2021-2022学年北师大版数学八年级下册1.1等腰三角形（第二课时）课时练习（Word版含答案）

等腰三角形（第二课时）
一、单选题
1．已知三角形三个内角的度数之比为3：3：4，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
2．下列三角形中，等腰三角形的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过O作EFBC交AB于E，交AC于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
4．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝40°，则∠ADB的度数为（　　）
A．25° B．60° C．90° D．100°
5．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，等边三角形ADE的顶点D在BC边上，连接CE，已知∠DCE=90°，CD=，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
7．点D、E分别是等边三角形的边、的中点，，F是AD上一动点，则的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于G，交于H．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
9．如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DEC全等，点A和点D，点B和点C是对应点，AF和DE交于点M，则与EM相等的线段是（　　）
A．BE B．MF C．FC D．EF
10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，则BC的长为（　　）
A．﹣ B． C．2+ D．2+
11．如图，上午8时，一艘船从处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达处，从两点望灯塔，测得，则处到灯塔的距离为（ ）
A．45海里 B．30海里 C．20海里 D．15海里
12．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，，点M，N在边OB上，，若MN＝2，则OM＝（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( )
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7.3
14．如图，∠AOB＝60°，P为∠AOB内一点，P到OA、OB的距离PM、PN分别为2和11，则OP的长（ ）
A．15 B．14 C．11 D．12
二、填空题
15．如图，将宽为的纸条沿BC折叠，，则折叠后重叠部分的面积为____．（根号保留）
16．如图，在等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，过点D作于点E，若，则CE的长为______．
17．如图，在△ABC中．AB=AC，∠B=76°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交射线BC于点D，连接AD．则∠CAD的度数是_____°．
18．如图，在中，，，点D在AC边上，点E在BC边上，且DB平分，，，则_____________．
三、解答题
19．如图，在中，，于点，于点，，与交于点，连接．试说明：．
20．如图，与交于点，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
21．如图，在中，于点为上的点，．
（1）求证：
（2）若求的长．
22．已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点O，点M、N分别是线段、的中点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：是等边三角形．
23．如图，△ABC中，AB＝BC＝CA＝3，点D是边AB延长线上的一动点，分别以C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧在CD上方交于点E，连接EB并延长EB，交过点A且垂直于AD的直线于点F．
(1)求证：EB＝DA；
(2)当时，求∠DEF的度数；
(3)在点D运动过程中，线段BF的长度是否会发生变化？若不会发生变化，则求出BF的长度；若会发生变化，请说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
解：（方法一）
设三角形最大的内角为4x°，则另外两个内角均为3x°，
依题意得：3x＋3x＋4x＝180°，
解得：x＝18，
∴3x°＝3×18°＝54°，4x°＝4×18°＝72°，
∴这个三角形是等腰三角形；
（方法二）
∵三角形三个内角的度数之比为3：3：4，
∴这个三角形为等腰三角形．
故选：A．
2．B
解：第一个图形中有两边相等，故第一个三角形是等腰三角形，
第二个图形中的三个角分别为50°，35°，95°，故第二个三角形不是等腰三角形；
第三个图形中的三个角分别为100°，40°，40°，故第三个三角形是等腰三角形；
第四个图形中的三个角分别为90°，45°，45°，故第四个三角形是等腰三角形；
故答案为：B．
3．B
解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO＝CBO，∠OCB＝∠FCO．
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠CBO，∠FOC＝∠BCO，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴BE＝EO，CF＝FO，即△BEO，△CFO都为等腰三角形．
又∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴△AEF为等腰三角形．
∵∠ABC＝∠ACB，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，即△BOC是等腰三角形．
故等腰三角形有：△ABC，△BEO，△CFO，△BOC，△AEF，
故选：B．
4．D
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵∠DBC＝40°，
∴∠ADB=∠C+∠DBC=60°+40°=100°，
故选D.
