2021-2022学年人教版八年级数学下册17.1勾股定理解答专项练习题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版八年级数学下册17.1勾股定理解答专项练习题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 399.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-05 10:16:36 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版八年级数学下册《17-1勾股定理》解答专项练习题（附答案）
1．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，若AB＝15，AC＝13，BC＝14，求AD．
2．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点D在线段AB上从点B出发，以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t0．
（1）AB＝ cm，AB边上的高为 cm；
（2）点D在运动过程中，当△BCD为等腰三角形时，求t的值．
4．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD，
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的长．
5．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．
（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？
6．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，边BC上的高AD为12，且△ABC的周长为36，求腰长AB．
7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2＝BE2+CF2．
8．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．
（1）求证：DF⊥AB；
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．
9．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，设AB＝4，DC＝1，BC＝4．
（1）求线段AD的长．
（2）在线段BC上是否存在点P，使△APD是等腰三角形？若存在，求出线段BP的长；若不存在，请说明理由．
10．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，CE平分∠ACB，AB＝20，AC＝15
（1）求AD的长；
（2）求证：△AEF是等腰三角形．
11．阅读下面的材料，然后解答问题：
我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
理解：
①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？ （填“是”或“不是”）
②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形 （填“是”或“不是”）奇异三角形．
探究：
在Rt△ABC中，两边长分别是a、c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
拓展：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a2：b2：c2．
12．（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系．（不必证明）
（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系证明；
（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系并证明．
13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B＝45°，∠C＝60°，AD＝2，求BC的长．（结果保留根号）
14．在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝45°，∠C＝30°，CD＝3．
（1）求AB长；
（2）求△ABC面积．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝6，AB＝10．求△ABD的面积．
16．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是，求△ABC的面积．
17．已知△ABC与△EFC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECF＝90°，E为AB边上一点．
（1）试判断AE与BF的大小关系，并说明理由；
（2）试说明AE2，BE2，EF2三者之间的关系．
18．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，通过计算说明PQ能否把△ABC的周长平分？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC
（1）P为BC上的中点，求证：AB2﹣AP2＝PB PC；
（2）若P为BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；
（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．
20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
参考答案
1．解：设BD＝x，则CD＝14﹣x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵△ADB与△ACD均为直角三角形，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解得x＝9，
∴BD＝9，
∴AD＝＝＝12．
2．解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
则x+1＝13，
答：水深12尺，芦苇长13尺．
3．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，
∴AB＝＝＝50（cm）；
作AB边上的高CE，如图1所示：
∵Rt△ABC的面积＝AB CE＝AC BC，
∴CE＝＝＝24（cm）；
故答案为：50，24；
（2）分三种情况：
①当BD＝BC＝30cm时，2t＝30，
∴t＝15（s）；
②当CD＝CB＝30cm时，作CE⊥AB于E，如图2所示：
则BE＝DE＝BD＝t，
由（1）得：CE＝24，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE＝＝＝18（cm），
∴t＝18s；
③当DB＝DC时，∠BCD＝∠B，
∵∠A＝90°﹣∠B，∠ACD＝90°﹣∠BCD，
∴∠ACD＝∠A，
∴DA＝DC，
∴AD＝DB＝AB＝25（cm），
∴2t＝25，
∴t＝12.5（s）；
综上所述：t的值为15s或18s或12.5s．
4．（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠CFD＝90°，∠CEB＝90°（垂线的意义）
CE＝CF（角平分线的性质）
∵BC＝CD（已知）
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）
（2）解：由（1）得，
Rt△BCE≌Rt△DCF
∴DF＝EB，设DF＝EB＝x，
∵∠CFD＝90°，∠CEB＝90°，
CE＝CF，AC＝AC
