，又面ABCD，面ABCD
所以平面ABCD，又平面ABCD
，，故A，D正确；
但而只有当点M，N分别为和的中点时，可得，即，其余情况则是AC与MN是异面直线，故B，C错误，
故选：AD．
13．
【解析】
【分析】
设球的半径为，则由题意可表示出圆柱的底面半径和高，从而可表示两几何体的体积，进而可得答案
【详解】
设球的半径为，则由题意可得圆柱的底面半径为和高为，
所以球与圆柱的体积之比为
.
故答案为：
14．
【解析】
【分析】
根据题意，取的中点，连接、、、，分析可得四边形为平行四边形，则要求的截面就是四边形，进而可得为菱形，连接、，求出、的长，计算可得答案．
【详解】
根据题意，取的中点，连接、、、，
易得，，则四边形为平行四边形，
过点，，的截面就是，
又由正方体为单位正方体，则，
则为菱形，连接、，
易得，，
则，即要求截面的面积为，
故答案为：．
15．①②④
【解析】
【分析】
①当D为中点，且A，B，C，D四点共面时,可证得四边形ABCD为正方形即可判断①；②当D在平面ABC内的射影E在线段BC上（不含端点）时，可知平面ABC，可证得平面CDB，即可判断②；③，研究临界值即可判断③；
④二面角D-AC-B为直二面角，且D为中点时，直线DB与平面ABC所成角的最大，作图分析验证可判断④.
【详解】
①当D为中点，且A，B，C，D四点共面时,连结BD，交AC于，则为AC中点，此时，且,所以四边形ABCD为正方形，所以AB//CD，故①正确；
②当D在平面ABC内的射影E在线段BC上（不含端点）时，此时有：平面ABC，，又因为，所以平面CDB，所以，故②正确；
③，当平面平面ABC，且D为中点时，h有最大值；
当A，B，C，D四点共面时h有最小值0，此时为平面图形，不是立体图形，故四面体D-ABC无最小值，故③错误.
④二面角D-AC-B为直二面角，且D为中点时，直线DB与平面ABC所成角的最大，取AC中点O，连结DO，BO，则，AC=平面平面ACD，平面平面ACD，所以平面ABC，所以为直线DB与平面ABC所成角，设，则，，所以为等腰直角三角形，所以，直线与平面所成角的最大值为45°，故④正确.
故答案为：①②④.
16．.
【解析】
【分析】
先根据棱锥的体积求出正方体的棱长，进而求出正方体的体对角线长.
【详解】
如图，连接，设正方体棱长为，则.
所以，体对角线.
故答案为：.
17．(1)延长，交的延长线于点N；证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）延长，交的延长线于点N，由平面的基本性质可得点N即为所求，然后利用棱柱的性质及线面平行的判定定理即证；
（2）取线段的中点G，由题可得是三棱锥的高，然后利用三角形面积公式及棱锥的体积公式即求.
(1)
延长，交的延长线于点N．
∵，平面，
∴平面．
又∵，∴平面，点N即为所求．
连接，交直线于点O，连接OM．
∵，∴．
又∵M为线段的中点，
∴，即M为线段NB的中点．
在三棱柱中，四边形为平行四边形，
∴O为线段中点，
∴OM为中位线，
∴．
又∵平面，平面，
∴平面．
(2)
取线段的中点G，连接．
由条件知，为等边三角形，
∴，且．
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，即是三棱锥的高．
又∵，∴．
由（1）知，，，
∴，
∴四面体的体积．
18． L.
【解析】
【分析】
由题可知当平面与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，然后利用椎体体积公式及条件即求.
【详解】
如图所示，设直三棱柱的底面面积为S，则V=aS,
当平面与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，连接，则，
∵，
又，
∴，
∴，
∴罐内液体车油最多还能剩 L.
19．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用面面垂直得到平面，再由勾股定理得到， ，
线面垂直的判断定理可得平面，可得；
（2）连接，，由（1）知平面，则到平面的距离等于到平面的距离，由可得答案.
(1)
因为，为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
因为，，所以，所以，同理，
因为，，平面，所以平面，所以.
(2)
连接，，由（1）知平面，则到平面的距离等于到平面的距离，所以，
作，垂足为，因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又，所以，
所以.
20．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1)证AE⊥BD即可；
(2)设与的交点为M，证明平面即可.
(1)
设与的交点为M，
∵，
∴，
∴在中，，∴，即.
又，，，平面，
∴平面.
(2)
连接，
∵平面，平面，∴，
又∵平面，平面，∴，
又∵，∴平面，
又平面，∴，
在中，，，，
∴，∴，
∴四棱锥的体积.
21．当p≥1时，潜水员在湖底最多能工作42.5-a分钟；当p<1时，潜水员在湖底最多能工作分钟.
【解析】
【分析】
先求出氧气瓶中氧气的体积.设潜入水下a米过程中的每分钟需氧量为Q，则.计算出k=0.2，得到来回途中需氧量为和在湖底的工作时间为由此能够求出潜水员在湖底最多工作时间.
【详解】
氧气瓶中氧气的体积
.
设潜入水下a米过程中的每分钟需氧量为Q，则.
因当速度为1m/min时，每分钟需氧量0.2L，所以k=0.2，故来回途中需氧量为，则在湖底的工作时间为.
因为，当且仅当时取等号.
所以①当p≥1时，的最大值是42.5-a.
②当p<1时，，
因为，
，
即当时，在湖底的工作时间的最大值为分钟.
因此，当p≥1时，潜水员在湖底最多能工作42.5-a分钟；当p<1时，潜水员在湖底最多能工作分钟.
22．详见解析
【解析】
【分析】
利用斜二测画法求解.
【详解】
如图所示：
答案第1页，共2页
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