5．B
解：∵△ABC为等腰直角三角形，△ADE为等边三角形，
∴∠BAC=90°，∠B=∠ACB=45°，AB=AC，∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，AD=AE=DE，
又∵∠DCE=90°，
∴∠ACE=∠ACB=45°，即AC平分∠DCE，
又∵△ADE为等边三角形，AC平分∠DCE，
∴AC平分∠DAE，即∠DAC=∠EAC=30°，
在△ADC和△AEC中，，
∴△ADC≌△AEC，
∴DC=EC，
又∵AC平分∠DCE，
∴AC⊥DE，DF=FE，
∵CD=，
∴DC=EC=，
∴DE=2，则AD=AE=DE=2，
∴DF=FE=CF=1，
∴AF=，
∴AB=AC=，
故选：B．
．
6．C
解：连接BE，
∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，
∴∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，
∵EF⊥AB，
∴∠D=90°-∠ABC=30°，即∠D=∠CBE=30°，
∴BE=DE，
在Rt△BEF中，EF=1，
∴BE=2EF=2，
∴BE=DE=2，
∴DF=EF+DE=3，
故选：C．
7．A
解：连接，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），
是的中点，是等边三角形，
由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，
∵等边△ABC中，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF=BF，
即BF+EF=CF+EF=CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
在△ADB和△CEB中，
，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE=AD=6，
即BF+EF=6．
故选A
8．B
解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠BAG＝2∠ACF，故②正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：B．
9．B
解：∵△ABF与△DEC全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，
∴△ABF≌△DCE，
．
故选B
10．B
解：∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠B＝∠DAB，
∴BD＝AD＝，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，
∴DC＝＝＝，
∴BC＝BD+DC＝
故选：B．
11．B
解：由题意得：（海里），
，
，
，
海里，
即处到灯塔的距离为30海里，
故选：B．
12．B
解：过P作，
∵，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
则．
故选：B．
13．A
解：∵∠C=90°，AB=8，∠B=30°，
∴AC=AB=×8=4，
∵点P是BC边上的动点，
∴4＜AP＜8，
∴AP的值不可能是3.5．
故选：A．
14．B
解：如图所示：延长NP交OM于点C，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
在中，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴设，则，
∴在中，
即，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴在中，
，
故选：B．
15．
解：如图，由折叠性质得：∠ECB=∠ACB
∵DE∥AB
∴∠DCA=∠CAB=45°
∵∠DCA+∠ACB+∠ECB=180°
∴
∵∠CAB+∠ACB+∠ABC=180°
∴∠ABC=∠ACB=67.5°
∴AB=AC
即△ABC是等腰三角形
过点C作CG⊥AB于点G，则CG=2，且∠ACG=∠CAB=45°
∴△CGA为等腰直角三角形
∴AG=CG=2
由勾股定理得：
∴
∴重叠部分△ABC的面积为
故答案为：
16．##0.5
解：在等边三角形ABC中，，
∵BD是AC边上的中线，∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，∴，
故答案为：
17．38
解：由题意可得，AC=CD，
∵AB=AC，∠B=76°，
∴∠ACB=∠B=76°，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA=∠ACB=38°，
故答案为：38．
18．
解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，
设
则
DB平分，
又
故答案为：．
19．见解析
解：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF(ASA)，
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE，
∴BF=2AE；
20．(1)见解析
(2)见解析
解：（1）∵，
∴与都是直角三角形.
在与中，
∵，，
∴.
（2）解法一：∵，
∴，
∴.
解法二：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴.
21．（1）见解析；（2）.
解：（1）∵BD⊥AC，∠PAC=45°，
∴∠DPA=∠PAC =45°，
∴AD=DP，
且AB=CP，
∴Rt△ADB≌Rt△PDC（HL），
∴CD=BD；
（2）∵，∠DPA=45°，
∴∠CPD=60°，
又∵BD⊥AC，
∴∠PCD=30°，
∵AB=CP，
∴CP=2，
∴PD=1，
∴CD= ．
∴BD=，
∴PB=.
22．(1)见解析
(2)
(3)见解析
(1)
解：∵、都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
(2)
解：∵，
∴，
∵等边三角形，
∴，
∴，
，
，
，
，
∴，
答：的度数是．
(3)
证明：∵，
∴，，
又∵点M、N分别是线段、的中点，
∴，，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
，
又，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
23．(1)见解析
(2)50°
(3)不会，6
解：
(1)
由题意可知：CD＝DE＝EC．
∴∠DCE＝∠DEC＝∠CDE＝60°．
∵AB＝BC＝CA，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°．
∴∠DCE＝∠BCA．
∴∠DCE＋∠DCB＝∠BCA＋∠DCB．
即：∠ECB＝∠DCA．
在△EBC 和△DAC中
∴△EBC ≌△DAC（SAS）．
∴EB＝DA．
(2)
在△DAC中，
∠CDB＝180°－∠DCA－∠CAB
＝180°－110°－60°＝10°．
∵△EBC ≌△DAC，
∴∠CEF＝∠CDB＝10°．
∴∠DEF＝∠DEC－∠CEF＝60°－10°＝50°．
(3)
在点D运动过程中，线段BF的长度不会发生变化．
∵△EBC ≌△DAC，
∴∠EBC＝∠CAB＝60°．
∵∠DBC＝180°－∠CBA＝180°－60°＝120°，
∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝120°－60°＝60°．
∴∠FBA＝∠DBE＝60°．
∵FA⊥DA，
∴∠FAB＝90°．
∴∠F＝90°－∠FBA＝90°－60°＝30°．
∴BF＝2AB＝2×3＝6．
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