高中数学同步指导试卷苏教版（2019）选择性必修第一册导数及其应用1 (word含解析）

选择性必修第一册导数及其应用
一、单选题
1．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．若2A．em>mm>me B．me>em>mm C．me>mm>em D．em>me>mm
3．已知函数的导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．函数的递增区间为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．若不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设函数的图象在点处的切线为，则与坐标轴围成的三角形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．一物体的运动方程是，则在这段时间内的平均速度是（ ）
A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2
二、多选题
9．下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．若存在，则称为二元函数在点处对x的偏导数，记为；若存在，则称为二元函数在点处对y的偏导数，记为.
若二元函数，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．的最小值为
D． 的最小值为
11．关于函数，，下列说法正确的是（ ）
A．对任意的，
B．对任意的，
C．函数的最小值为
D．若存在使得不等式成立，则实数a的最大值为
12．定义在区间上的连续函数的导函数为，如果使得，则称为区间上的“中值点”下列在区间上“中值点”多于一个的函数是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．已知函数（）如果对任意，，则的取值范围为_____________ .
14．已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______．
15．已知x＝是函数的极值点，则a＝________.
16．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________．
四、解答题
17．已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求的值；
(3)当，时，恒成立，直接写出的取值范围．
18．如图，船以定速直行，航线距灯塔L的最近距离为500m．已知灯塔对小船现在的位置B及小船航线与灯塔的最近点P的张角，且该角正以的比率减小，求小船的速度．
19．质点的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），分别求，时的速度．
20．利用直尺，用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线．
21．已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若方程有两个不相等的实数根，证明：.
22．根据所给函数的图象，估计．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据定义域排除C选项，根据特殊点坐标排除A选项，根据单调性排除B选项，通过验证，D选项正确.
【详解】
由图象可以得到函数定义域为R且，而A选项中的函数解析式满足，不合要求，A错误；C选项的定义域为，不合要求，C错误；
B选项，当时，，恒成立，故在单调递增，显然与图象不符，B错误；
D选项，当时，， ，当时，，单调递增，当时，，单调递减，符合要求.
故选：D
2．D
【解析】
【分析】
利用幂指函数的单调性可得，，构造函数()，可得，从而得到结果.
【详解】
当时，，，
下面比较与的大小，即比较与的大小，
考察函数()，，
当时，，在上单调递减，
因为，
，即，
所以，
综上：当时，.
故选：D
3．C
【解析】
【分析】
含导函数图象确定的极值点个数，要保证导函数的零点左右两边导函数函数值一正一负.
【详解】
因为在左、右两边的导数值均为负数，所以0不是极值点，故由图可知只有2个极值点.
故选：C
4．D
【解析】
【分析】
求导后，结合三角函数知识可确定当时，，由此可得结果.
【详解】
，
当时，，，则；
当时，，，则；
在上的单调递增区间为.
故选：D.
5．D
【解析】
【分析】
构造函数，得，，，再由导数求得的单调性，即可判断．
【详解】
解：令，，则，，，
所以，
，
对任意恒成立，即在上单调递减，
，即．
故选：D．
6．B
【解析】
【分析】
把不等式转化为对x>0恒成立，设，故对任意的恒成立，利用导数可求a的取值范围.
【详解】
解：由不等式恒成立，
可知对x>0恒成立.
设，则该函数为上的增函数，故，
故对任意的恒成立，
设，则，
当时，，故为上的增函数，
而当时，有，不合题意；
当时，对任意的恒成立，
当时，
若，则，当时，，
故在为减函数，在为增函数，
故，
所以
故 .
综上：的取值范围是.
故选：B
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键有两个，其一是对x>0恒成立.设，转化为对任意的恒成立；其二是说明当时，有.
7．C
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义求得切线为，求x、y轴上截距，进而可得与坐标轴围成的三角形面积，利用导数研究在上的最值即可得结果.
【详解】
由题设，，则，又，
所以切线为，
当时，当时，又，
所以与坐标轴围成的三角形面积为，
则，当时，当时，
所以在上递减，在上递增，即.
故选：C
8．B
【解析】
【分析】
由函数平均变化率的定义即可求得答案.
【详解】
由题意，．
故选：B.
9．ACD
【解析】
【分析】
利用导数的运算公式和法则逐个分析判断即可
【详解】
若，则正确.
若，则不正确.
若，则正确.
若，则正确.
故选：ACD
10．ABC
【解析】
【分析】
根据偏导数的定义进行分析计算，，可判断AB；，的最小值为，由于，构造函数（），利用导数可求出的最小值可判断CD.
【详解】
因为（，），
所以，则，
故A选项正确；
又，所以，
故B选项正确；
因为，
所以当时，取得最小值，且最小值为，故C选项错误；
，
令（），，
当时，，当时，，
故，
从而当时，取得最小值，且最小值为，故D选项正确.
故选：ABC.
11．ACD
【解析】
【分析】
A：构造函数，利用导数的性质进行判断即可；
B：利用特殊值法，进行判断即可；
C：利用导数的性质进行判断即可；
D：利用转化法，根据特称命题与它的否命题的真假关系，结合构造函数法、导数进行判断即可.
