2021—2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.2矩形的性质与判定同步达标测试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021—2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.2矩形的性质与判定同步达标测试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 404.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-05 12:11:45 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-2矩形的性质与判定》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠OAD＝40°，则∠COD＝（ ）
A．20° B．40° C．80° D．100°
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EO⊥AC于点O，交BC于点E，若△ABE的周长为5，AB＝2，则AD的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
3．矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若AB＝CF＝4，BC＝CE＝2，则EH＝（ ）
A． B．2 C． D．
4．如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，若CD＝3，DE＝5，则AD的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
5．如图，在矩形ABCD中，点F为边AD上一点，过F作EF∥AB交边BC于点E，P为边AB上一点，PH⊥DE交线段DE于H，交线段EF于Q，连接DQ．当AF＝AB时，要求阴影部分的面积，只需知道下列某条线段的长，该线段是（ ）
A．EF B．DE C．PH D．PE
6． ABCD中，添加一个条件就成为矩形，则添加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．∠B+∠D＝180°
C．AC＝AD D．对角线互相垂直
7．已知 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则ED的长为（ ）
A． B． C．2 D．
9．如图，在等腰直角△ABC中，AB＝BC，点D是△ABC内部一点，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，若CE＝3DE，5DF＝3AF，DE＝2.5，则AF＝（ ）
A．8 B．10 C．12.5 D．15
10．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．24 B．24 C．12 D．12
二．填空题（共8小题，满分32分）
11．如图在矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为 ．
12．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝，AF＝，则AC的长为 ．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E、F分别为AB、CD边上的点，且EF∥BC，G为EF上一点，且GF＝2，M、N分别为GD、EC的中点，则MN＝ ．
14．如图，在矩形纸片ABCD中，边AB＝12，AD＝5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，若OE：ED＝1：3，AE＝，则BD＝ ．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上（不与点A，B重合），DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF．若AC＝3，BC＝2，则EF的最小值为 ．
17．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝ °．
18．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BOC＝120°，AB＝3，则BC的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分58分）
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6．动点P、Q分别从点D、A同时出发向右运动，点P的运动速度为2个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，当一个点到达终点时两个点都停止运动．设运动的时间为t（s）
（1）当t＝2时，PQ的长为 ；
（2）若PQ＝PB，求运动时间t的值；
（3）若BQ＝PQ，求运动时间t的值．
20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE＝DF．
21．如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
22．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图1，使AB＝CD，EF＝CH；
（2）摆成如图2的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是 ；
（3）将直角尺靠紧窗框的一个角，如图3，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，如图4，说明窗框合格，判断窗框形状，并说明数学道理．
23．如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD，BF的中点，AB＝AC．求证：四边形ADCF是矩形．
24．如图，在 ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，DE交BC于点O，连接EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝40°，当∠BOD等于多少度时四边形BECD是矩形，并说明理由．
25．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E射线BC上一动点，△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．
（1）当点F在对角线AC上时，求FC的长；
（2）当△FCE是直角三角形时，求BE的长．
26．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）求证：△ADC≌△ECD；
（3）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴OD＝OB＝OA＝OC，
