18.2.5 正方形及其性质教学课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
人教版八下数学
精品同步教学课件
18.2 特殊的平行四边形
18.2.5 正方形及其性质
课件栏目及使用说明：本课件适用于常规同步教学课堂，面向基础水平的学生使用。课件包括以下环节：
新知引入
典例分析
自主学习
随堂练习
拓展提高
课堂小结
备选习题
矩 形
〃
〃
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么
发现？
正方形
正方形的定义
1
问题引入
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么
发现？
正方形
问题引入
正方形的概念：
__________________________________
的平行四边形是正方形.
_______________的菱形是正方形.
_________________的矩形是正方形.
定义
有一组邻边相等且有一个角是直角的
有一个角是直角
有一组邻边相等
自主学习
已知：如图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB= BC=CD=AD.
自主学习
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
自主学习
正方形的性质
2
正方形边的性质：
具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即
四条边相等，邻边垂直，对边平行；
自主学习
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
自主学习
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相
交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的
等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都
是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
典例分析
例 2
如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，
点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF. 求证：DE
=BE.
本题要证明两条线段相等，而证明
线段相等的方法有很多，根据题中
所给的条件，由正方形ABCD，我们可以得到边相等，角相等，也可以得到平行，所以在可以得到比较多的条件的情况下，一般会想到用全等去解决，而本题中全等的条件也很充足，那么问题即可解决．
分析：
典例分析
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABF=∠BAD=90°．
∴∠BAE+∠EAD=90°．
∴EA⊥AF， ∴∠BAE+∠FAB=90°．
∴∠EAD=∠FAB．
∴△ABF≌△ADE．∴DE=BF.
证明：
典例分析
例3 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
典例分析
【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
典例分析
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．
典例分析
【变式题2】 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
（1）求证：△APB≌△DPC；
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°．
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，
即∠ABP=∠DCP．
又∵AB=DC，PB=PC，
∴△APB≌△DPC．
典例分析
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵△APB≌△DPC，
∴AP=DP．
又∵AP=AB=AD，
∴DP=AP=AD．
∴△APD是等边三角形．
∴∠DAP=60°．
∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．
∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．
∴∠BAP=2∠PAC．
（2）求证：∠BAP=2∠PAC．
典例分析
如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC为对角
线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
例 4
线段BE是Rt△ABE的一边，但由
于AE未知，不能直接用勾股定理
求BE，由条件可证△ABE≌△AFE，问题转化为求EF的长，结合已知条
件易获解．
思路：
典例分析
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE.
∴AB＝AF＝1 cm，BE＝EF，∴FC＝BE.
解：
在Rt△ABC中，AC
∴FC＝AC－AF＝( －1)(cm)，∴BE＝( －1) cm.
典例分析
1.
下面四个定义中不正确的是(　　)
A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形
C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的
平行四边形叫做正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
B
课堂练习
2.
ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得 ABCD为正方形．
AC＝BD
课堂练习
3.
正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　　)
A．四个角都相等
B．四条边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
B
课堂练习
4.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
∴正方形的周长为4AD＝ ，
面积为AD2＝8.
课堂练习
5. 如图，在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
∴∠DCF=180°-∠BCE=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
A
B
D
C
F
E
课堂练习
延长BE交DE于点M,
∵△BCE≌△DCF ,
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF =90° ,
∴∠CDF +∠F =90°,
∴∠CBE+∠F=90° ,
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
A
B
D
F
E
C
M
课堂练习
正方形及其性质
1.正方形是中心对称图形，轴对称图形.
2.正方形的四条边都相等.
3.正方形的四个角都相等.
4.正方形的对角线互相垂直平分且相等，且每一条
对角线平分一组对角.
有 一组邻边相等 并且 有一个角是直角
平行四边形 是 正方形
的
正方形及其性质
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php