18.2.4 菱形的判定教学课件（共37张PPT）
文档属性
| 名称 | 18.2.4 菱形的判定教学课件（共37张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-05 13:59:02 | ||
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文档简介
(共37张PPT)
人教版八下数学
精品同步教学课件
18.2 特殊的平行四边形
18.2.4 菱形的判定
课件栏目及使用说明：本课件适用于常规同步教学课堂，面向基础水平的学生使用。课件包括以下环节：
新知引入
典例分析
自主学习
随堂练习
拓展提高
课堂小结
备选习题
A
B
C
D
O
(1)菱形具有平行四边形的一切性质；
(2)菱形的四条边都相等；
(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角
线平分一组对角；
问题 菱形性质有哪些？
问题引入
由对角线的位置关系判定菱形
1
同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？
根据定义得：一组邻边相等的平行四边形是菱形.
自主学行四边形
菱形
一组邻边相等
还有其它的方法吗？
自主学习
用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形. 转动木条，这个四边形什么时候变成菱形
猜想一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
自主学习
证明：
判定一：对角线互相垂直的平行四形是菱形.
已知：在 ABCD中有对角线AC⊥BD，
且相交于点O
求证： ABCD是菱形
∵四边形ABCD是平行四边形. ∴BO=DO
又∵AO=AO，∠AOD=∠AOB
∴△AOD≌△AOB. ∴AD=AB
∴ ABCD是菱形
D
C
B
A
O
自主学习
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
几何语言描述：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理：
自主学习
例 1
如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
且AB=5，AO=4，BO=3.求证： □ ABCD 是菱形.
∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴AB2=AO2+BO2.
∴△OAB是直角三角形，
AC⊥BD.
∴□ABCD 是菱形.
证明：
典例分析
1.
如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构 成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？
四边形ABCD是一个菱形．
理由：由题意易得
AB＝BC＝CD＝AD，
所以四边形ABCD是菱形．
解：
课堂练习
2.
如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，且直线 AC 是对称轴，BD与AC交于点O，AB∥CD，则下列结论：
①AC⊥BD；②AD∥ BC；
③四边形 ABCD 是菱形；
④△ABD≌△CDB.
其中正确的是____________(只填写序号).
①②③④
课堂练习
3. 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC，
∴AO = OC .
又∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形.
课堂练习
由边的数量关系判定菱形
2
我们知道，菱形的四条边相等. 反过来，四条边
相等的四边形是菱形吗
思考
自主学习
小刚：分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条 弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点.
已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？
C
A
B
D
想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
自主学习
证明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
自主学习
四条边都相等的四边形是菱形
AB=BC=CD=AD
几何语言描述：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
菱形的判定定理：
四边形ABCD
A
B
C
D
自主学习
证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形CDEF是菱形.
2
例2 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在
AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
典例分析
例3
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，
点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中
点．试说明：四边形EFGH是菱形．
典例分析
∵点E，H分别为AD，AC的中点，
∴EH为△ACD的中位线，∴EH＝ CD.
同理可证：EF＝ AB，FG＝ CD，HG＝ AB.
∵AB＝CD，
∴EH＝EF＝FG＝HG，
∴四边形EFGH是菱形．
解：
典例分析
归 纳
有较多线段相等的条件时，我们可考虑通过证明
四条边相等来证明这个四边形是菱形．注意：本例也
可以通过先证四边形EFGH是平行四边形，再证一组
邻边相等，只不过步骤复杂一点，读者不妨试一试．
自主学习
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接AC、BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
例4 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
典例分析
C
A
B
D
E
F
G
H
【变式题】 如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：四边形EFGH是菱形.
又∵AC=BD,
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形.
归纳
理由如下：连接AC、BD
典例分析
A
B
C
D
E
F
G
H
拓展1 如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：连接AC、BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴四边形EFGH是平行四边形.
拓展2 如图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
四边形EFGH是矩形.
典例分析
例5 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形.
典例分析
(2)解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为 ，
∴菱形的面积为 .
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
典例分析
归 纳
判定菱形的方法：
①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形， 再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分；
②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等．
自主学习
一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什 么？求出它的面积.
这是一个特殊的平行四边形，是菱形．
如图，在平行四边形ABCD中，
AB＝9，BD＝12，AC＝
所以OB＝OD＝6，
OA＝OC＝
解：
1.
课堂练习
因为62＋( )2＝92，即OB2＋OA2＝AB2，
所以△AOB是直角三角形，
所以AO⊥BO，即AC⊥BD，
所以平行四边形ABCD是菱形．
S菱形ABCD＝ AC·BD＝ ×6 ×12＝36 .
课堂练习
2.
如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．BA＝BC
B．AC，BD互相平分
C．AC＝BD
D．AB∥CD
B
课堂练习
3.
如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC ＝24 cm，则四边形ABCD的周长为 ( )
A．52 cm
B．40 cm
C．39 cm
D．26 cm
A
课堂练习
菱形的判定
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
五种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
菱形的判定方法：
如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD. 求证：四边形ABCD是菱形．
1.
证明：∵AC平分∠BAD，
BD平分∠ABC，AE∥BF，
∴∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD，
∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠CBD.
备选习题
∴∠BAC=∠BCA，∠ABD=∠ADB.
∴AB=BC，AB=AD.
∴BC=AD.
∵BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又AB=BC，∴四边形ABCD是菱形.
备选习题
如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB；点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相
交于点E. 求证：四边形AMEN，
EFCG都是菱形．
2.
证明：∵MG∥AD，NF∥AB，
∴四边形AMEN是平行四边形.
备选习题
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD.
又∵BM=DN，
∴AB－BM=AD－DN，即AM=AN.