∵∠OAD＝40°，
∴∠ODA＝∠OAD＝40°，
∴∠COD＝∠ODA+∠OAD＝40°+40°＝80°，
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BC＝AD，
∵EO⊥AC，
∴AE＝EC，
∵△ABE的周长为5，
∴AB+AE+BE＝5，
∴2+BC＝5，
∴BC＝3＝AD，
故选：C．
3．解：连接DH，并延长交EG于N，
∵AD∥EG，
∴∠DAH＝∠AGN，
∵点H是AG的中点，
∴AH＝HG，
在△ADH和△GNH中，
，
∴△ADH≌△GNH（ASA），
∴DH＝HN，NG＝AD＝2，
∵AB＝CD＝EG＝4，BC＝CE＝2，
∴DE＝EN＝2，
又∵∠DEN＝90°，
∴DN＝DE＝2，
∵DE＝EN，DH＝HN，∠DEN＝90°，
∴EH＝DN＝，
故选：A．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，
∵ED＝5，CD＝3，
∴EC2＝DE2﹣CD2＝25﹣9＝16，
∴CE＝4，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE；
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB＝CD＝3，
∴BC＝BE+EC＝7，
∴AD＝7，
故选：B．
5．解：过点P作PM⊥EF于点M，如图：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠C＝90°，
∵EF∥AB，
∴EF∥DC，
∴∠EDC＝∠DEF，
∵PH⊥DE，PM⊥EF，
∴∠PMQ＝∠EHQ＝90°，
又∵∠PQM＝∠EQH，
∴∠QPM＝∠DEF＝∠EDC，
在△PMQ和△DCE中，
，
∴△PMQ≌△DCE（ASA），
∴PQ＝DE，
∴阴影部分的面积＝S△PDE﹣S△QED＝×DE×PH﹣DE×QH＝DE2，
∴故选：B．
6．解：A、当AB＝CD，不能判定 ABCD为矩形，故该选项不符合题意；
B、∵ ABCD中∠B＝∠D，∠B+∠D＝180°，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴ ABCD是矩形；故该选项正确，符合题意；
C、∵AC＝AD，不能得出 ABCD是矩形，故该选项不符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项不符合题意．
故选：B．
7．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴ ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∠A＝∠C不能判定 ABCD为矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∴ ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
8．解：连接EC，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC．
∵EO⊥AC，
∴OE为线段AC的垂直平分线．
∴EC＝AE．
设DE＝x，则AE＝12﹣x．
∴EC＝12﹣x，
在Rt△ECD中，
∵EC2＝DE2+DC2，
∴（12﹣x）2＝x2+92．
解得：x＝．
∴DE＝．
故选：A．
9．解：∵DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠DEB＝∠DFB＝90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形DEBF为矩形，
∴BF＝DE＝2.5，DF＝EB，
设DF＝3x，则EB＝3x，
∵5DF＝3AF，
∴AF＝5x，AB＝5x+2.5，
∵DE＝2.5，
∴CE＝3DE＝7.5，
∴CB＝7.5+3x，
∵AB＝CB，
∴5x+2.5＝7.5+3x，
解得x＝2.5，
∴AF＝5x＝12.5，
故选：C．
10．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∵AE平分∠BAC，AE＝CE，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，
∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴AE＝CE＝2BE＝4，AB＝2，
∴BC＝BE+CE＝6，
∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分32分）
11．解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝30°，AB＝2，
∴AC＝2AB＝2×2＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝4．
故答案为：4．
12．解：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE＝，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE＝，
又∵BE＝，
∴BC＝BE+EC＝+＝8，
在Rt△ABE中，
AB＝＝＝＝6，
在Rt△ABC中，
AC＝＝＝10．
故答案为：10．
13．解：如图，取DF的中点H，CF的中点Q，连接MH，NQ，过点M作MK⊥NQ于K，
∵EF∥BC，AB∥CD，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵∠BCD＝90°，
∴四边形BCFE是矩形，
∴EF＝BC＝AD＝8，
∵M、N分别为GD、EC的中点，H是DF的中点，Q是CF的中点，
∴NQ＝EF＝4，MH＝GF＝1，MH∥EF，NQ∥EF，HQ＝CD＝3，
∴MH∥NQ，
∵KM⊥NQ，∠NQD＝90°，
∴MK∥HQ，
∴四边形MHQK是平行四边形，
∴MK＝3，KQ＝MH＝1，
∴NK＝3，
∴MN＝MK＝3，
方法二，连接BF，连接FM并延长交AD于H，连接BH，
∵EF∥BC，AB∥CD，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵∠BCD＝90°，
∴四边形BCFE是矩形，
∴BN＝FN，
∵AD∥EF，
∴∠ADM＝∠DGF，∠DHM＝∠GFM，
又∵DM＝MG，
∴△DHM≌△GFM（AAS），
∴DH＝GF＝2，HM＝FM，
∴BH＝2MN，
∵AB＝6，AH＝AD﹣HD＝6，
∴BH＝6，
∴NM＝3，
故答案为3．
14．解：连接AC，当点D'在AC上时，CD'有最小值，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，AD＝5，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，
∴AC＝，
由折叠性质得：AD＝AD'＝5，∠AD'P＝∠D＝90°，
∴CD'的最小值＝AC﹣AD'＝13﹣5＝8，
故答案为：8．
15．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2OA＝2OD，