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）
∴AF＝AE
即：AD+DF＝AB﹣BE
∵AB＝21，AD＝9，DF＝EB＝x
∴9+x＝21﹣x解得，x＝6
在Rt△DCF中，∵DF＝6，CD＝10
∴CF＝8
∴Rt△AFC中，AC2＝CF2+AF2＝82+（9+6）2＝289
∴AC＝17
答：AC的长为17．
5．解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，
在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．
答：AP的长为2．
（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，
根据勾股定理，得AB＝＝＝8
若BA＝BP，则 2t＝8，解得t＝4；
若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；
若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．
答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．
（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：
则∠AED＝∠PED＝90°，
∴∠PED＝∠ACB＝90°，
∴PD平分∠APC，
∴∠EPD＝∠CPD，
又∵PD＝PD，
∴△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，
解得：t＝5；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：
同①得：△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，
解得：t＝11；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．
6．解：如图，∵在△ABC中，AB＝AC，AD为BC上的高，
∴BD＝CD．
故设AB＝AC＝x，BD＝CD＝y．则由题意，得
，
解得，，
所以AB的长为13．
7．证明：延长ED到G，使DG＝DE，连接EF、FG、CG，如图所示：
在△EDF和△GDF中
，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF＝FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD＝DC
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（SAS）
∴BE＝CG，∠B＝∠BCG
∴AB∥CG
∴∠GCA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°
在Rt△FCG中，由勾股定理得：
FG2＝CF2+CG2＝CF2+BE2
∴EF2＝FG2＝BE2+CF2．
8．解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，
∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，
在Rt△ABC与Rt△DEC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），
∴∠BAC＝∠EDC，
∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，
∴∠AEF+∠BAC＝90°，
∴∠AFE＝90°，
∴DF⊥AB．
（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，
∴a2+b2＝ c DF﹣ c EF＝ c （DF﹣EF）＝ c DE＝c2，
∴a2+b2＝c2．
9．解：（1）如图1，过D作DE⊥AB于E点，
AE＝4﹣1＝3，DE＝BC＝4，
在Rt△AED中，AD＝＝5；
（2）如图2，
当AP＝AD时，
在Rt△ABP中，BP＝＝3；
如图3，
当PA＝PD时，
AB2+BP2＝CD2+（BC﹣BP）2，即42+BP2＝12+（4﹣BP）2，
解得BP＝．
综上所述，线段BP的长是3或．
10．（1）解：由勾股定理得：BC＝＝25，
根据三角形面积计算公式，
解得：；
（2）证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠AEC+∠ACE＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DCF+∠DFC＝90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCF＝∠ACE，
∵∠DFC＝∠AFE（对顶角相等），
∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形．
11．解：①设等边三角形的边长为a，
∵a2+a2＝2a2，
∴等边三角形一定是奇异三角形，
故答案为：是；
②∵12+（）2＝2×22，
∴该三角形是奇异三角形，
故答案为：是；
探究：当c为斜边时，b2＝c2﹣a2＝50，Rt△ABC不是奇异三角形；
当b为斜边时，b2＝c2+a2＝150，
∵50+150＝2×100，
∴a2+b2＝2c2
∴Rt△ABC是奇异三角形；
拓展：Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2，
∵c＞b＞a，
∴2c2＞b2+a2，2a2＜b2+c2，
∵Rt△ABC是奇异三角形，
∴2b2＝a2+c2，
∴2b2＝a2+a2+b2，
∴b2＝2a2，
∵a2+b2＝c2，
∴c2＝3a2，
∴a2：b2：c2＝1：2：3．
12．解：（1）S2+S3＝S1，
由三个四边形都是正方形则：
∵S3＝AC2，S2＝BC2，S1＝AB2，
∵三角形ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴S2+S3＝S1．
（2）∵S3＝AC2，S2＝BC2，S1＝AB2，
∵三角形ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴S2+S3＝S1．
（3）∵S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，
∵三角形ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴S2+S3＝S1．
13．解：∵AD是BC边上的高，∠C＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴CD＝AC，
在Rt△ACD中，根据勾股定理，
AC2﹣CD2＝AD2，
（2CD）2﹣CD2＝AD2，
∴CD＝，
∵AD是BC边上的高，∠B＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴BD＝AD＝2，
∴BC＝BD+CD＝．
14．解：（1）∵AD⊥BC，∠C＝30°，CD＝3，
∴AD＝CD＝，
∵∠B＝45°，
∴AB＝AD＝；
（2）AD＝BD＝，
△ABC面积＝（+3）×÷2＝．
15．解：过点D作DE⊥AB于点E
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝6，
∵AB＝10，
∴S△ABD＝×DE×AB＝×6×10＝30．
16．解：当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c
∵2a+2b+c＝6，即2（a+b）+c＝6，
∴3c＝6，
∴c＝2，
∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴ab＝2，
∴S△ABC＝ab＝1．
17．解：（1）AE＝BF．理由如下：
∵∠ACB＝∠ECF＝90°，