∴四边形AMEN是菱形.
同理可证四边形EFCG是菱形.
备选习题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
人教版八下数学
精品同步教学课件
18.2 特殊的平行四边形
18.2.4 菱形的判定
课件栏目及使用说明：本课件适用于常规同步教学课堂，面向基础水平的学生使用。课件包括以下环节：
新知引入
典例分析
自主学习
随堂练习
拓展提高
课堂小结
备选习题
A
B
C
D
O
(1)菱形具有平行四边形的一切性质；
(2)菱形的四条边都相等；
(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角
线平分一组对角；
问题 菱形性质有哪些？
问题引入
由对角线的位置关系判定菱形
1
同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？
根据定义得：一组邻边相等的平行四边形是菱形.
自主学行四边形
菱形
一组邻边相等
还有其它的方法吗？
自主学习
用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形. 转动木条，这个四边形什么时候变成菱形
猜想一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
自主学习
证明：
判定一：对角线互相垂直的平行四形是菱形.
已知：在 ABCD中有对角线AC⊥BD，
且相交于点O
求证： ABCD是菱形
∵四边形ABCD是平行四边形. ∴BO=DO
又∵AO=AO，∠AOD=∠AOB
∴△AOD≌△AOB. ∴AD=AB
∴ ABCD是菱形
D
C
B
A
O
自主学习
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
几何语言描述：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理：
自主学习
例 1
如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
且AB=5，AO=4，BO=3.求证： □ ABCD 是菱形.
∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴AB2=AO2+BO2.
∴△OAB是直角三角形，
AC⊥BD.
∴□ABCD 是菱形.
证明：
典例分析
1.
如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构 成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？
四边形ABCD是一个菱形．
理由：由题意易得
AB＝BC＝CD＝AD，
所以四边形ABCD是菱形．
解：
课堂练习
2.
如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，且直线 AC 是对称轴，BD与AC交于点O，AB∥CD，则下列结论：
①AC⊥BD；②AD∥ BC；
③四边形 ABCD 是菱形；
④△ABD≌△CDB.
其中正确的是____________(只填写序号).
①②③④
课堂练习
3. 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC，
∴AO = OC .
又∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形.
课堂练习
由边的数量关系判定菱形
2
我们知道，菱形的四条边相等. 反过来，四条边
相等的四边形是菱形吗
思考
自主学习
小刚：分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条 弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点.
已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？
C
A
B
D
想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
自主学习
证明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
自主学习
四条边都相等的四边形是菱形
AB=BC=CD=AD
几何语言描述：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
菱形的判定定理：
四边形ABCD
A
B
C
D
自主学习
证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形CDEF是菱形.
2
例2 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在
AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
典例分析
例3
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，
点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中
点．试说明：四边形EFGH是菱形．
典例分析
∵点E，H分别为AD，AC的中点，
∴EH为△ACD的中位线，∴EH＝ CD.
同理可证：EF＝ AB，FG＝ CD，HG＝ AB.
∵AB＝CD，
∴EH＝EF＝FG＝HG，
∴四边形EFGH是菱形．
解：
典例分析
归 纳
有较多线段相等的条件时，我们可考虑通过证明
四条边相等来证明这个四边形是菱形．注意：本例也
可以通过先证四边形EFGH是平行四边形，再证一组
邻边相等，只不过步骤复杂一点，读者不妨试一试．
自主学习
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接AC、BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
例4 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
典例分析
C
A
B
D
E
F
G
H
【变式题】 如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：四边形EFGH是菱形.
又∵AC=BD,
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形.
归纳
理由如下：连接AC、BD
典例分析
A
B
C
D
E
F
G
H
拓展1 如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：连接AC、BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴四边形EFGH是平行四边形.
拓展2 如图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
四边形EFGH是矩形.
典例分析
例5 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形.
典例分析
(2)解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为 ，
∴菱形的面积为 .
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
典例分析
归 纳
判定菱形的方法：
①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形， 再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分；
②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等．
自主学习
一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什 么？求出它的面积.
这是一个特殊的平行四边形，是菱形．
如图，在平行四边形ABCD中，
AB＝9，BD＝12，AC＝
所以OB＝OD＝6，
OA＝OC＝
解：
1.
课堂练习
因为62＋( )2＝92，即OB2＋OA2＝AB2，
所以△AOB是直角三角形，
所以AO⊥BO，即AC⊥BD，
所以平行四边形ABCD是菱形．
S菱形ABCD＝ AC·BD＝ ×6 ×12＝36 .
课堂练习
2.
如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．BA＝BC
B．AC，BD互相平分
C．AC＝BD
D．AB∥CD
B
课堂练习
3.
如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC ＝24 cm，则四边形ABCD的周长为 ( )
A．52 cm
B．40 cm
C．39 cm
D．26 cm
A
课堂练习
菱形的判定
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
五种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
菱形的判定方法：
如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD. 求证：四边形ABCD是菱形．
1.
证明：∵AC平分∠BAD，
BD平分∠ABC，AE∥BF，
∴∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD，
∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠CBD.
备选习题
∴∠BAC=∠BCA，∠ABD=∠ADB.
∴AB=BC，AB=AD.
∴BC=AD.
∵BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又AB=BC，∴四边形ABCD是菱形.
备选习题
如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB；点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相
交于点E. 求证：四边形AMEN，
EFCG都是菱形．
2.
证明：∵MG∥AD，NF∥AB，
∴四边形AMEN是平行四边形.
备选习题
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD.
又∵BM=DN，
∴AB－BM=AD－DN，即AM=AN.
∴四边形AMEN是菱形.
同理可证四边形EFCG是菱形.
备选习题
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