∵OE：ED＝1：3，
∴设OE＝x，ED＝3x，
则OD＝2x，
∵AE⊥BD，AE＝，
在Rt△OEA中，根据勾股定理，得
x2+（）2＝（2x）2，
解得x＝1，
∴BD＝4．
故答案为：4．
16．解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝2，
∴AB＝＝＝，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC AC＝AB CD，
即 ×2×3＝××CD，
解得：CD＝，
∴EF＝，
故答案为：．
17．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD＝110°，
∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣70°）＝55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°，
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°；
故答案为：35．
18．解：∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，
∴AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO，
∵AB＝3，
∴AO＝3，
∴AC＝2AO＝6，
由勾股定理得：BC＝＝＝3，
故答案为：3．
三．解答题（共8小题，满分58分）
19．解：（1）如图所示：作PH⊥AB于H，
由题意得，DP＝4，AQ＝2，
则QH＝2，又PH＝AD＝6，
由勾股定理得，PQ＝＝＝2，
故答案为：2；
（2）当PQ＝PB时，
如图，QH＝BH，
则t+2t＝8，
解得，t＝；
（3）当PQ＝BQ时，
（2t﹣t）2+62＝（8﹣t）2，
解得，t＝．
20．证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AE⊥BD，DF⊥AC，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AOE和△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（AAS），
∴AE＝DF．
21．（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD，
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝90°，
在△ABN和△MAD中，
，
∴△ABN≌△MAD（AAS）；
（2）解：∵△ABN≌△MAD，
∴BN＝AD，
∵AD＝2，
∴BN＝2，
又∵AN＝4，
在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，
∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，
∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．
22．解：（2）：如图一所示：
∵AB＝CD，EF＝GH，
∴四边形为平行四边形．（两组对边相等的四边形为平行四边形）
（3）如图二所示
由（2）知四边形为平行四边形，
∵∠C为直角，
∴四边形为矩形．（一个角为直角的平行四边形为矩形）
故答案为：（2）平行四边，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）矩，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
23．解：∵D是BC的中点，E是BF的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE∥FC，DE＝FC，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AD，
∴AD＝FC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵D是BC的中点，AB＝AC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCF是矩形．
24．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：若∠A＝40°，当∠BOD＝80°时，四边形BECD是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝40°，
∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，
∴∠ODC＝80°﹣40°＝40°＝∠BCD，
∴OC＝OD，
∵BO＝CO，OD＝OE，
∴DE＝BC，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是矩形．
25．解：（1）如图所示：
∵AB＝2，BC＝3，
∴AC＝＝，
∵△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE，
∴AF＝AB＝2，
∴FC＝AC﹣AF＝﹣2．
（2）当△FCE是直角三角形时，
①当∠CFE是直角时，如（1）图所示：
由题意可知点F在对角线AC上，且EF⊥AC，
设BE＝x，则EF＝x，
∴S△ABC＝×3×2＝3，
S△ABE＝×2×x＝x，
S△ACE＝××x，
∴3＝x+x，
解得：x＝2﹣4．
∴BE＝2﹣4．
②当∠FCE是直角时，如图所示：
∵△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．
∴AB＝AF，BE＝EF，
在Rt△ADF中，AD＝3，AF＝2，
∴DF＝＝＝，
CF＝DC﹣CE＝2﹣＝，
设BE＝x，则EF＝x，CE＝3﹣x，
∴在Rt△ADF中，
EF2＝CE2+CF2，
x2＝（3﹣x）2+，
解得：x＝2，
∴BE＝EF＝2；
③当E在BC延长线上时，此时∠CEF是直角，如图所示：
由题意得：BE＝AB＝EF＝2．
④当E在BC延长线上，∠ECF＝90°时，如图所示：
在Rt△ADF中，
DF＝＝＝＝，
∴CF＝3，
设BE＝t，则EF＝t，CE＝t﹣3，
在Rt△ECF中，
∵CF2+CE2＝EF2，
即（3）2+（t﹣3）2＝t2，
解得：t＝6，
∴BE＝6．
26．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠2，
又∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE，
∴∠B＝∠1，
∴∠1＝∠2；
（2）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝ED，
∵AB＝AC，
∴AC＝ED，
在△ADC和△ECD中，
，
∴△ADC≌△ECD（SAS）；
（3）解：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，理由如下：
