四川省南充市蓬安县2021-2022学年八年级下学期开学考试数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（2022八下·蓬安开学考）下列图形是公共设施标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，此图形不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、此图形不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、此图形是轴对称图形，故C不符合题意；
D、此图形不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
2．（2022八下·蓬安开学考）下列运算正确的是（ ）
A．a2·a3＝a6 B．(a2)3＝a5 C．(2a2)3＝8a6 D．a6÷a2＝a3
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a2·a3＝a5 ，故A不符合题意；
B、(a2)3＝a6，故B不符合题意；
C、(2a2)3＝8a6 ，故C符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对A作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相减，可对D作出判断.
3．（2022八下·蓬安开学考）在△ABC中，AB≠AC，线段AD，AE，AF分别是△ABC的高，中线，角平分线，则点D，E，F的位置关系为（ ）
A．点D总在点E，F之间 B．点E总在点D，F之间
C．点F总在点D，E之间 D．三者的位置关系不确定
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：假设AB＜AC，延长AE至点H，使EH=AH，连接CH，
∵AE是△ABC的中线，
∴BE=CE；
在△AEB和△HEC中，
∴△AEB≌△HEC（SAS），
∴AB=CH，∠BAE=∠H，
∵AB＜AC，
∴CH＜AC，
∴∠CAH＜∠H，
∴∠CAH＜∠BAE，
∴点F总在点D和点E之间.
故答案为：C.
【分析】假设AB＜AC，延长AE至点H，使EH=AH，连接CH，画出图形，利用三角形中线的定义证得BE=CE；利用SAS证明△AEB≌△HEC，利用全等三角形的性质可证得AB=CH，∠BAE=∠H，可推出CH＜AC，利用大边对大角，可证得∠CAH＜∠H，从而可证得∠CAH＜∠BAE，即可得到点F总在点D和点E之间.
4．（2022八下·蓬安开学考）如图，在△ABC和△DEF中，∠C＝∠F＝90°，添加下列条件，不能判定这两个三角形全等的是（ ）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．AC＝DF，AB＝DE
C．∠A＝∠D，AB＝DE D．AC＝DF，CB＝FE
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠C＝∠F，∠A＝∠D，∠B＝∠E
∴△ABC和△DEF不一定全等，故A符合题意；
B、在Rt△ABC和Rt△DEF中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故B不符合题意；
C、在△ABC和△DEF中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（AAS），故C不符合题意；
D、在△ABC和△DEF中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（SAS），故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用直角三角形的全等判定：HL，可对B作出判断；利用AAS，SAS可对C，D作出判断；有三组对应角分别相等的两三角形不一定全等，可对A作出判断.
5．（2022八下·蓬安开学考）若等腰三角形的周长为30cm，一边为14cm，则腰长为（ ）
A．2cm B．8cm C．8cm或2cm D．14cm或8cm
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当14为腰时，
底边长为：30-2×14=2cm，
当14为底边时，腰长为（30-14）÷2=8cm，
∵2×8=16＞14，能构成三角形，
∴此三角形的腰长为14cm或8cm.
故答案为：D.
【分析】分情况讨论：当14为腰时；当14为底边时；利用三角形三边关系定理，可确定出此三角形的腰长和底边；然后求出此三角形的腰长.
6．（2022八下·蓬安开学考）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、不能化简，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用分式的基本性质，对各选项进行判断，可得正确的选项.
7．（2022八下·蓬安开学考）在平面直角坐标系中，已知点A (－1，1)， B(－3，2)，点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．7个 D．8个
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
由图可知，以AC，AB为腰的三角形有3个；
以AC，BC为腰的三角形有2个；
以BC，AB为腰的三角形有2个；
∴满足条件的点C的个数有7个.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可知点A，B是定点，点C是动点，因此分情况讨论：以AC，AB为腰的三角形；以AC，BC为腰的三角形；以BC，AB为腰的三角形；可得到满足条件的点C的个数.
8．（2020八上·朝阳期末） ， ， 都有意义，下列等式① ；② ；③ ；④ 中一定不成立的是（ ）
A．②④ B．①④ C．①②③④ D．②
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵ ， ， 都有意义，
∴ ， ， ，
① ，仅需 ，即 时成立；
② ，不成立；
③ ，（右侧分子分母同时除以2），因此成立；
④ ， 即 ，当 时成立；
故仅有②一定不成立，
故答案为：D
【分析】根据分式的基本性质逐项判定即可。
9．（2022八下·蓬安开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，若∠FAC＝∠B，则∠FAB的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．50°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线交AB于点E，
∴BF=AF，
∴∠B=∠BAF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C；
设∠B=∠C=∠BAF=x，则∠FAC=x，
∴x+x+x+x=180°，
解之：x=25°.
故答案为：A.
【分析】利用线段垂直平分线的性质可证得BF=AF；再利用等边对等角可证得∠B=∠C=∠BAF，设∠BAF=x，可表示出∠FAC；然后利用三角形的内角和定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠FAB的度数.
10．（2022八下·蓬安开学考）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC ∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①DF＝DN；②△DMN为等腰三角形；③DM平分∠BMN；④AE＝ EC；⑤AE＝NC. 其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：∵AB＝AC ∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴AD=BD=CD，∠ABC=∠C=∠BAD=∠DAC=45°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=22.5°，
∠BFD=∠AEB=∠AFE=90°-22.5°=67.5°，
∴AF=AE，
∵点M为EF的中点，
∴AN⊥EF，
∴∠DAN=∠CAN=∠DAC=22.5°，
∴∠DAN=∠DBF，
在△DBF和△NAD中
∴△DBF≌△NAD（ASA），
∴DF=DN，故①正确；
在△AFB和△CAN中
∴△AFB≌△CAN（ASA），
∴AF=CN，
∵AE=AF，
∴AE=CN，故⑤正确；
在△ABM和△NBM中，
∴△ABM≌△NBM（ASA），
∴AM=MN，
∴点M是AN的中点，
∵△ADN是直角三角形，
∴DM=MN
∴△DMN是等腰三角形，故②正确；
∵DM=MN=AM，
∴∠DAM=∠ADM=22.5°，
∴∠DMN=∠DAM+∠ADM=45°，
∴∠DMB=90°-45°=45°，
∴∠DMB=∠DMN，
∴DM平分∠BMN，故③正确；
连接EN，
∵AM=NM，AM⊥EF，
∴AE=EN，
∴∠EAN=∠ANE=22.5°，
∴∠CEN=∠EAN+∠ANE=45°，
∴∠C=∠CEN，
∴NE=CN，
在Rt△ENC中
EC2=EN2+CN2=2EN2，
∴
∴，故 ④错误；
∴正确的结论有4个.
