2021—2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册第6章特殊平行四边形同步达标测试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021—2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册第6章特殊平行四边形同步达标测试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 538.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-05 12:11:40 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《第6章特殊平行四边形》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ACDB是菱形的依据是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线平分一组对角的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形
2．如图，在菱形ABCD中，添加一个条件不能证明△ABE≌△CDF的是（ ）
A．∠BAE＝∠FCD B．∠BEA＝∠DFC C．AE＝CF D．BE＝DF
3．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
4．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任一点，连接CE，F是CE的中点，若△BFC的面积为6，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
5．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（ ）
A．66° B．60° C．57° D．48°
6．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，若顶点A，B的坐标分别为（a，0），（0，b），则顶点D的坐标为（ ）
A．（﹣b，a+b） B．（a﹣b，﹣a） C．（﹣a，a﹣b） D．（b﹣a，﹣a）
7．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（ ）
A．12.5 B．12 C．10 D．10.5
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．菱形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝24．则菱形的高等于 ．
10．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °．
11．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是 ．
12．如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若DE＝DC，EF＝EC，则∠BAF的度数为 ．
13．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，对角线AC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，Q是线段BE上的点，连接CQ，过点C作CP⊥CQ交AD的延长线于点P，当△PCQ为等腰三角形时，AP＝ ．
14．如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，AC＝10，AE＝CF＝3，则四边形BFDE的面积为 ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB边上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，连接EF，则线段EF的最小值等于 ．
16．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝ ．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
18．如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF．
求证：（1）△ABE≌△DCF；
（2）四边形AEFD是平行四边形．
19．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，∠AEF＝90°，且EF＝AE，FH⊥BH．
（1）求证：BE＝CH；
（2）连接DF，若AB＝3，BE＝x，用含x的代数式表示DF的长．
20．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝2，BF＝2，CE＝1，求 ABCD的面积．
21．（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
22．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF＝ °（直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求DF的长．
（3）如图（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝5，QH＝2，则HR的长度是 （直接写出结果不写解答过程）．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：由作图得：BA＝BD，CA＝CD，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝BD＝CD，
∴四边形ACDB是菱形，
故选：D．
2．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，
A、添加∠BAE＝∠FCD，利用ASA能得出△ABE≌△CDF，不符合题意；
B、添加∠BEA＝∠DFC，利用AAS能得出△ABE≌△CDF，不符合题意；
C、添加AE＝CF，不能得出△ABE≌△CDF，符合题意；
D、添加BE＝DF，利用SAS能得出△ABE≌△CDF，不符合题意；
