2021—2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.3正方形的性质与判定同步达标测试（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的性质与判定》同步达标测试（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．下列说法错误的是（　　）
A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B．矩形的对角线相等
C．对角线相等的菱形是正方形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2．边长为4的正方形ABCD中，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　）
A．2 B．4 C．2 D．6
3．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（　　）
A．S＝2 B．S＝2.4 C．S＝4 D．S与BE长度有关
4．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝，H是AF的中点，那么CH的长是（　　）
A．3 B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2021B2021C2021D2021的边长是（　　）
A．（）2020 B．（）2021 C．（）2021 D．（）2020
6．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，若AB＝10，AE＝3，则ED的长度为（　　）
A．7 B．2 C． D．
7．如图，在正方形ABCD中，E点是对角线BD上的一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠BAE＝56°，则∠CEF的度数为（　　）
A．30° B．79° C．22° D．81°
8．如图，正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，DE平分∠BDC交AC于F，交BC于E．若正方形ABCD的边长为2，则OF的值为（　　）
A．2 B．﹣1 C． D．2
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…An分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为　 　cm2．
10．如图，正方形ABCD边长为3，点E、F是对角线AC上的两个动点（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF的最小值是　 　．
11．如图，正方形ABCD的边长为1，以BC为对角线作第一个正方形BECO1，再以BE边为对角线作第二个正方形EFBO2，如此作下去，…则所作的第n正方形的面积Sn＝　 　．
12．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，DG⊥EF于点H，交BC于点G，点P在线段BG上．若∠PEF＝45°，AE＝CG＝5，PG＝5，则EP＝　 　．
13．如图，以正方形ABCD的边AD为一边作等边三角形ADE，F是DE的中点，BE、AF相交于点G，连接DG，若正方形ABCD的面积为36，则BG＝　 　．
14．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE＝2，则FM的长为　 　．
15．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下面四个结论：（1）AE＝BF，（2）AE⊥BF，（3）AO＝OE，（4）S△AOB＝S四边形DEOF，其中正确结论的序号是 　 　．
16．如图，以Rt△ABC的斜边BC为边，向外作正方形BCDE，设正方形的对角线BD与CE的交点为O，连接AO，若AC＝3，AO＝6，则AB的值是　 　．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．
（1）求证：∠HEA＝∠CGF；
（2）当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形．
18．如图，点E、H分别在正方形ABCD的边AB、BC上，且AE＝BH
求证：
（1）DE＝AH；
（2）DE⊥AH．
19．如图，已知四边形ABCD为正方形，点E是边AD上任意一点，△ABE按逆时针方向旋转一定角度后得到△ADF，延长BE交DF于点G，且AF＝4，AB＝7．
（1）请指出旋转中心和旋转角度；
（2）求BE的长；
（3）试猜测BG与DF的位置关系，并说明理由．
20．如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）如图2若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
21．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．
（1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF．
（2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项A错误；
矩形的对角线相等，故选项B正确；
对角线相等的菱形是正方形，故选项C正确；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项D正确；
故选：A．
2．解：如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAD＝∠BDA＝45°，
∵PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，
∴△APE和△PDF为等腰直角三角形，
