高中数学同步指导试卷苏教版（2019）必修第一册函数应用3 （word含解析）

高中数学同步指导试卷苏教版（2019）必修第一册函数应用
一、单选题
1．已知函数，则函数的零点所在区间为（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
2．函数的零点个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．已知函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．表示不超过x的最大整数，例如，，，．若是函数的零点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若函数则下列说法错误的是（　　）
A．是奇函数
B．若在定义域上单调递减，则或
C．当时，若，则
D．若函数有2个零点，则
6．民以食为天，科学研究表明：温度太高的食物能对消化道黏膜造成伤害，温度太低的食物容易引起消化道不适．因此，适宜的进食温度在10℃到40℃左右．大量实验数据表明：把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么tmin后物体的温度（单位：℃）满足公式（其中k为常数）．现有60℃的物体放在20℃的空气中冷却，2min后物体的温度是40℃．现将一盘出锅温度是100℃的美食放在20℃的空气中冷却，为达到适宜的进食温度，至少应冷却（ ）
A．2 min B．3 min C．4 min D．5 min
7．已知函数，若不等式有且仅有2个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，现有如下说法：①函数的图象关于直线对称；②函数在上单调递减；③函数有两个零点．则其中正确说法的个数为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．设函数则下列命题正确的是（ ）
A．当时，方程有1个实数解
B．当时，方程有7个实数解
C．当时，方程有8个实数解
D．当时，方程有6个实数解
10．已知奇函数的定义域为，且在上单调递减，若，则下列命题中正确的是（ ）
A．有两个零点 B．
C． D．
11．已知函数，，对，与中的最大值记为，则（ ）
A．函数的零点为， B．函数的最小值为
C．方程有3个解 D．方程最多有4个解
12．若函数则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数
B．若在定义域上单调递减，则
C．当时，若，则
D．若函数有2个零点，则
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．已知函数，若关于的方程有四个根，则实数的取值范围为______．
14．已知函数，，若关于的方程有6个实根，则实数的取值范围为______.
15．知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为_____________.
16．已知函数且关于的方程有四个不等实根，写出一个满足条件的值________．
四、解答题
17．布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点． 现新定义： 若满足，则称为的次不动点．
(1)判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由
(2)已知函数，若是的次不动点，求实数的值：
(3)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．
18．已知函数
(1)当时，在上是单调函数，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数且使得对，至少存在使得成立，若存在， 求出实数的取值范围，若不存在，说明理由.
19．已知，（且）.
(1)求的值；
(2)若，函数在区间（0，3）上有且仅有一个零点，求a的取值范围.
20．“绿水青山就是金山银山” ．某企业决定开发生产一款大型净水设备，生产这款设备的年固定成本为600万元，每生产台需要另投入成本万元．当年产量x不足100台时，；当年产量x不少于100台时，．若每台设备的售价为100万元时，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完．
(1)求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；
(2)当年产量x为多少台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大，最大利润是多少万元？
21．已知函数，.
(1)若函数只有一个零点，求实数a的值；
(2)若，对任意实数，函数在上的最大值与最小值的差不大于1，求实数a的取值范围.
22．由中国发起成立的全球能源互联网发展合作组织于2021年3月18日在京举办中国碳达峰碳中和成果发布暨研讨会．会议发布了中国2030年前碳达峰、2060年前碳中和、2030年能源电力发展规划及2060年展望等研究成果，在国内首次提出通过建设中国能源互联网实现碳减排目标的系统方案．为积极响应国家节能减排的号召，某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场调查分析：全年需投入固定成本2500万元．每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价10万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
(1)请写出利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式．（利润=收入成本）；
(2)当年产量为多少百辆时，该企业所获利润最大？并求出最大利润．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
先分析函数的单调性，进而结合零点存在定理，可得函数在区间上有一个零点．
【详解】
解：函数在上为增函数，
又（1），（2），
函数在区间上有一个零点，
故选：．
2．C
【解析】
【分析】
根据给定条件直接解方程即可判断作答.
【详解】
由得：，即，解得，即，
所以函数的零点个数为2.
故选：C
3．D
【解析】
【分析】
由在区间上单调递减，分类讨论，，三种情况，根据零点个数求出实数a的取值范围.
【详解】
函数在区间上单调递减，且方程的两根为.
若时，由解得或，满足题意.
若时，，，当时，，即函数在区间上只有一个零点，因为函数恰有2个零点，所以且.
当时，，，此时函数有两个零点，满足题意.