故选：C．
3．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBC＝∠DCE＝90°，CD＝BC＝3，
Rt△DCE中，∠CDE＝30°，
∴CE＝DE，
设CE＝x，则DE＝2x，
根据勾股定理得：DC2+CE2＝DE2，
即32+x2＝（2x）2，
解得：x＝±（负值舍去），
∴CE＝，
∵DE⊥CF，
∴∠DOC＝90°，
∴∠DCO＝60°，
∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°＝∠CDE，
∵∠DCE＝∠CBF，CD＝BC，
∴△DCE≌△CBF（ASA），
∴BF＝CE＝．
故选：C．
4．解：连接BE，如图所示：
∵BF是△BCE的中线，
∴S△BCE＝2S△BCF＝12，
又∵矩形ABCD与△BCE同底等高，
∴矩形ABCD的面积＝2×S△BCE＝24．
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，
∴∠A'BE＝∠ABE＝（90°﹣∠DBC）＝（90°﹣24°）＝33°，
∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°．
故选：C．
6．解：过D作DE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠AOB＝∠AED＝90°，
∴∠BAO+∠DAO＝∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠ABO＝∠DAO，
∴△ABO≌△DAE（AAS），
∴DE＝OA，AE＝OB，
∵点A，B的坐标分别为（a，0），（0，b），
∴OA＝a，OB＝b，
∴DE＝a，AE＝b，
∴OE＝b﹣a，
∴顶点D的坐标为（a﹣b，﹣a），
故选：B．
7．解：∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，
∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，
∴∠A'OB＝∠COC'．
在△OBM与△OCN中，
，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴S1+S2＝S△OAB＝×10×10＝25，
∴S2＝25﹣16＝9，
故选：D．
8．解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝12，
∴CG＝DG＝×12＝6，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE＝CF，EG＝FG，
设DE＝x，
则BF＝BC+CF＝AD+CF＝6+x+x＝6+2x，
在Rt△DEG中，EG＝＝，
∴EF＝2，
∵FH垂直平分BE，
∴BF＝EF，
∴6+2x＝2，
解得x＝4.5，
∴AD＝AE+DE＝6+4.5＝10.5，
∴BC＝AD＝10.5．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：由题意得，菱形的面积＝×AC BD＝×10×24＝120，
则AO＝5，BO＝12，
则AB＝＝13，
设菱形的高为h，
则菱形的面积＝BC h＝13h＝120，
解得h＝，
故答案为．
10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠2+∠BCP＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCP＝45°，
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，
∴∠BPC＝135°，
故答案为：135．
11．解：如图，
连接AE，根据题意可知AB1＝AD＝1，∠B1＝∠D＝90°，∠BAB1＝30°，
在Rt△AB1E和Rt△ADE中，
，
∴Rt△AB1E≌Rt△ADE（HL），
∵∠B1AE＝∠DAE＝∠B1AD＝30°，
∴＝，解得DE＝，
∴S四边形ADEB1＝2S△ADE＝2××AD×DE＝，
∴S阴影部分＝2（S正方形ABCD﹣S四边形ADEB1）＝2×（1﹣）＝2﹣，
故答案为：2﹣．
12．解：如右图，连接AE，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠BDC＝45°，
∵DE＝DC＝AD，
∴∠DEC＝∠DCE＝＝67.5°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵EF＝EC，
∴∠FEC＝180°﹣∠EFC﹣∠ECF＝180°﹣22.5°﹣22.5°＝135°，
∵∠BEC＝180°﹣∠DEC＝180°﹣67.5°＝112.5°，
∴∠BEF＝135°﹣112.5°＝22.5°，
∵AD＝DE，∠ADE＝45°，
∴∠AED＝＝67.5°，
∴∠BEF+∠AED＝22.5°+67.5°＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
在△ADE和△EDC中，
，
∴△ADE≌△EDC（SAS），
∴AE＝EC，
∴AE＝EF，
即△AEF为等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AFB＝∠AFE+∠BFE＝45°+22.5°＝67.5°，
∵∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝90°﹣67.5°＝22.5°，
故答案为：22.5°．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC，CD＝AB＝3，
∵∠BCD＝∠QCP＝90°，
∴∠QCH＝∠PCD，
∵AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝4，
∴AD＝BC＝4，
过Q作QH⊥BC于H，
∴∠QHB＝∠QHC＝90°，
∵BE平分∠ABC交AD于点E，
∴∠QBH＝45°，
∴△BQH是等腰直角三角形，
∴BH＝QH，
∵CP⊥CQ，
∴∠QCP＝90°，
∵△PCQ为等腰三角形，
∴CQ＝CP，
∵∠CDP＝∠CHQ＝90°，∠QCH＝∠PCD，
∴△CQH≌△CPD（AAS），
∴CH＝CD＝3，
∴BH＝QH＝1，
∴PD＝QH＝1，
∴AP＝AD+PD＝5，
故答案为：5．
14．解：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，
又∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∴四边形BEDF是菱形，
∴BD＝AC＝10，
∵AE＝CF＝3，
∴EF＝4，
∴四边形BFDE的面积为BD EF＝×10×4＝20．
故答案为：20．
15．解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
∵S△ABC＝BC AC＝AB CD，
∴×8×6＝×10×CD，
解得CD＝4.8，
∴EF＝4.8．
故答案为：4.8．
16．解：延长GH交AD于M点，如图所示：
∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，
∴CD＝CE＝FG＝1，BC＝EF＝CG＝3，BE∥AD∥FG，
∴DG＝CG﹣CD＝3﹣1＝2，∠HAM＝∠HFG，
∵AF的中点H，
∴AH＝FH，
在△AMH和△FGH中，
，
∴△AMH≌△FGH（ASA）．
∴AM＝FG＝1，MH＝GH，
∴MD＝AD﹣AM＝3﹣1＝2，
在Rt△MDG中，GM＝＝＝2，
∴GH＝GM＝，
故答案为：．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD，
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝90°，
在△ABN和△MAD中，
，
∴△ABN≌△MAD（AAS）；
（2）解：∵△ABN≌△MAD，
∴BN＝AD，
∵AD＝2，
∴BN＝2，
又∵AN＝4，
在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，
∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，
∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．
18．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABE＝∠DCF＝90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
（2）∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF＝AD，
又∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形．
19．（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠B＝90°，AB＝BC，
∵FH⊥BH，
∴∠H＝90°＝∠B，∠EFH＝90°﹣∠FEH，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB＝90°﹣∠FEH，
∴∠AEB＝∠F，
在△ABE和△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴EH＝AB＝BC，BE＝FH，
∴EH﹣EC＝BC﹣EC，即CH＝BE；
（2）过F作FP⊥CD于P，如图，
∵∠H＝∠DCH＝∠FPC＝90°，
∴四边形PCHF是矩形，
由（1）知：BE＝FH＝CH，
∴四边形PCHF是正方形，
∴PF＝CP＝CH＝BE＝x，
∵DC＝AB＝3，
∴DP＝DC﹣CP＝3﹣x，
Rt△DPF中，DF＝，
∴DF＝＝．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF．
∴四边形ABEF是菱形．
（2）解：作FG⊥BC于G，
∵四边形ABEF是菱形，若AE＝2，BF＝2，
∴AE⊥BF，OE＝AE＝1，OB＝BF＝，
∴BE＝＝2，
∵S菱形ABEF＝ AE BF＝BE FG，
∴GF＝，
∴S平行四边形ABCD＝BC FG＝（BE+EC） GF＝（2+1）×＝3．
21．解：（1）如图1，
EF＝BE+DF，理由如下：
延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABM＝90°，
又∵BM＝DF，
∴△ADF≌△ABM（SAS），
∴AF＝AM，∠1＝∠2，
∵∠EAF＝45°，
∴∠1+∠3＝45°，
∴∠2+∠3＝∠MAE＝45°＝∠EAF，
又∵AE＝AE，
∴△EAM≌△EAF（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM，
又∵BM＝DF，
∴EF＝EB+DF，
（2）如图2，
EF＝BE+DF，仍然成立，理由如下：
延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠4＝180°，
∴∠D＝∠4，
又∵AB＝AD，BM＝DF，
∴△ADF≌△ABM（SAS），
∴AF＝AM，∠1＝∠2，
∵，
∴∠1+∠3＝∠EAF，
∴∠MAE＝∠2+∠3＝∠EAF，
又∵AE＝AE，
∴△EAM≌△EAF（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM，
又∵BM＝DF，
∴EF＝EB+DF．
22．解：（1）∵∠C＝90°，
∴∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
∴∠AFE＝DFE，∠AEF＝BEF，
∴∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF）＝270°＝135°，
∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，
故答案为：45；
（2）①作AG⊥EF于G，如图1所示：
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
②设DF＝x，
∵BE＝EC＝3，
∴BC＝6，
由①得四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝6，
在Rt△ABE与Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝EG＝3，
同理，GF＝DF＝x，
在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，
即32+（6﹣x）2＝（x+3）2，
解得：x＝2，
∴DF的长为2；
（3）解：如图2所示：
