北京版八年级上册12.2三角形内角和定理 教案（表格式）

教学基本信息
课题 12.2三角形内角和定理
指导思想与理论依据
现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教学的一切活动都以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，我采用启发式、讨论式以及小组合作交流的教学方法，倡导学生主动参加教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，给学生以足够的时间和空间去猜想、探究，从而真正理解三角形的内角和定理。由于这个定理的证明是课本第一次出现的几何证明，学生如何获得证明思路，如何合理添加辅助线解决问题是本节课教学中的难点。本节课的教学重点是三角形内角和定理的证明，在探索定理证明的过程中重视在思路和方法上对学生的引导，帮助学生分析添加辅助线在三角形内角和定理证明中的实质作用。在教学中引导学生探索证明的不同方法，提倡证法的多样性，并引导学生比较证法的异同，提高逻辑思维水平，为学生创造一次很好的思维开创机会。对于任意三角形的多样性,这个结论还是否成立学生从内心还是持质疑态度的.这就是学生学习这个定理证明时必然要碰到的第一个困难；如何获取证明的思路，如何引导学生利用所学知识将三角形的三个角拼在一起，正确添加辅助线是学生在学习中的第二个困难。第一个难点老师通过几何画板的演示及教师讲解可以突破.第二个的难点突破则需要在老师的引导下学生发现辅助线，进而找到解决问题的方法。
教学背景分析
教学内容：《三角形的内角和定理》是北京版义务教材八年级上册第12章第二节第1课时的内容。三角形内角和等于1800，是三角形的一条重要性质，有着广泛的应用。本节课是在研究了三角形的有关概念和学生在对“三角形的内角和等于1800”有感性认识的基础上，对该定理进行推理论证，它是进一步研究三角形及其它图形的重要基础，更是研究多边形问题转化的关键点；此外，在它的证明中第一次引入了辅助线，而辅助线又是解决几何问题的一种重要工具，因此本节是本章的重要章节，起着承上启下的作用。本课的基本定位在于，通过三角形内角和定理证明的教学实践，感受几何证明的思想，体会辅助线在几何问题解决中的桥梁作用。同时，引领学生体会数学中的重要思想——数形结合。最后，进一步体会辅助线添加方法的多样性，渗透“最优化”思想。学生情况：“三角形的内角和是180度”，这一结论在小学阶段学生通过动手操作已经得出，而本学期学生已经学行线的性质与判定、平角的知识，初步感受了几何推理的结构，本节课是在此基础上，进一步地了解这个结论成立的道理。同时引导学生回忆与180°有关的知识，想办法将三角形的三个角拼成一个平角或两个直角或周角的一半或同旁内角的形式，再利用所学的知识证明三角形内角和定理，启发学生正确添加辅助线并证明。为了确实了解学生对三角形内角和为180度是否认同，我作了以下的调查问卷： 小学我们就知道三角形内角和是180度。如图所示，随着点c位置的变化，△ABC，△ABC1、△ABC2、△ABC3… … 的形状也在不断发生变化。在这个变化过程中，这些三角形形的三个内角和（ ）A 一定是180度 B会有细微的变化 C 不知道 D （注明） 24人 6人 1人 AB C教学方式：问题引导、自主探究教学手段：学案技术准备：几何画板、PPT
教学目标(内容框架)
感受三角形内角和定理证明的必要性；通过对三角形内角和定理的证明，初步体会几何定理学习的一般方法, 体会数学证明的严谨性； 2、通过定理的探究,体会辅助线的做法及证明方法的多样性，培养创新思维；3、在与他人的合作与交流过程中，能较好地理解他人的思考方法。教学重难点感受三角形内角和定理证明的必要性；通过对三角形内角和定理的证明，初步体会几何定理学习的一般方法, 体会数学证明的严谨性；
教学过程(文字描述)
活动1: 知识回顾，问题定向. 活动组织过程： 教师出示命题: 三角形内角和是180度. 问题1: 这个命题是真命题吗 出示调查问卷及其调查结果. 附调查问卷小学我们就知道三角形内角和是180度，并且通过拼角得到平角180度加以验证。在右图中，随着点c位置的变化，△ABC，△ABC1、△ABC2、△ABC3… … 的形状也在不断发生变化。在这个变化过程中，这些形的三个内角和（ ）A .一定是180度 B.会有细微的变化 C. 不知道 D （注明）调查结果： 24人 6人 1人 180度不变会有细微变化 不知道不同观点的学生阐明观点: 预设学生1: 是,小学通过撕纸,可以把三个角拼在一起,得到一个平角.上面的角在变大，下面的角在变小，所以总和是不变的。 预设学生2:不一定,在度量的时候会有误差.而且你怎么知道增大的度数和减小的度数恰好相等呢？教师用几何画板演示任意三角形的三个内角和度数，验证这个命题的正确性。