综上，
故选：D
4．B
【解析】
【分析】
利用零点存在性定理判断的范围，从而求得.
【详解】
在上递增，
，
所以，所以.
故选：B
5．D
【解析】
【分析】
A利用奇偶性定义判断；B根据函数的单调性，列出分段函数在分段区间的界点上函数值的不等关系求参数范围即可；C利用函数单调性求解集；D将问题转化为与直线的交点个数求参数a的范围.
【详解】
由题设，当时有，则；当时有，则，故是奇函数，A正确．
因为在定义域上单调递减，所以，得a≤－4或a≥－1，B正确．
当a≥－1时，在定义域上单调递减，由，得：x＞－1且x≠0，C正确．
的零点个数即为与直线的交点个数，由题意得，解得－3＜a＜，D错误．
故选：D
6．C
【解析】
【分析】
根据已知条件，结合指数的运算法则求解即可.
【详解】
∵现有60℃的物体放在20℃的空气中冷却，2min后物体的温度是40℃．
∴，解得①，
∵适宜的进食温度在10℃到40℃左右，一盘出锅温度是100℃的美食放在20℃的空气中冷却，
∴，解得②，
两式联立得，即至少要冷却.
故选：．
7．A
【解析】
【分析】
转化有且仅有2个整数解为有两个整数解，画出两个函数的图像，数形结合列出不等关系控制即得解
【详解】
由题意，有且仅有2个整数解
即有两个整数解，即有两个整数解
令
（1）当时，即，有无数个整数解，不成立；
（2）当时，如图所示，有无数个整数解，不成立；
（3）当时，要保证有两个整数解
如图所示，
即，解得
故选：A
8．C
【解析】
【分析】
由题可得，又为偶函数，且在上单调递增，再结合零点存在定理即可判断.
【详解】
由题意得，，
令，定义域为R，可知，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，则函数的图象关于直线对称，故①正确；
∵，函数在上单调递增，函数在定义域上单调递增，
∴在上单调递增，
∴函数在上单调递增，故②错误；
由①②可知，函数在上单调递减，在上单调递增，∴，
又，，
函数有两个零点，故③正确．
综上，正确说法的个数为2.
故选：C．
9．ABD
【解析】
【分析】
结合的图象可化为可判断A；
当时，，，，有1个解，有3个解，有3个解可判断 B；当、结合图象可判断C；
当时，，结合图象可判断D.
【详解】
的图象如图所示，可化为，
当时可得，在有1个解，A正确；
当可得，，，在有1个解，在有3个解，在有3个解，则有7个实数解，B正确；
当时可得，，，在有1个解，有4个解，有2个解，则有7个实数解；
当时可得， ，，，
在时，有1个解；在时，有1个解；
在时，有4个解；在时，有2个解；
综上， 有8个实数解，C错误；
当时可得，，
在时有4个解，在时，有2个解，
则有6个实数解，D正确.
故选：ABD.
10．BD
【解析】
【分析】
根据奇函数的图象关于原点对称的特点，以及单调性和函数值结合选项可得答案.
【详解】
根据题意可得函数在上为减函数，上为减函数.，由可得.
对于A，由在上为减函数，且，，所以存在，，所以在上有一个零点，同理在上有一个零点，
又因为，所以有三个零点，故A错误；
对于B，因为函数在上为减函数.所以，故B正确；
对于C，因为函数在上为减函数，所以，故C错误；
对于D，，，所以，故D正确.
故选:BD.
11．BCD
【解析】
【分析】
根据函数解析式，结合函数性质及函数新定义对选项一一分析即可.
【详解】
对于A，由，即，得或，所以的零点为和3，所以A不正确；
对于B，因为的解为和，由与的图象可知，
当时，有最小值，所以B正确；
对于C，因为的图象与有3个交点，
所以方程有3个解，所以C正确；
对于D，令，因为，由选项B中的图象可知，
当时，最多有2个解，，
当时，有2个解；而有2个解，
故最多有4个解，所以D正确．
故选：BCD．
12．ACD
【解析】
【分析】
根据函数解析式，结合选项逐项分析即可求出结果.
【详解】
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
当时，，则，
当时，，则，
即，故是奇函数，A正确．
因为在定义域上单调递减，所以，得或，B错误．
当时，在定义域上单调递减，由得且，C正确．
的零点个数等于的图象与直线的交点个数，由题意得，解得，D正确．
故选：ACD.
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
13．
【解析】
【分析】
分离变量，画出特定函数的图像即可.
【详解】
由，得
令，画出图像
由图可知，当时，方程有四解，
即方程有四个根.