故答案为：C.
【分析】利用等腰直角三角形的性质可证得AD=BD=CD，∠ABC=∠C=∠BAD=∠DAC=45°，利用角平分线的定义可求出∠ABE和∠CBE的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BFD=∠AEB=∠AFE=67.5°，利用等腰三角形的性质可证得AN⊥EF，同时可证得∠DAN=∠DBF；利用ASA可证得△DBF≌△NAD，再利用全等三角形的对应边相等，可得DF=DN，可对①作出判断；利用ASA证明△AFB≌△CAN，可推出AF=CN，可对⑤作出判断；再利用ASA证明△ABM≌△NBM，利用全等三角形的性质可得到AM=MN，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证得DM=MN，可对②作出判断；再求出∠DAM，∠DMN的度数，从而可求出∠DMB的度数，可证得∠DMB=∠DMN，可对③作出判断；连接EN，利用垂直平分线的性质可证得AE=EM，利用等边对等角可求出∠EAN=∠ANE=22.5°；利用三角形的外角的性质可求出∠CEN的度数，可推出∠C=∠CEN，NE=CN，然后利用勾股定理空荡荡的AE与EC之间的数量关系，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（2022八下·蓬安开学考）若分式 的值等于0，则x的值为 ．
【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式 的值等于0，
∴x-1=0且x≠0
∴x=1.
故答案为：1.
【分析】利用分式值为0，则分子等于0且分母不等于0，可得到关于x的方程和不等式，然后求出x的值.
12．（2022八下·蓬安开学考）若4·2n＝2，则n＝ ．
【答案】-1
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵ 4·2n＝2，
∴22+n=2，
∴2+n=1
解之：n=-1.
故答案为：-1.
【分析】利用幂的性质，可将已知条件转化为22+n=2，由此可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
13．（2022八下·蓬安开学考）一个等腰三角形的一边长为4cm，一边长为9cm，则它的周长为 ．
【答案】22
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰长为4时，
∵4×2=8＜9
∴腰长不能为4；
当腰长为4时，
∵4+9＞9
∴它的周长为：9×2+4=22.
故答案为：22.
【分析】分情况讨论：当腰长为4时；当腰长为4时；再利用三角形的三边关系定理，可知当腰长只能为4时，由此可求出此三角形的周长.
14．（2022八下·蓬安开学考）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD＝ .
【答案】10°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，
∴∠BCA=90°-∠A=90°-40°=50°；
∵线段AC的垂直平分线为MN，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=40°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=50°-40°=10°.
故答案为：10°
【分析】利用直角三角形的两锐角互余看求出∠BCA的度数；再利用垂直平分线的性质可证得AD=CD，利用等边对等角可求出∠ACD的度数；然后根据∠BCD=∠ACB-∠ACD，代入计算求出∠BCD的度数.
15．（2022八下·蓬安开学考）一般情况下，式子 不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝－1，b＝2.我们把使得 成立的一对数a、b称之为“相伴数对”，记为(a，b). 若(3，x)是“相伴数对”，则代数式x3－(2x－1)(x＋3)的值为 .
【答案】5
【知识点】定义新运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵(3，x)是“相伴数对”
∴
整理得
x2-3x=2，x2=3x+2，
x3－(2x－1)(x＋3) =x3－2x2-5x+3
=x（3x+2）-2（3x+2）-5x+3
=3x2+2x-6x-5x-4+3
=3x2-9x-1
=3（x2-3x）-1
3×2-1=5.
故答案为：5.
【分析】利用已知(3，x)是“相伴数对”可推出x2-3x=2，x2=3x+2；再将代数式转化为x2x－2x2-5x+3，将x2代入可转化为3（x2-3x）-1，然后将x2-3x的值代入计算，可求出结果.
16．（2020八上·江汉期末）如图，点D，E，F分别在等边三角形ABC的三边上，且DE⊥AB，EF⊥BC，FD⊥AC，过点F作FH⊥AB于H，则 的值为 .
【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∠A=∠B=∠C=60°.
∵DE⊥AB，EF⊥BC，FD⊥AC，
∴∠AFD=∠BDE=∠FEC=90°
∠ADF=∠BED=∠CFE=90°-60°=30°
∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=180°-30°-90°=60°
故△DEF是等边三角形
∴DE=DF=EF
又∵∠A=∠B=∠C, ∠AFD=∠BDE=∠FEC
∴△ADF≌△BED≌△CEF
∴AD=BE,AF=CF
设AH为x，则AF=2x
在Rt△ADF中，∠ADF=30°，
∴AD=4x
∴BE=4x,CF=2x
BC=2x+4x=6x
∴ =
故答案为：
【分析】设AH为x，利用等边三角形的性质和直角三角形中边角关系，求证三角形DEF也为等边三角形，将BC用x表示出来，然后求解即可.
三、解答题（共86分）
17．（2022八下·蓬安开学考）化简或计算下列各题
（1）a3·a4·a＋(a2)4＋(－2a4)2；
（2）(2m-1)2-(3m-1)(3m+1)+5m(m-1)；
【答案】（1）解：原式=a8+a8+4a8=6a8.