∴∠ACE＝∠BCF．
又AC＝BC，CE＝CF，
∴△ACE≌△BCF，
∴AE＝BF．
（2）AE2+BE2＝EF2．理由如下：
由已知，得
∠CAE＝∠CBF＝45°，
则∠EBF＝90°．
则BF2+BE2＝EF2，
又AE＝BF，
因此AE2+BE2＝EF2．
18．解：（1）BQ＝2×2＝4cm，
BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，
∵∠B＝90°，
∴PQ＝＝＝2；
（2）由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），
根据题意得：BQ＝2tcm，CQ＝（6﹣2t）cm，PA＝tcm，BP＝（8﹣t）cm，
若PQ能把△ABC的周长平分，则BQ+BP＝CQ+PA+AC，
即2t+8﹣t＝6﹣2t+t+10，
解得：t＝4，
此时CQ＝6﹣2t＝﹣2，
∴t＝4不合题意，
∴点Q在边BC上运动时，通过计算PQ不能把△ABC的周长平分；
（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示：
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠AB
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝5
∴BC+CQ＝11，
∴t＝11÷2＝5.5秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示：
则BC+CQ＝12
∴t＝12÷2＝6秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝＝＝4.8（cm）
∴CE＝＝3.6cm，
∴CQ＝2CE＝7.2cm，
∴BC+CQ＝13.2cm，
∴t＝13.2÷2＝6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
19．证明：（1）如右图所示，连接AP，
∵AB＝AC，P是BC中点，
∴AP⊥BC，BP＝CP，
在Rt△ABP中，AB2＝BP2+AP2，
∴AB2﹣AP2＝BP2，
又∵BP＝CP，
∴BP CP＝BP2，
∴AB2﹣AP2＝BP CP；
（2）成立．
如右图所示，连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
同理，AP2＝AD2+DP2，
∴AB2﹣AP2＝AD2+BD2﹣（AD2+DP2）＝BD2﹣DP2，
又∵BP＝BD+DP，CP＝CD﹣DP＝BD﹣DP，
∴BP CP＝（BD+DP）（BD﹣DP）＝BD2﹣DP2，
∴AB2﹣AP2＝BP CP；
（3）AP2﹣AB2＝BP CP．
如右图，P是BC延长线任一点，连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
在Rt△ADP中，AP2＝AD2+DP2，
∴AP2﹣AB2＝（AD2+DP2）﹣（AD2+DB2）＝PD2﹣BD2，
又∵BP＝BD+DP，CP＝DP﹣CD＝DP﹣BD，
∴BP CP＝（BD+DP）（DP﹣BD）＝DP2﹣BD2，
∴AP2﹣AB2＝BP CP．
20．解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，
∴BC＝4（cm）；
（2）由题意知BP＝tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4；
②当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，
AP2＝32+（t﹣4）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2，
解得：t＝，
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；
（3）①当AB＝BP时，t＝5；
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8；
③当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以t2＝32+（4﹣t）2，
解得：t＝，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．
1．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，若AB＝15，AC＝13，BC＝14，求AD．
2．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点D在线段AB上从点B出发，以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t0．
（1）AB＝ cm，AB边上的高为 cm；
（2）点D在运动过程中，当△BCD为等腰三角形时，求t的值．
4．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD，
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的长．
5．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．
（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？
6．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，边BC上的高AD为12，且△ABC的周长为36，求腰长AB．
7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2＝BE2+CF2．
8．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．
（1）求证：DF⊥AB；
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．
9．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，设AB＝4，DC＝1，BC＝4．
（1）求线段AD的长．
（2）在线段BC上是否存在点P，使△APD是等腰三角形？若存在，求出线段BP的长；若不存在，请说明理由．
10．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，CE平分∠ACB，AB＝20，AC＝15
（1）求AD的长；
（2）求证：△AEF是等腰三角形．
11．阅读下面的材料，然后解答问题：
我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
理解：
①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？ （填“是”或“不是”）
②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形 （填“是”或“不是”）奇异三角形．
探究：
在Rt△ABC中，两边长分别是a、c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
拓展：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a2：b2：c2．
12．（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系．（不必证明）
（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系证明；
（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系并证明．
13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B＝45°，∠C＝60°，AD＝2，求BC的长．（结果保留根号）