【详解】
A：设，
，当时，单调递增，
当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，即，所以有，即，所以本选项正确；
B： ，，显然，所以本选项不正确；
C：由，
设当时，，所以函数单调递增，
所以当时，，
因此当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数有最小值，最小值为，因此本选项正确；
D：命题：存在使得不等式成立，
它的否命题为：，不等式恒成立，
，
构造函数，，
当时，单调递增，
当时，单调递减，当时，函数有最小值，
最小值为：，
，
当时，而，所以，
当时，要想恒成立，只需恒成立
当，， 也成立，
即成立，也就是成立，
构造新函数，
当时，单调递减，当时，单调递增，
当时，函数有最大值，即，要想不等式恒成立，
只需，
当时，，而的值域为全体实数集，显然不可能恒成立，
因此当时，对于，不等式恒成立，
因此当时，存在使得不等式成立，所以实数a的最大值为，
因此本选项结论正确，
故选：ACD
【点睛】
关键点睛：构造函数，利用导数的性质，结合存在性和任意性的定义是解题的关键.
12．AD
【解析】
【分析】
根据“中值点”的几何意义，再结合函数的性质，对于四个选项判断．
【详解】
因为“中值点”的几何意义是在区间上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间的两个端点连线的斜率，
对于A选项， ，显然，在区间上的任何一点都是“中值点”，故A正确；
对于B选项，区间两端点连线的斜率，即，的斜率为0，，
由，得，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间只存在一个“中值点”，故B不正确；
对于C选项，在两端点的斜率为ln2，，
令，得，故在只存在一个“中值点”，故C不正确；
对于D选项，在两端点的斜率为，因为，令，解得：，函数在区间存在两个“中值点”，故D正确．
故选：AD．
13．
【解析】
【分析】
由题可得函数在上单调递减，进而可得，即函数单调递减，再利用导函数与单调性的关系可得，利用二次函数的性质即求.
【详解】
∵函数(),
∴函数f (x)的定义域为，，
∴函数在上单调递减，
又对任意，，
不妨假设，则，
所以等价于，即，
令，则函数单调递减，
又+4＝，
于是≤0在上恒成立，即，又，，
∴，解得.
所以的取值范围为.
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
根据对，，使得成立，只需求解即可.
【详解】
因为，
所以，
当时，，当时，，
所以，
因为开口方向向下，
所以在区间上的最小值的端点处取得，
所以要使对，，使得成立，
只需，即或，
即或，
解得，
所以a的取值范围是，
故答案为：
15．1
【解析】
【分析】
首先根据求出a，进而代入导函数验证单调性，最后得到答案.
【详解】
解：由f(x)＝xln(ax)＋1，得f′(x)＝ln(ax)＋x··a＝ln(ax)＋1，
又x＝是f(x)的极值点，所以f′＝ln＋1＝0，则a＝1，
所以，则，令，得x＝，且时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，
所以经验证a＝1时，x＝是函数f(x)＝xln(ax)＋1的极值点.所以a＝1.
故答案为：1.
16．
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义，结合待定系数法进行求解即可.
【详解】
设曲线的切点为：，
由，所以过该切点的切线斜率为：，
于是切线方程为：，
因此有：，
设曲线的切点为：，
由，所以过该切点的切线斜率为：，
于是切线方程为：，
因此有：，
因为，
，
即，
因此，
故答案为：
【点睛】
关键点睛：根据导数的几何意义进行求解是解题的关键.
17．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义求解
（2）令，问题等到价于，而，可得为函数的最小值点，然后分和分析求解即可，
（3）问题等到价于恒成立，构造函数，转化为，再构造函数，利用导数判断其最小值，从而可判断出，由此可得为增函数，进而可求得结果
(1)
当时，，则，
，，
所以曲线在处的切线方程为，即，
(2)
当时，，
令，则
恒成立等价于，
因为，
所以为函数的最小值点，
因为，
当时，，所以在上单调递增，不合题意，
当时，由，得，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，
所以，解得
(3)
恒成立，等价于，
即恒成立，
构造函数，
等价于，
因为，所以
令函数，则，
显然为增函数，则，
所以在上为增函数，
所以，
所以，则，
因为，
所以在上单调递增，
所以当时，恒成立，
即，
所以的取值范围
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用求曲线的切线方程，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第3问解题的关键是将不等式转化为恒成立，再构造函数，再次转化为恒成立，再利用导数判断其单调性，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题
18．
【解析】
【分析】
由题意有，将其看成时间的函数，再通过导数的定义求解.
【详解】
设所求小船速度为，，，则（其中是时间的函数），
所以
当时，，
又，
故小船的速度.
19．，
【解析】
【分析】
由导数的实际意义可知，时的，即可知，时的速度.
【详解】
由，求导得，
所以，时的速度均为.
20．答案见解析.
【解析】
【分析】
根据切线的定义逐个作出即可.
【详解】
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
21．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求导，分 ，， 讨论求解；
（2）由有两个不相等实数根，则，得到，进而得到，令，构造，令，利用其单调性求解.
(1)
解：∵，，
∴.
①当时，在上单调递增；
②当时，令，解得.
当时，在上单调递减.
当时，，当时，单调递增；
当时，单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)
证明：由（1）可知，当时，单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.
∴若有两个不相等实数根，则，且，∴.
∴即，有，
有，有.
令，有，
又由，
令，有，
可知函数单调递增，
有，故有.
【点睛】
关键点点睛：本题第二问关键是根据有两个不相等实数根，由，得到，令，构造，由的单调性而得解.
22．
【解析】
【分析】
由导数的定义，可知，再代入数值求解即可.
【详解】
由图知函数的图象过，两点
根据导数的意义，可知
所以估计为．
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