（2）解：原式=4m2-4m+1-（9m2-1）+5m2-5m
=4m2-4m+1-9m2+1+5m2-5m
=-9m+2.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用幂的乘方和积的乘方法则进行计算，再利用同底数幂相乘的法则进行计算，然后合并同类项.
（2）利用完全平方公式，平方差公式及单项式乘以多项式的法则，先去括号，再合并同类项.
18．（2022八下·蓬安开学考）因式分解
（1）9x2y＋6xy＋y．
（2）a4－16．
【答案】（1）解：9x2y＋6xy＋y=y（9x2＋6x＋1） =y（3x＋1）2.
（2）解：a4－16=（a2+4）（a2-4）= （a2+4）（a-2）（a+2） .
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）观察此多项式的特点：含有公因式y，因此先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式.
（2）观察此多项式的特点：有两项，符号相反，能写成平方形式，因此利用平方差公式分解因式，再利用平方差公式分解因式.
19．（2022八下·蓬安开学考）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数。
【答案】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACD=（180°-∠A）=（180°-40°）=70°，
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=40°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠ABC的度数；再利用线段垂直平分线的性质可证得AD=BD，利用等边对等角可求出∠ABD的度数；然后根据∠DBC=∠ABC-∠ABD，可求出∠DBC的度数.
20．（2022八下·蓬安开学考）先化简，再求值： ÷( )，其中x＝－1.
【答案】解：原式=，
当x=-1时原式=.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将括号里的分式通分计算，再将分式除法转化为乘法运算，约分化简；然后将x的值代入计算，可求出结果.
21．（2022八下·蓬安开学考）如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：EA＝EB．
【答案】证明：在△ABD和△BAC中
∴△ABD≌△BAC（SSS）
∴∠ABD=∠CAB，
∴EA=EB.
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】图形中隐含公共角AB=BA，再利用SSS证明△ABD≌△BAC，利用全等三角形的对应角相等，可推出∠ABD=∠CAB；然后利用等角对等边可证得结论.
22．（2022八下·蓬安开学考）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点的坐标分别为 ；
（2）△ABC的面积是 ；
（3）在x轴上作一点P，使PA＋PB的值最小. (保留连线痕迹，不写作法)．
【答案】（1）点A1（-1，1），点B1（-4，2），点C1（-3，4）
（2）
（3）解：如图，作点A关于x轴对称的点A1，连接A1B，交x轴于点P，
点P就是所求作的点.
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）如图，
∴点A1（-1，1），点B1（-4，2），点C1（-3，4）
（2），
【分析】（1）利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得到点A1、B1、C1的坐标，再画出△A1B1C1.
（2）利用△ABC的面积等于矩形的面积减去三个直角三角形的面积，列式计算可求出结果.
（3）利用轴对称的应用最短问题，作出点A关于x轴对称的点A1，连接A1B，交x轴于点P，利用三角形的三边关系定理，可知此时PA+PB的值最小.
23．（2022八下·蓬安开学考）某商贩用960元从批发市场购进某种水果销售，由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的数量是第－次购进数量的1.5倍，设第一次购进水果的数量为x千克.
（1）用含x的式子表示：第二次购进水果为 千克，第一次购进水果的单价为 元/千克；
（2）该商贩两次购进水果各多少千克？
（3）若商贩将两次购进的水果均按每千克15元的标价进行销售，为了在春节前将水果全部售完，在按标价售出m (100≤m≤200)千克后将余下部分每千克降价a (a为正整数)元全部售出，共获利为1440元，则a的值为 (直接写出结果) .
【答案】（1）1.5x；
（2）解：根据题意得
解之：x=120.
经检验：x=120是原方程根.
∴1.5x=120×1.5=180.
答：第一次购进水果120千克，第二次购进水果180千克.
（3）2或3
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：（1）第二次购进水果为1.5x千克。第一次购进水果的单价为元/千克.
故答案为：1.5x，.
（3）两次一共购进水果120+180=300千克，
根据题意得
15m+（15-a）（300-m）-1800-960=1440
am-300a+300=0
a（300-m）=300
∵100≤m≤200
当a=1时m=0，不符合题意；
当a=2时m=150时，符合题意；
当a=3时m=200，符合题意；
当a=4时m=225，不符合题意；
∴a=2或3.
故答案为：2或3.
【分析】（1）根据第二次购进水果的数量是第－次购进数量的1.5倍，可表示出第二次购进水果的数量；利用总价÷数量=单价，可表示出第一次购进水果的单价.
（2）利用已知条件：由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
（3）根据总售价-总进价=总利润，可得到关于a，m的方程，根据a为正整数和m的取值范围，可得到符合题意的a的值.
24．（2022八下·蓬安开学考）如图，△ABC是等边三角形，D、E为AC上两点，且AE＝CD，延长BC至点F，使CF＝CD，连接BD．
（1）
如图1，当D、E两点重合时，求证：BD＝DF；
（2）
延长BD与EF交于点G。
①如图2，求证：∠BGE＝60°；
②如图3，连接BE，CG，若∠EBD＝30°，BG＝4，则△BCG的面积为_▲_．
【答案】（1）证明：∵CF=CD，
∴∠CDF=∠F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DCB=∠ABC=60°，
∴∠DCB=∠F+∠CDF=2∠F=60°，
∴∠F=30°；
∵AE＝CD，当D、E两点重合时，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABC=30°；
∴∠DBC=∠F
∴BD=CF.