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AE∥BC，
∵D为边长BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AE＝CD，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵△ADC≌△ECD，
∴AC＝DE，
∴四边形ADCE是矩形．
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠OAD＝40°，则∠COD＝（ ）
A．20° B．40° C．80° D．100°
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EO⊥AC于点O，交BC于点E，若△ABE的周长为5，AB＝2，则AD的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
3．矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若AB＝CF＝4，BC＝CE＝2，则EH＝（ ）
A． B．2 C． D．
4．如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，若CD＝3，DE＝5，则AD的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
5．如图，在矩形ABCD中，点F为边AD上一点，过F作EF∥AB交边BC于点E，P为边AB上一点，PH⊥DE交线段DE于H，交线段EF于Q，连接DQ．当AF＝AB时，要求阴影部分的面积，只需知道下列某条线段的长，该线段是（ ）
A．EF B．DE C．PH D．PE
6． ABCD中，添加一个条件就成为矩形，则添加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．∠B+∠D＝180°
C．AC＝AD D．对角线互相垂直
7．已知 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则ED的长为（ ）
A． B． C．2 D．
9．如图，在等腰直角△ABC中，AB＝BC，点D是△ABC内部一点，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，若CE＝3DE，5DF＝3AF，DE＝2.5，则AF＝（ ）
A．8 B．10 C．12.5 D．15
10．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．24 B．24 C．12 D．12
二．填空题（共8小题，满分32分）
11．如图在矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为 ．
12．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝，AF＝，则AC的长为 ．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E、F分别为AB、CD边上的点，且EF∥BC，G为EF上一点，且GF＝2，M、N分别为GD、EC的中点，则MN＝ ．
14．如图，在矩形纸片ABCD中，边AB＝12，AD＝5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，若OE：ED＝1：3，AE＝，则BD＝ ．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上（不与点A，B重合），DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF．若AC＝3，BC＝2，则EF的最小值为 ．
17．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝ °．
18．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BOC＝120°，AB＝3，则BC的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分58分）
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6．动点P、Q分别从点D、A同时出发向右运动，点P的运动速度为2个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，当一个点到达终点时两个点都停止运动．设运动的时间为t（s）
（1）当t＝2时，PQ的长为 ；
（2）若PQ＝PB，求运动时间t的值；
（3）若BQ＝PQ，求运动时间t的值．
20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE＝DF．
21．如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
22．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图1，使AB＝CD，EF＝CH；
（2）摆成如图2的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是 ；
（3）将直角尺靠紧窗框的一个角，如图3，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，如图4，说明窗框合格，判断窗框形状，并说明数学道理．
23．如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD，BF的中点，AB＝AC．求证：四边形ADCF是矩形．
24．如图，在 ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，DE交BC于点O，连接EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝40°，当∠BOD等于多少度时四边形BECD是矩形，并说明理由．
25．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E射线BC上一动点，△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．
（1）当点F在对角线AC上时，求FC的长；
（2）当△FCE是直角三角形时，求BE的长．
26．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）求证：△ADC≌△ECD；
（3）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴OD＝OB＝OA＝OC，
∵∠OAD＝40°，
∴∠ODA＝∠OAD＝40°，
∴∠COD＝∠ODA+∠OAD＝40°+40°＝80°，
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BC＝AD，
∵EO⊥AC，
∴AE＝EC，
∵△ABE的周长为5，
∴AB+AE+BE＝5，
∴2+BC＝5，
∴BC＝3＝AD，
故选：C．