14．在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝45°，∠C＝30°，CD＝3．
（1）求AB长；
（2）求△ABC面积．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝6，AB＝10．求△ABD的面积．
16．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是，求△ABC的面积．
17．已知△ABC与△EFC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECF＝90°，E为AB边上一点．
（1）试判断AE与BF的大小关系，并说明理由；
（2）试说明AE2，BE2，EF2三者之间的关系．
18．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，通过计算说明PQ能否把△ABC的周长平分？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC
（1）P为BC上的中点，求证：AB2﹣AP2＝PB PC；
（2）若P为BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；
（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．
20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
参考答案
1．解：设BD＝x，则CD＝14﹣x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵△ADB与△ACD均为直角三角形，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解得x＝9，
∴BD＝9，
∴AD＝＝＝12．
2．解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
则x+1＝13，
答：水深12尺，芦苇长13尺．
3．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，
∴AB＝＝＝50（cm）；
作AB边上的高CE，如图1所示：
∵Rt△ABC的面积＝AB CE＝AC BC，
∴CE＝＝＝24（cm）；
故答案为：50，24；
（2）分三种情况：
①当BD＝BC＝30cm时，2t＝30，
∴t＝15（s）；
②当CD＝CB＝30cm时，作CE⊥AB于E，如图2所示：
则BE＝DE＝BD＝t，
由（1）得：CE＝24，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE＝＝＝18（cm），
∴t＝18s；
③当DB＝DC时，∠BCD＝∠B，
∵∠A＝90°﹣∠B，∠ACD＝90°﹣∠BCD，
∴∠ACD＝∠A，
∴DA＝DC，
∴AD＝DB＝AB＝25（cm），
∴2t＝25，
∴t＝12.5（s）；
综上所述：t的值为15s或18s或12.5s．
4．（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠CFD＝90°，∠CEB＝90°（垂线的意义）
CE＝CF（角平分线的性质）
∵BC＝CD（已知）
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）
（2）解：由（1）得，
Rt△BCE≌Rt△DCF
∴DF＝EB，设DF＝EB＝x，
∵∠CFD＝90°，∠CEB＝90°，
CE＝CF，AC＝AC
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）
∴AF＝AE
即：AD+DF＝AB﹣BE
∵AB＝21，AD＝9，DF＝EB＝x
∴9+x＝21﹣x解得，x＝6
在Rt△DCF中，∵DF＝6，CD＝10
∴CF＝8
∴Rt△AFC中，AC2＝CF2+AF2＝82+（9+6）2＝289
∴AC＝17
答：AC的长为17．
5．解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，
在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．
答：AP的长为2．
（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，
根据勾股定理，得AB＝＝＝8
若BA＝BP，则 2t＝8，解得t＝4；
若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；
若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．
答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．
（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：
则∠AED＝∠PED＝90°，
∴∠PED＝∠ACB＝90°，
∴PD平分∠APC，
∴∠EPD＝∠CPD，
又∵PD＝PD，
∴△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，
解得：t＝5；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：
同①得：△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，
解得：t＝11；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．
6．解：如图，∵在△ABC中，AB＝AC，AD为BC上的高，
∴BD＝CD．
故设AB＝AC＝x，BD＝CD＝y．则由题意，得
，
解得，，
所以AB的长为13．
7．证明：延长ED到G，使DG＝DE，连接EF、FG、CG，如图所示：
在△EDF和△GDF中
，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF＝FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD＝DC
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（SAS）
∴BE＝CG，∠B＝∠BCG
∴AB∥CG
∴∠GCA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°
在Rt△FCG中，由勾股定理得：
FG2＝CF2+CG2＝CF2+BE2
∴EF2＝FG2＝BE2+CF2．
8．解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，
∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，
在Rt△ABC与Rt△DEC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），
∴∠BAC＝∠EDC，
∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，
∴∠AEF+∠BAC＝90°，
∴∠AFE＝90°，
∴DF⊥AB．
（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，
∴a2+b2＝ c DF﹣ c EF＝ c （DF﹣EF）＝ c DE＝c2，
∴a2+b2＝c2．
9．解：（1）如图1，过D作DE⊥AB于E点，
AE＝4﹣1＝3，DE＝BC＝4，
在Rt△AED中，AD＝＝5；
（2）如图2，
当AP＝AD时，
在Rt△ABP中，BP＝＝3；
如图3，
当PA＝PD时，
AB2+BP2＝CD2+（BC﹣BP）2，即42+BP2＝12+（4﹣BP）2，
解得BP＝．
综上所述，线段BP的长是3或．