（2）解：①如图2中，作EH∥BC交AB于H，连接BE，
∴∠AHE＝∠ABC＝∠AEH＝∠ACB＝∠A=60°，
∴△AEH是等边三角形，
∴AE＝EH＝AH=CF，
∵AB＝AC，
∴BH＝CE，
∴∠BHE＝∠ECF＝120°，
在△BEH和△EFC中
∴△BEH≌△EFC（SAS），
∴∠EBH＝∠CEF，
∵AB＝BC，∠A＝∠BCD，AE＝CD，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠ABE＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠DEG，
∵∠CDB＝∠GDE，
∴∠BGE＝∠DCB＝60°；
②2
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：（2）②∵∠EBD＝30°，∠EGB＝60°，
∴∠BEG＝90°，
过点C作CN⊥BG于点N，取BG的中点K，连接AK、EK、CK，延长AC至M使CM＝AE，连接KM，
∴∠BKE＝120°，BK＝EK，
∵∠BAE＋∠BKE＝180°，
∴∠ABK＋∠AEK＝180°，
∴∠ABK＝∠MEK，
∴EM＝EC＋CM＝EC＋AE＝AC＝AB，
∴△AKB≌△MKE（AAS），
∴AK＝MK，
∴∠AKM＝∠AKE＋∠EKM＝∠AKE＋∠BKA＝120°，
∵AK＝KM，
∴∠KAM＝30°，
∴BK＝GK＝CK＝2，∠CKG＝30°，
∴BK＝GK＝CK，∠CKG＝30°，
∴CN＝CK＝1，
∴S△BCG＝BG CN＝×4×1＝2．
故答案为：2.
【分析】（1）利用等边对等角可证得∠CDF=∠F，利用等边三角形的性质可推出∠DCB=∠ABC=60°；利用三角形的外角的性质可求出∠F的度数，再利用等腰三角形三线合一的性质可求出∠DBC的度数，从而可推出∠DBC=∠F，由此可证得结论.
（2）①如图2中，作EH∥BC交AB于H，连接BE．利用平行线的性质和等边三角形的性质可证得∠AHE＝∠ABC＝∠AEH＝∠ACB＝∠A=60°，可推出△AEH是 等边三角形，利用等边三角形的性质可证得AE＝EH＝AH=CF，同时可推出BH=CE，∠BHE＝∠ECF；再利用SAS证明△BEH≌△EFC，可得到∠EBH＝∠CEF；利用SAS证明△ABE≌△CBD，利用全等三角形的性质可得到∠ABE＝∠CBD，从而可推出∠CBD＝∠DEG；然后利用三角形的内角和定理可可求出∠BGE的度数；利用∠EBD和∠EGB的度数可求出∠BEG的度数；过点C作CN⊥BG于点N，取BG的中点K，连接AK、EK、CK，延长AC至M使CM＝AE，连接KM，可推出BK=EK，利用补角的性质可证得∠ABK＝∠MEK，EM=AB；利用AAS证明△AKB≌△MKE，利用全等三角形的性质可得到AK＝MK，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CN的长；然后利用三角形的面积公式求出△BCG的面积.
25．（2022八下·蓬安开学考）平面直角坐标系中，点A(x，y)，且x2－8x＋16＋ ＝0，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形(点A、B、C逆时针排列).
（1）直接写出点A的坐标是 ；
（2）
如图1，已知点B(0，n)且0＜n＜4，连接OC. 求四边形ABOC的面积；
（3）
如图2，已知点B(m，n)且0＜m＜4，0＜n＜4，过点A作AD⊥y轴于D，连接OB，M为OB的中点，连接DM、CM. 求证：DM⊥CM.
【答案】（1）（4，4）
（2）解：过点A作AD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，CF⊥AD于点F，
∴∠CEB＝∠CFA＝∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90° ∠BCF＝∠ACF，
在△CBE和△CAF中，
∴△CBE≌△CAF（AAS），
∴CE＝CF，BE＝AF；
设CE＝CF＝a，则BD＝a （4 a）＝2a 4，
∴S四边形ABCO＝S四边形DOCF＋S△ACF S△ADB
=.
（3）证明：延长CM至点N，使NM＝CM，连接DC，DN，延长NO和AC的延长线交于点Q，
∵M为OB的中点，
∴OM＝BM，
在△OMN和△BMC中，
∴△OMN≌△BMC（SAS），
∴ON＝BC＝AC，∠ONM＝∠BCM，
∴ON∥BC，
∵BC⊥AC，
∴NO⊥AC，
∴∠AQN＝90°＝∠ADO，
∴∠DAC＋∠DOQ＝180°，
∵∠DON＋∠DOQ＝180°，
∴∠DON＝∠DAC；
在△DON和△DAC中，
∴△DON≌△DAC（SAS），
∴DN＝DC，
∵NM＝CM，
∴DM⊥CM．
【知识点】坐标与图形性质；几何图形的面积计算-割补法；非负数之和为0；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）∵x2-8x+16+=0
∴（x-4）2+=0
∴x-4=0且y-4=0
∴x=4，y=4；
∴点A（4，4）.
故答案为：（4，4）.
【分析】（1）利用完全平方公式将方程转化为（x-4）2+=0；再利用几个非负数之和为0，则每一个数都为0，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，即可得到点A的坐标.
（2）过点A作AD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，CF⊥AD于点F，利用垂直的定义可证得∠CEB=∠CFA=∠ECF=∠ACB=90°，利用余角的性质可证得∠ACF=∠BCE，利用AAS证明△CBE≌△CAF，利用全等三角形的性质可证得CE＝CF，BE＝AF，设CE=CE=a，可表示出BD的长；再根据S四边形ABCO＝S四边形DOCF＋S△ACF S△ADB，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式进行计算即可.
（3）延长CM至点N，使NM＝CM，连接DC，DN，延长NO和AC的延长线交于点Q，利用线段中点的定义可证得OM=BM，利用SAS证明△OMN≌△BMC，可得到ON＝BC＝AC，∠ONM＝∠BCM；再证明∠DON＝∠DAC，利用SAS证明△DON≌△DAC，利用全等三角形的性质可知DN＝DC；然后利用等腰三角形三线合一的性质可证得结论.