3．解：连接DH，并延长交EG于N，
∵AD∥EG，
∴∠DAH＝∠AGN，
∵点H是AG的中点，
∴AH＝HG，
在△ADH和△GNH中，
，
∴△ADH≌△GNH（ASA），
∴DH＝HN，NG＝AD＝2，
∵AB＝CD＝EG＝4，BC＝CE＝2，
∴DE＝EN＝2，
又∵∠DEN＝90°，
∴DN＝DE＝2，
∵DE＝EN，DH＝HN，∠DEN＝90°，
∴EH＝DN＝，
故选：A．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，
∵ED＝5，CD＝3，
∴EC2＝DE2﹣CD2＝25﹣9＝16，
∴CE＝4，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE；
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB＝CD＝3，
∴BC＝BE+EC＝7，
∴AD＝7，
故选：B．
5．解：过点P作PM⊥EF于点M，如图：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠C＝90°，
∵EF∥AB，
∴EF∥DC，
∴∠EDC＝∠DEF，
∵PH⊥DE，PM⊥EF，
∴∠PMQ＝∠EHQ＝90°，
又∵∠PQM＝∠EQH，
∴∠QPM＝∠DEF＝∠EDC，
在△PMQ和△DCE中，
，
∴△PMQ≌△DCE（ASA），
∴PQ＝DE，
∴阴影部分的面积＝S△PDE﹣S△QED＝×DE×PH﹣DE×QH＝DE2，
∴故选：B．
6．解：A、当AB＝CD，不能判定 ABCD为矩形，故该选项不符合题意；
B、∵ ABCD中∠B＝∠D，∠B+∠D＝180°，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴ ABCD是矩形；故该选项正确，符合题意；
C、∵AC＝AD，不能得出 ABCD是矩形，故该选项不符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项不符合题意．
故选：B．
7．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴ ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∠A＝∠C不能判定 ABCD为矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∴ ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
8．解：连接EC，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC．
∵EO⊥AC，
∴OE为线段AC的垂直平分线．
∴EC＝AE．
设DE＝x，则AE＝12﹣x．
∴EC＝12﹣x，
在Rt△ECD中，
∵EC2＝DE2+DC2，
∴（12﹣x）2＝x2+92．
解得：x＝．
∴DE＝．
故选：A．
9．解：∵DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠DEB＝∠DFB＝90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形DEBF为矩形，
∴BF＝DE＝2.5，DF＝EB，
设DF＝3x，则EB＝3x，
∵5DF＝3AF，
∴AF＝5x，AB＝5x+2.5，
∵DE＝2.5，
∴CE＝3DE＝7.5，
∴CB＝7.5+3x，
∵AB＝CB，
∴5x+2.5＝7.5+3x，
解得x＝2.5，
∴AF＝5x＝12.5，
故选：C．
10．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∵AE平分∠BAC，AE＝CE，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，
∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴AE＝CE＝2BE＝4，AB＝2，
∴BC＝BE+CE＝6，
∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分32分）
11．解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝30°，AB＝2，
∴AC＝2AB＝2×2＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝4．
故答案为：4．
12．解：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE＝，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE＝，
又∵BE＝，
∴BC＝BE+EC＝+＝8，
在Rt△ABE中，
AB＝＝＝＝6，
在Rt△ABC中，
AC＝＝＝10．
故答案为：10．
13．解：如图，取DF的中点H，CF的中点Q，连接MH，NQ，过点M作MK⊥NQ于K，
∵EF∥BC，AB∥CD，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵∠BCD＝90°，
∴四边形BCFE是矩形，
∴EF＝BC＝AD＝8，
∵M、N分别为GD、EC的中点，H是DF的中点，Q是CF的中点，
∴NQ＝EF＝4，MH＝GF＝1，MH∥EF，NQ∥EF，HQ＝CD＝3，
∴MH∥NQ，
∵KM⊥NQ，∠NQD＝90°，
∴MK∥HQ，
∴四边形MHQK是平行四边形，
∴MK＝3，KQ＝MH＝1，
∴NK＝3，
∴MN＝MK＝3，
方法二，连接BF，连接FM并延长交AD于H，连接BH，
∵EF∥BC，AB∥CD，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵∠BCD＝90°，
∴四边形BCFE是矩形，
∴BN＝FN，
∵AD∥EF，
∴∠ADM＝∠DGF，∠DHM＝∠GFM，
又∵DM＝MG，
∴△DHM≌△GFM（AAS），
∴DH＝GF＝2，HM＝FM，
∴BH＝2MN，
∵AB＝6，AH＝AD﹣HD＝6，
∴BH＝6，
∴NM＝3，
故答案为3．
14．解：连接AC，当点D'在AC上时，CD'有最小值，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，AD＝5，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，
∴AC＝，
由折叠性质得：AD＝AD'＝5，∠AD'P＝∠D＝90°，
∴CD'的最小值＝AC﹣AD'＝13﹣5＝8，
故答案为：8．
15．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2OA＝2OD，
∵OE：ED＝1：3，
∴设OE＝x，ED＝3x，
则OD＝2x，
∵AE⊥BD，AE＝，
在Rt△OEA中，根据勾股定理，得
x2+（）2＝（2x）2，
解得x＝1，
∴BD＝4．
故答案为：4．
16．解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝2，