∴PE＝AP，PF＝PD，
∴PE+PF＝（AP+PD）＝×4＝2．
故选：A．
3．解：连接FB
∵四边形EFGB为正方形
∴∠FBA＝∠BAC＝45°，
∴FB∥AC
∴△ABC与△AFC是同底等高的三角形
∵2S△ABC＝S正ABCD，S正ABCD＝2×2＝4
∴S＝2
故选：A．
4．解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，AD＝，DG＝，
∴AC＝2，CG＝，
∴CF＝，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
由勾股定理得，AF＝，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝×＝．
故选：B．
5．方法一：
解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…
∴D1E1＝B2E2，D2E3＝B3E4，∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E4＝30°，
∴D1E1＝C1D1sin30°＝，则B2C2＝（）1，
同理可得：B3C3＝＝（）2，
故正方形AnBn nDn的边长是：（）n﹣1．
则正方形A2021B2021C2021D2021的边长是：（）2020．
故选：D．
方法二：
∵正方形A1B1C1D1的边长为1，
∠B1C1O＝60°，
∴D1E1＝B2E2＝，
∵B1C1∥B2C2∥B3C3…
∴∠E2B2C2＝60°，
∴B2C2＝，
同理：
B3C3＝×＝…
∴a1＝1，q＝，
∴正方形A2021B2021C2021D2021的边长＝
6．解：如图，连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，AB＝AD，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，
∵EF⊥AB于点F，AE＝3，
∴AF＝EF＝3，
∵AB＝10，
∴BF＝7，
∴BE＝＝，
∴ED＝．
故选：C．
7．解：∵正方形ABCD中，∠BAD＝∠ADF＝90°，∠BAE＝56°，
∴∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DCE＝∠DAF＝34°，
∵∠DFE是△CEF的外角，
∴∠CEF＝∠DFE﹣∠DCE＝56°﹣34°＝22°，
故选：C．
8．解：过F作FG⊥CD于G，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AC⊥BD，OD＝BD，∠ACD＝45°．
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BD＝．
∴OD＝BD＝．
∵DE平分∠BDC交AC于F，AC⊥BD，FG⊥CD，
∴OF＝FG．
∵FG⊥CD，∠ACD＝45°，
∴△FGC为等腰直角三角形．
∴CG＝FG．
在Rt△DOF和Rt△DGF中：
．
∴Rt△DOF≌Rt△DGF（AAS）．
∴DG＝OD＝．
∴CG＝CD﹣DG＝2﹣．
∴OF＝EG＝CG＝2﹣．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝cm2．
故答案为：．
10．解：如图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，
∵DM＝EF，DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴DE＝FM，
∴DE+BF＝FM+FB＝BM，
根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝3，∠BAD＝90°
∴AD＝AB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AB＝3，
在Rt△BDM中，BM＝＝
∴DE+BF的最小值为．
故答案为．
11．解：∵正方形ABCD的边长为1，
∴AB＝1，AC＝，
∴AE＝AO1＝，
∴S1＝正方形BECO1＝×＝，
同理BO2＝，
S2＝，S3＝，S4＝，
…
所作的第n正方形的面积Sn＝．
故答案为．
12．解：过点F作FM⊥AB于点M，连接PF、PM，如图所示：
则FM＝AD，AM＝DF，∠FME＝∠MFD＝90°，
∵DG⊥EF，
∴∠MFE＝∠CDG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝DC＝AD，
∴FM＝DC，
在△MFE和△CDG中，，
∴△MFE≌△CDG（ASA），
∴ME＝CG＝5，
∴AM＝DF＝10，
∵CG＝PG＝5，
∴CP＝10，
∴AM＝CP，
∴BM＝BP，
∴△BPM是等腰直角三角形，
∴∠BMP＝45°，
∴∠PMF＝45°，
∵∠PEF＝45°＝∠PMF，
∴∠EPF＝∠FME＝90°，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴EP＝FP，
∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠BPE+∠CPF＝90°，
∴∠BEP＝∠CPF，
在△BPE和△CFP中，，
∴△BPE≌△CFP（AAS），
∴BE＝CP＝10，
∴AB＝AE+BE＝15，
∴BP＝5，
在Rt△BPE中，由勾股定理得：EP＝＝＝5；
故答案为：5．
13．解：如图所示，连接BD，
∵S正方形ABCD＝36，
∴AD＝6，BD＝6，
在正方形ABCD和等边△ADE中，
∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+60°＝150°，AB＝AD＝AE，
∴∠AEB＝（180°﹣∠BAE）＝（180°﹣150°）＝15°，
∴∠DEG＝∠AED﹣∠AEB＝60°﹣15°＝45°，
∵F为DE的中点，
∴AF垂直平分DE，DF＝DE＝×6＝3，
∴DG＝EG，