1 / 1四川省南充市蓬安县2021-2022学年八年级下学期开学考试数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（2022八下·蓬安开学考）下列图形是公共设施标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022八下·蓬安开学考）下列运算正确的是（ ）
A．a2·a3＝a6 B．(a2)3＝a5 C．(2a2)3＝8a6 D．a6÷a2＝a3
3．（2022八下·蓬安开学考）在△ABC中，AB≠AC，线段AD，AE，AF分别是△ABC的高，中线，角平分线，则点D，E，F的位置关系为（ ）
A．点D总在点E，F之间 B．点E总在点D，F之间
C．点F总在点D，E之间 D．三者的位置关系不确定
4．（2022八下·蓬安开学考）如图，在△ABC和△DEF中，∠C＝∠F＝90°，添加下列条件，不能判定这两个三角形全等的是（ ）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．AC＝DF，AB＝DE
C．∠A＝∠D，AB＝DE D．AC＝DF，CB＝FE
5．（2022八下·蓬安开学考）若等腰三角形的周长为30cm，一边为14cm，则腰长为（ ）
A．2cm B．8cm C．8cm或2cm D．14cm或8cm
6．（2022八下·蓬安开学考）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022八下·蓬安开学考）在平面直角坐标系中，已知点A (－1，1)， B(－3，2)，点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．7个 D．8个
8．（2020八上·朝阳期末） ， ， 都有意义，下列等式① ；② ；③ ；④ 中一定不成立的是（ ）
A．②④ B．①④ C．①②③④ D．②
9．（2022八下·蓬安开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，若∠FAC＝∠B，则∠FAB的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．50°
10．（2022八下·蓬安开学考）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC ∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①DF＝DN；②△DMN为等腰三角形；③DM平分∠BMN；④AE＝ EC；⑤AE＝NC. 其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（2022八下·蓬安开学考）若分式 的值等于0，则x的值为 ．
12．（2022八下·蓬安开学考）若4·2n＝2，则n＝ ．
13．（2022八下·蓬安开学考）一个等腰三角形的一边长为4cm，一边长为9cm，则它的周长为 ．
14．（2022八下·蓬安开学考）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD＝ .
15．（2022八下·蓬安开学考）一般情况下，式子 不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝－1，b＝2.我们把使得 成立的一对数a、b称之为“相伴数对”，记为(a，b). 若(3，x)是“相伴数对”，则代数式x3－(2x－1)(x＋3)的值为 .
16．（2020八上·江汉期末）如图，点D，E，F分别在等边三角形ABC的三边上，且DE⊥AB，EF⊥BC，FD⊥AC，过点F作FH⊥AB于H，则 的值为 .
三、解答题（共86分）
17．（2022八下·蓬安开学考）化简或计算下列各题
（1）a3·a4·a＋(a2)4＋(－2a4)2；
（2）(2m-1)2-(3m-1)(3m+1)+5m(m-1)；
18．（2022八下·蓬安开学考）因式分解
（1）9x2y＋6xy＋y．
（2）a4－16．
19．（2022八下·蓬安开学考）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数。
20．（2022八下·蓬安开学考）先化简，再求值： ÷( )，其中x＝－1.
21．（2022八下·蓬安开学考）如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：EA＝EB．
22．（2022八下·蓬安开学考）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点的坐标分别为 ；
（2）△ABC的面积是 ；
（3）在x轴上作一点P，使PA＋PB的值最小. (保留连线痕迹，不写作法)．
23．（2022八下·蓬安开学考）某商贩用960元从批发市场购进某种水果销售，由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的数量是第－次购进数量的1.5倍，设第一次购进水果的数量为x千克.
（1）用含x的式子表示：第二次购进水果为 千克，第一次购进水果的单价为 元/千克；
（2）该商贩两次购进水果各多少千克？
（3）若商贩将两次购进的水果均按每千克15元的标价进行销售，为了在春节前将水果全部售完，在按标价售出m (100≤m≤200)千克后将余下部分每千克降价a (a为正整数)元全部售出，共获利为1440元，则a的值为 (直接写出结果) .
24．（2022八下·蓬安开学考）如图，△ABC是等边三角形，D、E为AC上两点，且AE＝CD，延长BC至点F，使CF＝CD，连接BD．
（1）
如图1，当D、E两点重合时，求证：BD＝DF；
（2）
延长BD与EF交于点G。
①如图2，求证：∠BGE＝60°；
②如图3，连接BE，CG，若∠EBD＝30°，BG＝4，则△BCG的面积为_▲_．
25．（2022八下·蓬安开学考）平面直角坐标系中，点A(x，y)，且x2－8x＋16＋ ＝0，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形(点A、B、C逆时针排列).
（1）直接写出点A的坐标是 ；
（2）
如图1，已知点B(0，n)且0＜n＜4，连接OC. 求四边形ABOC的面积；
（3）
如图2，已知点B(m，n)且0＜m＜4，0＜n＜4，过点A作AD⊥y轴于D，连接OB，M为OB的中点，连接DM、CM. 求证：DM⊥CM.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，此图形不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、此图形不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、此图形是轴对称图形，故C不符合题意；
D、此图形不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a2·a3＝a5 ，故A不符合题意；
B、(a2)3＝a6，故B不符合题意；
C、(2a2)3＝8a6 ，故C符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对A作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相减，可对D作出判断.
3．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：假设AB＜AC，延长AE至点H，使EH=AH，连接CH，
∵AE是△ABC的中线，
∴BE=CE；
在△AEB和△HEC中，
∴△AEB≌△HEC（SAS），
∴AB=CH，∠BAE=∠H，
∵AB＜AC，
∴CH＜AC，
∴∠CAH＜∠H，
∴∠CAH＜∠BAE，
∴点F总在点D和点E之间.
故答案为：C.