∴AB＝＝＝，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC AC＝AB CD，
即 ×2×3＝××CD，
解得：CD＝，
∴EF＝，
故答案为：．
17．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD＝110°，
∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣70°）＝55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°，
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°；
故答案为：35．
18．解：∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，
∴AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO，
∵AB＝3，
∴AO＝3，
∴AC＝2AO＝6，
由勾股定理得：BC＝＝＝3，
故答案为：3．
三．解答题（共8小题，满分58分）
19．解：（1）如图所示：作PH⊥AB于H，
由题意得，DP＝4，AQ＝2，
则QH＝2，又PH＝AD＝6，
由勾股定理得，PQ＝＝＝2，
故答案为：2；
（2）当PQ＝PB时，
如图，QH＝BH，
则t+2t＝8，
解得，t＝；
（3）当PQ＝BQ时，
（2t﹣t）2+62＝（8﹣t）2，
解得，t＝．
20．证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AE⊥BD，DF⊥AC，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AOE和△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（AAS），
∴AE＝DF．
21．（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD，
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝90°，
在△ABN和△MAD中，
，
∴△ABN≌△MAD（AAS）；
（2）解：∵△ABN≌△MAD，
∴BN＝AD，
∵AD＝2，
∴BN＝2，
又∵AN＝4，
在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，
∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，
∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．
22．解：（2）：如图一所示：
∵AB＝CD，EF＝GH，
∴四边形为平行四边形．（两组对边相等的四边形为平行四边形）
（3）如图二所示
由（2）知四边形为平行四边形，
∵∠C为直角，
∴四边形为矩形．（一个角为直角的平行四边形为矩形）
故答案为：（2）平行四边，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）矩，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
23．解：∵D是BC的中点，E是BF的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE∥FC，DE＝FC，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AD，
∴AD＝FC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵D是BC的中点，AB＝AC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCF是矩形．
24．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：若∠A＝40°，当∠BOD＝80°时，四边形BECD是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝40°，
∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，
∴∠ODC＝80°﹣40°＝40°＝∠BCD，
∴OC＝OD，
∵BO＝CO，OD＝OE，
∴DE＝BC，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是矩形．
25．解：（1）如图所示：
∵AB＝2，BC＝3，
∴AC＝＝，
∵△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE，
∴AF＝AB＝2，
∴FC＝AC﹣AF＝﹣2．
（2）当△FCE是直角三角形时，
①当∠CFE是直角时，如（1）图所示：
由题意可知点F在对角线AC上，且EF⊥AC，
设BE＝x，则EF＝x，
∴S△ABC＝×3×2＝3，
S△ABE＝×2×x＝x，
S△ACE＝××x，
∴3＝x+x，
解得：x＝2﹣4．
∴BE＝2﹣4．
②当∠FCE是直角时，如图所示：
∵△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．
∴AB＝AF，BE＝EF，
在Rt△ADF中，AD＝3，AF＝2，
∴DF＝＝＝，
CF＝DC﹣CE＝2﹣＝，
设BE＝x，则EF＝x，CE＝3﹣x，
∴在Rt△ADF中，
EF2＝CE2+CF2，
x2＝（3﹣x）2+，
解得：x＝2，
∴BE＝EF＝2；
③当E在BC延长线上时，此时∠CEF是直角，如图所示：
由题意得：BE＝AB＝EF＝2．
④当E在BC延长线上，∠ECF＝90°时，如图所示：
在Rt△ADF中，
DF＝＝＝＝，
∴CF＝3，
设BE＝t，则EF＝t，CE＝t﹣3，
在Rt△ECF中，
∵CF2+CE2＝EF2，
即（3）2+（t﹣3）2＝t2，
解得：t＝6，
∴BE＝6．
26．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠2，
又∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE，
∴∠B＝∠1，
∴∠1＝∠2；
（2）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝ED，
∵AB＝AC，
∴AC＝ED，
在△ADC和△ECD中，
，
∴△ADC≌△ECD（SAS）；
（3）解：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，理由如下：
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AE∥BC，
∵D为边长BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AE＝CD，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵△ADC≌△ECD，
∴AC＝DE，
∴四边形ADCE是矩形．