把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，
由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，
∴MG＝DG＝MP＝PH＝5，
∴GQ＝3，
设MR＝HR＝a，则GR＝5﹣a，QR＝a+2，
在Rt△GQR中，由勾股定理得：（5﹣a）2+32＝（2+a）2，
解得：a＝，即HR＝；
故答案为：．
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ACDB是菱形的依据是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线平分一组对角的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形
2．如图，在菱形ABCD中，添加一个条件不能证明△ABE≌△CDF的是（ ）
A．∠BAE＝∠FCD B．∠BEA＝∠DFC C．AE＝CF D．BE＝DF
3．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
4．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任一点，连接CE，F是CE的中点，若△BFC的面积为6，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
5．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（ ）
A．66° B．60° C．57° D．48°
6．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，若顶点A，B的坐标分别为（a，0），（0，b），则顶点D的坐标为（ ）
A．（﹣b，a+b） B．（a﹣b，﹣a） C．（﹣a，a﹣b） D．（b﹣a，﹣a）
7．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（ ）
A．12.5 B．12 C．10 D．10.5
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．菱形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝24．则菱形的高等于 ．
10．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °．
11．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是 ．
12．如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若DE＝DC，EF＝EC，则∠BAF的度数为 ．
13．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，对角线AC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，Q是线段BE上的点，连接CQ，过点C作CP⊥CQ交AD的延长线于点P，当△PCQ为等腰三角形时，AP＝ ．
14．如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，AC＝10，AE＝CF＝3，则四边形BFDE的面积为 ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB边上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，连接EF，则线段EF的最小值等于 ．
16．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝ ．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
18．如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF．
求证：（1）△ABE≌△DCF；
（2）四边形AEFD是平行四边形．
19．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，∠AEF＝90°，且EF＝AE，FH⊥BH．
（1）求证：BE＝CH；
（2）连接DF，若AB＝3，BE＝x，用含x的代数式表示DF的长．
20．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝2，BF＝2，CE＝1，求 ABCD的面积．
21．（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
22．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF＝ °（直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求DF的长．
（3）如图（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝5，QH＝2，则HR的长度是 （直接写出结果不写解答过程）．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：由作图得：BA＝BD，CA＝CD，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝BD＝CD，
∴四边形ACDB是菱形，
故选：D．
2．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，
A、添加∠BAE＝∠FCD，利用ASA能得出△ABE≌△CDF，不符合题意；
B、添加∠BEA＝∠DFC，利用AAS能得出△ABE≌△CDF，不符合题意；
C、添加AE＝CF，不能得出△ABE≌△CDF，符合题意；
D、添加BE＝DF，利用SAS能得出△ABE≌△CDF，不符合题意；
故选：C．
3．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBC＝∠DCE＝90°，CD＝BC＝3，
Rt△DCE中，∠CDE＝30°，
∴CE＝DE，
设CE＝x，则DE＝2x，
根据勾股定理得：DC2+CE2＝DE2，
即32+x2＝（2x）2，
解得：x＝±（负值舍去），
∴CE＝，
∵DE⊥CF，
∴∠DOC＝90°，