【分析】假设AB＜AC，延长AE至点H，使EH=AH，连接CH，画出图形，利用三角形中线的定义证得BE=CE；利用SAS证明△AEB≌△HEC，利用全等三角形的性质可证得AB=CH，∠BAE=∠H，可推出CH＜AC，利用大边对大角，可证得∠CAH＜∠H，从而可证得∠CAH＜∠BAE，即可得到点F总在点D和点E之间.
4．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠C＝∠F，∠A＝∠D，∠B＝∠E
∴△ABC和△DEF不一定全等，故A符合题意；
B、在Rt△ABC和Rt△DEF中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故B不符合题意；
C、在△ABC和△DEF中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（AAS），故C不符合题意；
D、在△ABC和△DEF中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（SAS），故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用直角三角形的全等判定：HL，可对B作出判断；利用AAS，SAS可对C，D作出判断；有三组对应角分别相等的两三角形不一定全等，可对A作出判断.
5．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当14为腰时，
底边长为：30-2×14=2cm，
当14为底边时，腰长为（30-14）÷2=8cm，
∵2×8=16＞14，能构成三角形，
∴此三角形的腰长为14cm或8cm.
故答案为：D.
【分析】分情况讨论：当14为腰时；当14为底边时；利用三角形三边关系定理，可确定出此三角形的腰长和底边；然后求出此三角形的腰长.
6．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、不能化简，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用分式的基本性质，对各选项进行判断，可得正确的选项.
7．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
由图可知，以AC，AB为腰的三角形有3个；
以AC，BC为腰的三角形有2个；
以BC，AB为腰的三角形有2个；
∴满足条件的点C的个数有7个.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可知点A，B是定点，点C是动点，因此分情况讨论：以AC，AB为腰的三角形；以AC，BC为腰的三角形；以BC，AB为腰的三角形；可得到满足条件的点C的个数.
8．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵ ， ， 都有意义，
∴ ， ， ，
① ，仅需 ，即 时成立；
② ，不成立；
③ ，（右侧分子分母同时除以2），因此成立；
④ ， 即 ，当 时成立；
故仅有②一定不成立，
故答案为：D
【分析】根据分式的基本性质逐项判定即可。
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线交AB于点E，
∴BF=AF，
∴∠B=∠BAF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C；
设∠B=∠C=∠BAF=x，则∠FAC=x，
∴x+x+x+x=180°，
解之：x=25°.
故答案为：A.
【分析】利用线段垂直平分线的性质可证得BF=AF；再利用等边对等角可证得∠B=∠C=∠BAF，设∠BAF=x，可表示出∠FAC；然后利用三角形的内角和定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠FAB的度数.
10．【答案】C
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：∵AB＝AC ∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴AD=BD=CD，∠ABC=∠C=∠BAD=∠DAC=45°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=22.5°，
∠BFD=∠AEB=∠AFE=90°-22.5°=67.5°，
∴AF=AE，
∵点M为EF的中点，
∴AN⊥EF，
∴∠DAN=∠CAN=∠DAC=22.5°，
∴∠DAN=∠DBF，
在△DBF和△NAD中
∴△DBF≌△NAD（ASA），
∴DF=DN，故①正确；
在△AFB和△CAN中
∴△AFB≌△CAN（ASA），
∴AF=CN，
∵AE=AF，
∴AE=CN，故⑤正确；
在△ABM和△NBM中，
∴△ABM≌△NBM（ASA），
∴AM=MN，
∴点M是AN的中点，
∵△ADN是直角三角形，
∴DM=MN
∴△DMN是等腰三角形，故②正确；
∵DM=MN=AM，
∴∠DAM=∠ADM=22.5°，
∴∠DMN=∠DAM+∠ADM=45°，
∴∠DMB=90°-45°=45°，
∴∠DMB=∠DMN，
∴DM平分∠BMN，故③正确；
连接EN，
∵AM=NM，AM⊥EF，
∴AE=EN，
∴∠EAN=∠ANE=22.5°，
∴∠CEN=∠EAN+∠ANE=45°，
∴∠C=∠CEN，
∴NE=CN，
在Rt△ENC中
EC2=EN2+CN2=2EN2，
∴
∴，故 ④错误；
∴正确的结论有4个.
故答案为：C.
【分析】利用等腰直角三角形的性质可证得AD=BD=CD，∠ABC=∠C=∠BAD=∠DAC=45°，利用角平分线的定义可求出∠ABE和∠CBE的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BFD=∠AEB=∠AFE=67.5°，利用等腰三角形的性质可证得AN⊥EF，同时可证得∠DAN=∠DBF；利用ASA可证得△DBF≌△NAD，再利用全等三角形的对应边相等，可得DF=DN，可对①作出判断；利用ASA证明△AFB≌△CAN，可推出AF=CN，可对⑤作出判断；再利用ASA证明△ABM≌△NBM，利用全等三角形的性质可得到AM=MN，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证得DM=MN，可对②作出判断；再求出∠DAM，∠DMN的度数，从而可求出∠DMB的度数，可证得∠DMB=∠DMN，可对③作出判断；连接EN，利用垂直平分线的性质可证得AE=EM，利用等边对等角可求出∠EAN=∠ANE=22.5°；利用三角形的外角的性质可求出∠CEN的度数，可推出∠C=∠CEN，NE=CN，然后利用勾股定理空荡荡的AE与EC之间的数量关系，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
11．【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式 的值等于0，
∴x-1=0且x≠0
∴x=1.
故答案为：1.
【分析】利用分式值为0，则分子等于0且分母不等于0，可得到关于x的方程和不等式，然后求出x的值.
12．【答案】-1
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵ 4·2n＝2，
∴22+n=2，
∴2+n=1
解之：n=-1.
故答案为：-1.
【分析】利用幂的性质，可将已知条件转化为22+n=2，由此可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
13．【答案】22
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰长为4时，
∵4×2=8＜9
∴腰长不能为4；
当腰长为4时，
∵4+9＞9
∴它的周长为：9×2+4=22.
故答案为：22.