故答案为:
14．
【解析】
【分析】
作出函数图像，求的值域，利用换元法转化为两个函数图像交点问题，利用数形结合进行求解即可.
【详解】
当或时不合题意，
当时，，
当时，函数的图像如下：
，
设方程，
当时方程有3根，，，其中，，
所以当分别有2根，有6根.
当或时，不合题意.
故答案为:
15．
【解析】
【分析】
根据分段函数的性质，结合幂函数、一次函数的单调性判断零点的分布，进而求m的范围.
【详解】
由解析式知：在上为增函数且，
在上，时为单调函数，时无零点，
故要使有两个不同的零点，即两侧各有一个零点，
所以在上必递减且，则，可得.
故答案为：
16．（在之间都可以）.
【解析】
【分析】
画出函数的图象，结合图象可得答案.
【详解】
如图，当时，
，当且仅当时等号成立，
当时，，
要使方程有四个不等实根，只需使即可，
故答案为：（在之间都可以）.
17．(1)是“不动点”函数，不动点是2和；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
(1)根据不动点定义列出方程，求解方程即可作答.
(2)根据次不动点定义列出方程，求解方程即可作答.
(3)设出不动点和次不动点，建立函数关系，求出函数最值推理作答.
(1)
依题意，设为的不动点，即，于是得，解得或，
所以 是“不动点” 函数，不动点是2和.
(2)
因是“次不动点”函数，依题意有，即，显然，解得，
所以实数的值是.
(3)
设分别是函数在上的不动点和次不动点，且唯一，
由得：，即，整理得：，
令，显然函数在上单调递增，则，，则，
由得：，即，整理得：，
令，显然函数在上单调递增，，，则，
综上得：，
所以实数的取值范围.
【点睛】
思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.
18．(1)
(2)不存在实数符合题意，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由题知，进而得或，即可得答案；
（2）由对数函数的性质得，进而根据题意分和两种情况讨论求解即可.
(1)
解：因为，
因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，在上是单调函数，
所以，或
所以，或，
所以实数的取值范围是
(2)
解：，
因为的值域为，
所以
又
假设存在实数满足条件，则
①当时，即，满足，
所以，所以 所以无解.
②当时，即，满足，
所以， 所以 所以无解.
综上，不存在实数符合题意.
19．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据指数式与对数式互化公式，结合指数幂的运算性质进行求解即可；
（2）根据指数式与对数式互化公式，结合对数的运算性质、对数函数的正负性、二次函数的性质、函数零点存在原理进行求解即可.
(1)
由，得
则；
(2)
∵，∴，
∴，
所以，
则是开口向上，对称轴为的抛物线，
令，∵
∴且
所以，由零点存在定理，当，即时，
函数在区间（0，3）上有且仅有一个零点，
当，即时，解得或，符合题意.
综上可知，a的取值范围为.
20．(1)
(2)年产量为102台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大，最大利润是2798万元
【解析】
【分析】
（1）根据利润=销售额 成本，通过分类讨论，即可求出年利润关于年产量的函数关系式；
（2）通过求分段函数的最大值即可得出答案.
(1)
由条件可得年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式：
化简得：
(2)
当时，, ，
当时，取最大值（万元）
当时，, ，
（万元）
当时，即台时，取最大值2798万元
综上：年产量为102台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大，最大利润是2798万元．
21．(1)或；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由题可知有一解，通过分类讨论结合二次函数的性质即得；
（2）由题可得，可得函数在上单调递减，进而可得对任意恒成立，再利用二次函数的性质即得.
(1)
由，得，整理得.
当时，可得，满足函数只有一个零点；
当时，函数的对称轴，，
则，解得，满足函数只有一个零点；
当时，函数的对称轴，，
则函数在上只有一个零点，
综上所述，a的值为或.
(2)
由题知函数.
任取，则.
∵，，∴，
∴，
∴，即，
∴函数在上单调递减，
∴函数在区间上的最大值与最小值分别为，.
∴，
整理得对任意恒成立，
令，
∵，∴函数在区间上单调递增，
∴，即，解得，
故实数a的取值范围为.
22．(1).
(2)年生产50百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为10000万元.
【解析】
【分析】
（1）分和，讨论求得利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式．
（2）分和，根据二次函数的性质和基本不等式可求得最值，比较得最大利润.
(1)
解：当时，
；
当时，
；
所以．
(2)
当时，，
当时，；
当时， ；
当且仅当，即时，等号成立．
因100009750，
所以当时，即年生产50百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为10000万元．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页