∴∠DCO＝60°，
∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°＝∠CDE，
∵∠DCE＝∠CBF，CD＝BC，
∴△DCE≌△CBF（ASA），
∴BF＝CE＝．
故选：C．
4．解：连接BE，如图所示：
∵BF是△BCE的中线，
∴S△BCE＝2S△BCF＝12，
又∵矩形ABCD与△BCE同底等高，
∴矩形ABCD的面积＝2×S△BCE＝24．
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，
∴∠A'BE＝∠ABE＝（90°﹣∠DBC）＝（90°﹣24°）＝33°，
∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°．
故选：C．
6．解：过D作DE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠AOB＝∠AED＝90°，
∴∠BAO+∠DAO＝∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠ABO＝∠DAO，
∴△ABO≌△DAE（AAS），
∴DE＝OA，AE＝OB，
∵点A，B的坐标分别为（a，0），（0，b），
∴OA＝a，OB＝b，
∴DE＝a，AE＝b，
∴OE＝b﹣a，
∴顶点D的坐标为（a﹣b，﹣a），
故选：B．
7．解：∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，
∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，
∴∠A'OB＝∠COC'．
在△OBM与△OCN中，
，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴S1+S2＝S△OAB＝×10×10＝25，
∴S2＝25﹣16＝9，
故选：D．
8．解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝12，
∴CG＝DG＝×12＝6，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE＝CF，EG＝FG，
设DE＝x，
则BF＝BC+CF＝AD+CF＝6+x+x＝6+2x，
在Rt△DEG中，EG＝＝，
∴EF＝2，
∵FH垂直平分BE，
∴BF＝EF，
∴6+2x＝2，
解得x＝4.5，
∴AD＝AE+DE＝6+4.5＝10.5，
∴BC＝AD＝10.5．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：由题意得，菱形的面积＝×AC BD＝×10×24＝120，
则AO＝5，BO＝12，
则AB＝＝13，
设菱形的高为h，
则菱形的面积＝BC h＝13h＝120，
解得h＝，
故答案为．
10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠2+∠BCP＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCP＝45°，
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，
∴∠BPC＝135°，
故答案为：135．
11．解：如图，
连接AE，根据题意可知AB1＝AD＝1，∠B1＝∠D＝90°，∠BAB1＝30°，
在Rt△AB1E和Rt△ADE中，
，
∴Rt△AB1E≌Rt△ADE（HL），
∵∠B1AE＝∠DAE＝∠B1AD＝30°，
∴＝，解得DE＝，
∴S四边形ADEB1＝2S△ADE＝2××AD×DE＝，
∴S阴影部分＝2（S正方形ABCD﹣S四边形ADEB1）＝2×（1﹣）＝2﹣，
故答案为：2﹣．
12．解：如右图，连接AE，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠BDC＝45°，
∵DE＝DC＝AD，
∴∠DEC＝∠DCE＝＝67.5°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵EF＝EC，
∴∠FEC＝180°﹣∠EFC﹣∠ECF＝180°﹣22.5°﹣22.5°＝135°，
∵∠BEC＝180°﹣∠DEC＝180°﹣67.5°＝112.5°，
∴∠BEF＝135°﹣112.5°＝22.5°，
∵AD＝DE，∠ADE＝45°，
∴∠AED＝＝67.5°，
∴∠BEF+∠AED＝22.5°+67.5°＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
在△ADE和△EDC中，
，
∴△ADE≌△EDC（SAS），
∴AE＝EC，
∴AE＝EF，
即△AEF为等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AFB＝∠AFE+∠BFE＝45°+22.5°＝67.5°，
∵∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝90°﹣67.5°＝22.5°，
故答案为：22.5°．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC，CD＝AB＝3，
∵∠BCD＝∠QCP＝90°，
∴∠QCH＝∠PCD，
∵AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝4，
∴AD＝BC＝4，
过Q作QH⊥BC于H，
∴∠QHB＝∠QHC＝90°，
∵BE平分∠ABC交AD于点E，
∴∠QBH＝45°，
∴△BQH是等腰直角三角形，
∴BH＝QH，
∵CP⊥CQ，
∴∠QCP＝90°，
∵△PCQ为等腰三角形，
∴CQ＝CP，
∵∠CDP＝∠CHQ＝90°，∠QCH＝∠PCD，
∴△CQH≌△CPD（AAS），
∴CH＝CD＝3，
∴BH＝QH＝1，
∴PD＝QH＝1，
∴AP＝AD+PD＝5，
故答案为：5．
14．解：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，
又∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∴四边形BEDF是菱形，
∴BD＝AC＝10，
∵AE＝CF＝3，
∴EF＝4，
∴四边形BFDE的面积为BD EF＝×10×4＝20．
故答案为：20．
15．解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