并且说明实验、度量都不能能称之为证明，只有用学过的定义、定理推出的结论才能称之为证明。【设计意图】通过质疑小学时得到的这个结论，引出本节课的内容是探索证明三角形内角和的方法，感受证明的必要性。活动2: 自主探究，展示交流. 活动组织过程：师生活动: 教师示范：画图、写已知、写求证。学生和老师一起书写。已知：如图， 求证：∠A+∠B+∠C= 【设计意图】教师引导学生将命题进行图形语言、符号语言的转化，为定理的证明做准备。问题2：我们已经学习的与180度有关的角有哪些？预设学生回答：直角、平角、周角、同旁内角互补。教师PPT中展示四种角的基本图形。问题3：我们需要添加适当的辅助线，在图中构造出与180度相关的角，进而求证内角和为180度。 【设计意图】从这里入手为探究证明的方法指明方向，同时从“数”的方面引导学生探索定理的证明思路，逐步渗透数形结合思想。也在渗透化归的数学思想。学生自主探索，教师一边巡视，一边指学习有困难的学生，根据学生完成的情况，然后由学生展示自己的探索结果，教师补充。证法一： (课本证法，利用平角180 ):过点A作直线m∥BC,∵ ∥BC∴ ∠1=∠B,∠2=∠C(两直线平行,内错角相等)∵ ∠1,∠3,∠2组成平角∴ ∠1+∠3+∠2=180 (平角定义)∴ ∠B+∠3+∠C=180 (等量代换)师：这里可以看出，证明就是由题设(已知)出发,经过一步步的推理,最后推出结论(求证)正确的过程.证法二：（利用平角180 ):如图4,延长BC到点D,过点C作CE∥AB∵ CE∥AB ∴ ∠2=∠A, (两直线平行,内错角相等) ∠1=∠B. (两直线平行,同位角相等)又根据平角定义, ∴ ∠1+∠2+∠3=180 ∴ ∠A+∠B+∠C=180 (等量代换)师：刚才同学们采用搬动两个角使得三角形的三个内角化为成一个平角的方法来证明，请问还有哪一位同学的方法与刚才的方法不相同？能否只搬动一个角？证法三：（利用两直线平行,同旁内角互补）过顶点C作CD∥BA，则∠1＝∠A（两直线平行，内错角相等）．∵CD∥BA∴∠1+∠ACB+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠A+∠ACB+∠B＝180°师：大家做的非常好，前三种方法都是通过做平行线，利用平行线的性质，把角转移到三角形的一个顶点处。只要把它们拼到一起成为平角就可以了，那么能不能转移到其它地方呢？证法四：（利用平角180 ）在BC上任取一点D，过点D作DE∥AB交AC于E，再过点D作DF∥AC交AB于F∵DE∥AB，DF∥AC∴∠EDC=∠B，∠A=∠BFD=∠FDE，∠FDB=∠C。∵∠BDF+∠FDE+∠EDC=1800，∴∠A+∠B+∠C=1800。证法五：（利用平角180 ）在内、外任取一点p， 证法六：以A为顶点构造周角360度。证法七：以B、C为顶点构造直角。把A角转化到直角中去。教师引导学生对证明方法进行对比、分析，达到优化的目的。【设计意图】从“数”的角度考察三角形内角和定理，培养学生的推理能力和有条理的表达能力。活动三：课堂小结，方法总结。 活动组织过程：师生活动：一起来回顾一下三角形内角和定理的证明过程。 三角形内角和为180度 联想和180度相关的角 添加辅助线构造和180度相关的角【设计意图】通过总结回忆，使学生加深对三角形内角和定理的进一步认识，渗透数形结合思想和转化思想 。
学习效果评价设计
评价方式 独立书写一种三角形内角和定理的证明方法
评价量规满分为5分，具体评分标准如下：1分：做出辅助线。2分---3分：添加辅助以后得到了内错角、同位角相等或同旁内角互补。4分：逻辑推理清晰，个别理由注明的不完整或不正确。5分：书写规范，逻辑推理清晰，并且每一步注明了依据。
本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)
教学反思1． 本次教学活动的优点和成功之处.本节课的引入环节充分调动了学生的认知冲突“任意三角形的内角和真的是180度吗？”为了充分掌握学生对这个命题的认可度，在课前我做了一份调查问卷。一共有31人参与调查，其中有24人认为内角和没有变，6人认为内角和会有细微变化，1人不知道。课上，我运用这个认知冲突设计了后面的探索证明内角和定理的学生活动，充分调动了学生的积极性。2.在老师的第一个提示问题下，学生列举出了和180度相关的所有角：直角、平行条件下的同旁内角、直角、周角。在添加的辅助线构造出了所有的情况，其中直角的情况比较难，要添加三条（或者两条）；教师在巡视指导时给予了学生适度的提示。在添加辅助线构造周角时，学生会发现它和构造平角的图形从本质上是一样的，从书写上要复杂一些。因而，在对比多种方法之后，学生更加倾向于构造平角和同旁内角，这也体现了数学中的最优化思想。
E
D
F
转化：作平行线
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