【分析】分情况讨论：当腰长为4时；当腰长为4时；再利用三角形的三边关系定理，可知当腰长只能为4时，由此可求出此三角形的周长.
14．【答案】10°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，
∴∠BCA=90°-∠A=90°-40°=50°；
∵线段AC的垂直平分线为MN，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=40°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=50°-40°=10°.
故答案为：10°
【分析】利用直角三角形的两锐角互余看求出∠BCA的度数；再利用垂直平分线的性质可证得AD=CD，利用等边对等角可求出∠ACD的度数；然后根据∠BCD=∠ACB-∠ACD，代入计算求出∠BCD的度数.
15．【答案】5
【知识点】定义新运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵(3，x)是“相伴数对”
∴
整理得
x2-3x=2，x2=3x+2，
x3－(2x－1)(x＋3) =x3－2x2-5x+3
=x（3x+2）-2（3x+2）-5x+3
=3x2+2x-6x-5x-4+3
=3x2-9x-1
=3（x2-3x）-1
3×2-1=5.
故答案为：5.
【分析】利用已知(3，x)是“相伴数对”可推出x2-3x=2，x2=3x+2；再将代数式转化为x2x－2x2-5x+3，将x2代入可转化为3（x2-3x）-1，然后将x2-3x的值代入计算，可求出结果.
16．【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∠A=∠B=∠C=60°.
∵DE⊥AB，EF⊥BC，FD⊥AC，
∴∠AFD=∠BDE=∠FEC=90°
∠ADF=∠BED=∠CFE=90°-60°=30°
∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=180°-30°-90°=60°
故△DEF是等边三角形
∴DE=DF=EF
又∵∠A=∠B=∠C, ∠AFD=∠BDE=∠FEC
∴△ADF≌△BED≌△CEF
∴AD=BE,AF=CF
设AH为x，则AF=2x
在Rt△ADF中，∠ADF=30°，
∴AD=4x
∴BE=4x,CF=2x
BC=2x+4x=6x
∴ =
故答案为：
【分析】设AH为x，利用等边三角形的性质和直角三角形中边角关系，求证三角形DEF也为等边三角形，将BC用x表示出来，然后求解即可.
17．【答案】（1）解：原式=a8+a8+4a8=6a8.
（2）解：原式=4m2-4m+1-（9m2-1）+5m2-5m
=4m2-4m+1-9m2+1+5m2-5m
=-9m+2.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用幂的乘方和积的乘方法则进行计算，再利用同底数幂相乘的法则进行计算，然后合并同类项.
（2）利用完全平方公式，平方差公式及单项式乘以多项式的法则，先去括号，再合并同类项.
18．【答案】（1）解：9x2y＋6xy＋y=y（9x2＋6x＋1） =y（3x＋1）2.
（2）解：a4－16=（a2+4）（a2-4）= （a2+4）（a-2）（a+2） .
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）观察此多项式的特点：含有公因式y，因此先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式.
（2）观察此多项式的特点：有两项，符号相反，能写成平方形式，因此利用平方差公式分解因式，再利用平方差公式分解因式.
19．【答案】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACD=（180°-∠A）=（180°-40°）=70°，
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=40°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠ABC的度数；再利用线段垂直平分线的性质可证得AD=BD，利用等边对等角可求出∠ABD的度数；然后根据∠DBC=∠ABC-∠ABD，可求出∠DBC的度数.
20．【答案】解：原式=，
当x=-1时原式=.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将括号里的分式通分计算，再将分式除法转化为乘法运算，约分化简；然后将x的值代入计算，可求出结果.
21．【答案】证明：在△ABD和△BAC中
∴△ABD≌△BAC（SSS）
∴∠ABD=∠CAB，
∴EA=EB.
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】图形中隐含公共角AB=BA，再利用SSS证明△ABD≌△BAC，利用全等三角形的对应角相等，可推出∠ABD=∠CAB；然后利用等角对等边可证得结论.
22．【答案】（1）点A1（-1，1），点B1（-4，2），点C1（-3，4）
（2）
（3）解：如图，作点A关于x轴对称的点A1，连接A1B，交x轴于点P，
点P就是所求作的点.
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）如图，
∴点A1（-1，1），点B1（-4，2），点C1（-3，4）
（2），
【分析】（1）利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得到点A1、B1、C1的坐标，再画出△A1B1C1.
（2）利用△ABC的面积等于矩形的面积减去三个直角三角形的面积，列式计算可求出结果.
（3）利用轴对称的应用最短问题，作出点A关于x轴对称的点A1，连接A1B，交x轴于点P，利用三角形的三边关系定理，可知此时PA+PB的值最小.
23．【答案】（1）1.5x；
（2）解：根据题意得
解之：x=120.
经检验：x=120是原方程根.
∴1.5x=120×1.5=180.
答：第一次购进水果120千克，第二次购进水果180千克.
（3）2或3
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：（1）第二次购进水果为1.5x千克。第一次购进水果的单价为元/千克.
故答案为：1.5x，.
（3）两次一共购进水果120+180=300千克，
根据题意得
15m+（15-a）（300-m）-1800-960=1440
am-300a+300=0
a（300-m）=300
∵100≤m≤200
当a=1时m=0，不符合题意；
当a=2时m=150时，符合题意；
当a=3时m=200，符合题意；
当a=4时m=225，不符合题意；
∴a=2或3.
故答案为：2或3.
【分析】（1）根据第二次购进水果的数量是第－次购进数量的1.5倍，可表示出第二次购进水果的数量；利用总价÷数量=单价，可表示出第一次购进水果的单价.
（2）利用已知条件：由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
（3）根据总售价-总进价=总利润，可得到关于a，m的方程，根据a为正整数和m的取值范围，可得到符合题意的a的值.