∵S△ABC＝BC AC＝AB CD，
∴×8×6＝×10×CD，
解得CD＝4.8，
∴EF＝4.8．
故答案为：4.8．
16．解：延长GH交AD于M点，如图所示：
∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，
∴CD＝CE＝FG＝1，BC＝EF＝CG＝3，BE∥AD∥FG，
∴DG＝CG﹣CD＝3﹣1＝2，∠HAM＝∠HFG，
∵AF的中点H，
∴AH＝FH，
在△AMH和△FGH中，
，
∴△AMH≌△FGH（ASA）．
∴AM＝FG＝1，MH＝GH，
∴MD＝AD﹣AM＝3﹣1＝2，
在Rt△MDG中，GM＝＝＝2，
∴GH＝GM＝，
故答案为：．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD，
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝90°，
在△ABN和△MAD中，
，
∴△ABN≌△MAD（AAS）；
（2）解：∵△ABN≌△MAD，
∴BN＝AD，
∵AD＝2，
∴BN＝2，
又∵AN＝4，
在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，
∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，
∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．
18．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABE＝∠DCF＝90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
（2）∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF＝AD，
又∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形．
19．（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠B＝90°，AB＝BC，
∵FH⊥BH，
∴∠H＝90°＝∠B，∠EFH＝90°﹣∠FEH，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB＝90°﹣∠FEH，
∴∠AEB＝∠F，
在△ABE和△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴EH＝AB＝BC，BE＝FH，
∴EH﹣EC＝BC﹣EC，即CH＝BE；
（2）过F作FP⊥CD于P，如图，
∵∠H＝∠DCH＝∠FPC＝90°，
∴四边形PCHF是矩形，
由（1）知：BE＝FH＝CH，
∴四边形PCHF是正方形，
∴PF＝CP＝CH＝BE＝x，
∵DC＝AB＝3，
∴DP＝DC﹣CP＝3﹣x，
Rt△DPF中，DF＝，
∴DF＝＝．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF．
∴四边形ABEF是菱形．
（2）解：作FG⊥BC于G，
∵四边形ABEF是菱形，若AE＝2，BF＝2，
∴AE⊥BF，OE＝AE＝1，OB＝BF＝，
∴BE＝＝2，
∵S菱形ABEF＝ AE BF＝BE FG，
∴GF＝，
∴S平行四边形ABCD＝BC FG＝（BE+EC） GF＝（2+1）×＝3．
21．解：（1）如图1，
EF＝BE+DF，理由如下：
延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABM＝90°，
又∵BM＝DF，
∴△ADF≌△ABM（SAS），
∴AF＝AM，∠1＝∠2，
∵∠EAF＝45°，
∴∠1+∠3＝45°，
∴∠2+∠3＝∠MAE＝45°＝∠EAF，
又∵AE＝AE，
∴△EAM≌△EAF（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM，
又∵BM＝DF，
∴EF＝EB+DF，
（2）如图2，
EF＝BE+DF，仍然成立，理由如下：
延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠4＝180°，
∴∠D＝∠4，
又∵AB＝AD，BM＝DF，
∴△ADF≌△ABM（SAS），
∴AF＝AM，∠1＝∠2，
∵，
∴∠1+∠3＝∠EAF，
∴∠MAE＝∠2+∠3＝∠EAF，
又∵AE＝AE，
∴△EAM≌△EAF（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM，
又∵BM＝DF，
∴EF＝EB+DF．
22．解：（1）∵∠C＝90°，
∴∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
∴∠AFE＝DFE，∠AEF＝BEF，
∴∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF）＝270°＝135°，
∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，
故答案为：45；
（2）①作AG⊥EF于G，如图1所示：
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
②设DF＝x，
∵BE＝EC＝3，
∴BC＝6，
由①得四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝6，
在Rt△ABE与Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝EG＝3，
同理，GF＝DF＝x，
在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，
即32+（6﹣x）2＝（x+3）2，
解得：x＝2，
∴DF的长为2；
（3）解：如图2所示：
把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，
由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，
∴MG＝DG＝MP＝PH＝5，
∴GQ＝3，
设MR＝HR＝a，则GR＝5﹣a，QR＝a+2，
在Rt△GQR中，由勾股定理得：（5﹣a）2+32＝（2+a）2，
解得：a＝，即HR＝；
故答案为：．