10．（1）解：由勾股定理得：BC＝＝25，
根据三角形面积计算公式，
解得：；
（2）证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠AEC+∠ACE＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DCF+∠DFC＝90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCF＝∠ACE，
∵∠DFC＝∠AFE（对顶角相等），
∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形．
11．解：①设等边三角形的边长为a，
∵a2+a2＝2a2，
∴等边三角形一定是奇异三角形，
故答案为：是；
②∵12+（）2＝2×22，
∴该三角形是奇异三角形，
故答案为：是；
探究：当c为斜边时，b2＝c2﹣a2＝50，Rt△ABC不是奇异三角形；
当b为斜边时，b2＝c2+a2＝150，
∵50+150＝2×100，
∴a2+b2＝2c2
∴Rt△ABC是奇异三角形；
拓展：Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2，
∵c＞b＞a，
∴2c2＞b2+a2，2a2＜b2+c2，
∵Rt△ABC是奇异三角形，
∴2b2＝a2+c2，
∴2b2＝a2+a2+b2，
∴b2＝2a2，
∵a2+b2＝c2，
∴c2＝3a2，
∴a2：b2：c2＝1：2：3．
12．解：（1）S2+S3＝S1，
由三个四边形都是正方形则：
∵S3＝AC2，S2＝BC2，S1＝AB2，
∵三角形ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴S2+S3＝S1．
（2）∵S3＝AC2，S2＝BC2，S1＝AB2，
∵三角形ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴S2+S3＝S1．
（3）∵S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，
∵三角形ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴S2+S3＝S1．
13．解：∵AD是BC边上的高，∠C＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴CD＝AC，
在Rt△ACD中，根据勾股定理，
AC2﹣CD2＝AD2，
（2CD）2﹣CD2＝AD2，
∴CD＝，
∵AD是BC边上的高，∠B＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴BD＝AD＝2，
∴BC＝BD+CD＝．
14．解：（1）∵AD⊥BC，∠C＝30°，CD＝3，
∴AD＝CD＝，
∵∠B＝45°，
∴AB＝AD＝；
（2）AD＝BD＝，
△ABC面积＝（+3）×÷2＝．
15．解：过点D作DE⊥AB于点E
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝6，
∵AB＝10，
∴S△ABD＝×DE×AB＝×6×10＝30．
16．解：当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c
∵2a+2b+c＝6，即2（a+b）+c＝6，
∴3c＝6，
∴c＝2，
∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴ab＝2，
∴S△ABC＝ab＝1．
17．解：（1）AE＝BF．理由如下：
∵∠ACB＝∠ECF＝90°，
∴∠ACE＝∠BCF．
又AC＝BC，CE＝CF，
∴△ACE≌△BCF，
∴AE＝BF．
（2）AE2+BE2＝EF2．理由如下：
由已知，得
∠CAE＝∠CBF＝45°，
则∠EBF＝90°．
则BF2+BE2＝EF2，
又AE＝BF，
因此AE2+BE2＝EF2．
18．解：（1）BQ＝2×2＝4cm，
BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，
∵∠B＝90°，
∴PQ＝＝＝2；
（2）由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），
根据题意得：BQ＝2tcm，CQ＝（6﹣2t）cm，PA＝tcm，BP＝（8﹣t）cm，
若PQ能把△ABC的周长平分，则BQ+BP＝CQ+PA+AC，
即2t+8﹣t＝6﹣2t+t+10，
解得：t＝4，
此时CQ＝6﹣2t＝﹣2，
∴t＝4不合题意，
∴点Q在边BC上运动时，通过计算PQ不能把△ABC的周长平分；
（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示：
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠AB
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝5
∴BC+CQ＝11，
∴t＝11÷2＝5.5秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示：
则BC+CQ＝12
∴t＝12÷2＝6秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝＝＝4.8（cm）
∴CE＝＝3.6cm，
∴CQ＝2CE＝7.2cm，
∴BC+CQ＝13.2cm，
∴t＝13.2÷2＝6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
19．证明：（1）如右图所示，连接AP，
∵AB＝AC，P是BC中点，
∴AP⊥BC，BP＝CP，
在Rt△ABP中，AB2＝BP2+AP2，
∴AB2﹣AP2＝BP2，
又∵BP＝CP，
∴BP CP＝BP2，
∴AB2﹣AP2＝BP CP；
（2）成立．
如右图所示，连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
同理，AP2＝AD2+DP2，
∴AB2﹣AP2＝AD2+BD2﹣（AD2+DP2）＝BD2﹣DP2，
又∵BP＝BD+DP，CP＝CD﹣DP＝BD﹣DP，
∴BP CP＝（BD+DP）（BD﹣DP）＝BD2﹣DP2，
∴AB2﹣AP2＝BP CP；
（3）AP2﹣AB2＝BP CP．
如右图，P是BC延长线任一点，连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
在Rt△ADP中，AP2＝AD2+DP2，
∴AP2﹣AB2＝（AD2+DP2）﹣（AD2+DB2）＝PD2﹣BD2，
又∵BP＝BD+DP，CP＝DP﹣CD＝DP﹣BD，
∴BP CP＝（BD+DP）（DP﹣BD）＝DP2﹣BD2，
∴AP2﹣AB2＝BP CP．
20．解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，
∴BC＝4（cm）；
（2）由题意知BP＝tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4；
②当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，
AP2＝32+（t﹣4）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2，
解得：t＝，
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；
（3）①当AB＝BP时，t＝5；
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8；
③当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以t2＝32+（4﹣t）2，
解得：t＝，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．