24．【答案】（1）证明：∵CF=CD，
∴∠CDF=∠F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DCB=∠ABC=60°，
∴∠DCB=∠F+∠CDF=2∠F=60°，
∴∠F=30°；
∵AE＝CD，当D、E两点重合时，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABC=30°；
∴∠DBC=∠F
∴BD=CF.
（2）解：①如图2中，作EH∥BC交AB于H，连接BE，
∴∠AHE＝∠ABC＝∠AEH＝∠ACB＝∠A=60°，
∴△AEH是等边三角形，
∴AE＝EH＝AH=CF，
∵AB＝AC，
∴BH＝CE，
∴∠BHE＝∠ECF＝120°，
在△BEH和△EFC中
∴△BEH≌△EFC（SAS），
∴∠EBH＝∠CEF，
∵AB＝BC，∠A＝∠BCD，AE＝CD，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠ABE＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠DEG，
∵∠CDB＝∠GDE，
∴∠BGE＝∠DCB＝60°；
②2
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：（2）②∵∠EBD＝30°，∠EGB＝60°，
∴∠BEG＝90°，
过点C作CN⊥BG于点N，取BG的中点K，连接AK、EK、CK，延长AC至M使CM＝AE，连接KM，
∴∠BKE＝120°，BK＝EK，
∵∠BAE＋∠BKE＝180°，
∴∠ABK＋∠AEK＝180°，
∴∠ABK＝∠MEK，
∴EM＝EC＋CM＝EC＋AE＝AC＝AB，
∴△AKB≌△MKE（AAS），
∴AK＝MK，
∴∠AKM＝∠AKE＋∠EKM＝∠AKE＋∠BKA＝120°，
∵AK＝KM，
∴∠KAM＝30°，
∴BK＝GK＝CK＝2，∠CKG＝30°，
∴BK＝GK＝CK，∠CKG＝30°，
∴CN＝CK＝1，
∴S△BCG＝BG CN＝×4×1＝2．
故答案为：2.
【分析】（1）利用等边对等角可证得∠CDF=∠F，利用等边三角形的性质可推出∠DCB=∠ABC=60°；利用三角形的外角的性质可求出∠F的度数，再利用等腰三角形三线合一的性质可求出∠DBC的度数，从而可推出∠DBC=∠F，由此可证得结论.
（2）①如图2中，作EH∥BC交AB于H，连接BE．利用平行线的性质和等边三角形的性质可证得∠AHE＝∠ABC＝∠AEH＝∠ACB＝∠A=60°，可推出△AEH是 等边三角形，利用等边三角形的性质可证得AE＝EH＝AH=CF，同时可推出BH=CE，∠BHE＝∠ECF；再利用SAS证明△BEH≌△EFC，可得到∠EBH＝∠CEF；利用SAS证明△ABE≌△CBD，利用全等三角形的性质可得到∠ABE＝∠CBD，从而可推出∠CBD＝∠DEG；然后利用三角形的内角和定理可可求出∠BGE的度数；利用∠EBD和∠EGB的度数可求出∠BEG的度数；过点C作CN⊥BG于点N，取BG的中点K，连接AK、EK、CK，延长AC至M使CM＝AE，连接KM，可推出BK=EK，利用补角的性质可证得∠ABK＝∠MEK，EM=AB；利用AAS证明△AKB≌△MKE，利用全等三角形的性质可得到AK＝MK，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CN的长；然后利用三角形的面积公式求出△BCG的面积.
25．【答案】（1）（4，4）
（2）解：过点A作AD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，CF⊥AD于点F，
∴∠CEB＝∠CFA＝∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90° ∠BCF＝∠ACF，
在△CBE和△CAF中，
∴△CBE≌△CAF（AAS），
∴CE＝CF，BE＝AF；
设CE＝CF＝a，则BD＝a （4 a）＝2a 4，
∴S四边形ABCO＝S四边形DOCF＋S△ACF S△ADB
=.
（3）证明：延长CM至点N，使NM＝CM，连接DC，DN，延长NO和AC的延长线交于点Q，
∵M为OB的中点，
∴OM＝BM，
在△OMN和△BMC中，
∴△OMN≌△BMC（SAS），
∴ON＝BC＝AC，∠ONM＝∠BCM，
∴ON∥BC，
∵BC⊥AC，
∴NO⊥AC，
∴∠AQN＝90°＝∠ADO，
∴∠DAC＋∠DOQ＝180°，
∵∠DON＋∠DOQ＝180°，
∴∠DON＝∠DAC；
在△DON和△DAC中，
∴△DON≌△DAC（SAS），
∴DN＝DC，
∵NM＝CM，
∴DM⊥CM．
【知识点】坐标与图形性质；几何图形的面积计算-割补法；非负数之和为0；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）∵x2-8x+16+=0
∴（x-4）2+=0
∴x-4=0且y-4=0
∴x=4，y=4；
∴点A（4，4）.
故答案为：（4，4）.
【分析】（1）利用完全平方公式将方程转化为（x-4）2+=0；再利用几个非负数之和为0，则每一个数都为0，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，即可得到点A的坐标.
（2）过点A作AD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，CF⊥AD于点F，利用垂直的定义可证得∠CEB=∠CFA=∠ECF=∠ACB=90°，利用余角的性质可证得∠ACF=∠BCE，利用AAS证明△CBE≌△CAF，利用全等三角形的性质可证得CE＝CF，BE＝AF，设CE=CE=a，可表示出BD的长；再根据S四边形ABCO＝S四边形DOCF＋S△ACF S△ADB，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式进行计算即可.
（3）延长CM至点N，使NM＝CM，连接DC，DN，延长NO和AC的延长线交于点Q，利用线段中点的定义可证得OM=BM，利用SAS证明△OMN≌△BMC，可得到ON＝BC＝AC，∠ONM＝∠BCM；再证明∠DON＝∠DAC，利用SAS证明△DON≌△DAC，利用全等三角形的性质可知DN＝DC；然后利用等腰三角形三线合一的性质可证得结论.
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