∴∠GDE＝45°＝∠DEG，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴DG＝DF＝3，∠DGE＝90°，
∴Rt△BDG中，BG＝＝＝3．
故答案为：3．
14．解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴FM＝5．
故答案为：5．
15．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°．
∵CE＝DF，∴AF＝DE．
∴△ABF≌△DAE．
∴AE＝BF；
∠AFB＝∠AED．
∵∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AFB+∠DAE＝90°，
∴∠AOF＝90°，即AE⊥BF；
S△AOB＝S△ABF﹣S△AOF，S四边形DEOF＝S△ADE﹣S△AOF，
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△ADE，
∴S△AOB＝S四边形DEOF．
故正确的有 （1）、（2）、（4）．
16．解：过O作OF⊥AB于F，OH⊥AC，交AC延长线于H，
∵∠BAC＝90°，OF⊥AB，OH⊥AC，
∴四边形AFOH为矩形．
∴∠FOH＝90°．
∴∠COH+∠COF＝90°．
∵四边形BCDE为正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°．
∴∠FOB+∠COF＝90°．
∴∠FOB＝∠COH．
∵OF⊥AB，OH⊥AC，
∴∠BFO＝∠CHO＝90°．
在△BFO和△CHO中，
∴△BFO≌△CHO（AAS）．
∴BF＝CH，OF＝OH．
∴矩形AFOH为正方形．
∴AF＝AH，AO＝AH．
∵AO＝6，
∴AH＝3．
∴CH＝AH﹣AC＝3﹣3．
∴BF＝CH＝3﹣3．
∴AB＝AF+BF＝AH+BF＝3+3﹣3＝6﹣3．
故答案为6﹣3．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．证明：（1）连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠CGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG＝∠FGE，
∴∠HEA＝∠CGF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠A＝90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG＝HE，
在Rt△HAE和Rt△GDH中，
，
∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），
∴∠AHE＝∠DGH，又∠DHG+∠DGH＝90°，
∴∠DHG+∠AHE＝90°，
∴∠GHE＝90°，
∴菱形EFGH为正方形；
18．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝∠B＝90°，
在△ABH与△DAE中，
∵，
∴△ABH≌△DAE（SAS），
∴DE＝AH；
（2）∵△ABH≌△DAE，
∴∠EAD＝∠HAB，
∵∠HAB+∠HAD＝90°，
∴∠EDA+∠HAD＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴DE⊥AH．
19．解：（1）旋转中心A点，旋转角度是90°．
（2）∵△ABE按逆时针方向旋转一定角度后得到△ADF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AF＝AE＝4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝90°，
由勾股定理得：BE＝＝＝，
答：BE的长是．
（3）BG与DF的位置关系是垂直，
理由是：∵△ABE≌△ADF，
∴∠EBA＝∠ADF，
∵∠EBA+∠AEB＝180°﹣90°＝90°，
∵∠AEB＝∠DEG，
∴∠DEG+∠ADF＝90°，
∴∠DGE＝180°﹣（∠DEG+∠ADF）＝90°，
∴BG⊥DF．
20．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形．
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA＝∠AFO．
在△BOE和△AOF中，
∵，
∴△BOE≌△AOF．
∴OE＝OF．
（2）OE＝OF成立．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠F+∠MBF＝90°，
∠E+∠OBE＝90°，
又∵∠MBF＝∠OBE，
∴∠F＝∠E．
在△BOE和△AOF中，
∵，
∴△BOE≌△AOF．
∴OE＝OF．
21．（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；
∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°
∴∠1＝∠2，
∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°，
∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE，
在△AHE和△ECF中，
，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：AE＝EF成立，
理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEG+∠AEB＝90°．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∴∠MAE＝∠CEF．
∵AB＝BC，
∴AB+AM＝BC+CE，
即BM＝BE．
∴∠M＝45°，
∴∠M＝∠FCE．
在△AME与△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．