课件29张PPT。24.1.2 垂直于弦的直径问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 由此你能得到圆的什么特性？可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 活动一不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗? ?ABCD思考： 1、图中有哪些相等的量？OABCD思考： 1、图中有哪些相等的量？OABCD思考： 1、图中有哪些相等的量？OABCD思考： 1、图中有哪些相等的量？OABCD思考： 1、图中有哪些相等的量？OABCD思考： 1、图中有哪些相等的量？OCD1.图中有哪些相等的量？？O3.将弦AB进行平移时， 以上结论是否仍成立？AB4.当弦AB与直径CD不垂直时,以上结论是否仍成立？思
考演 示 ?E探索发现⌒已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE＝BE，AC＝BC，
AD＝ BD 。⌒⌒叠合法·OABCDE探索发现The exploration discovered ·OBCDAE议一议：推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：用
几何语言
怎样表达？下列图形是否具备垂径定理的条件？是不是是火眼金睛不是借你慧眼垂径定理的几个基本图形。CD过圆心CD⊥AB于EAE=BE一、判断下列说法的正误 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对
的两条弧分别三等分 轻松过关夯实基础例 ： 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。若OA=10cm,OE=6cm,求弦AB的长。
若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？
若下面的弓形高为h，则r、d、h之间有怎样的关系?r=d+h1．如图，在⊙O中，弦
AB的长为8cm，圆心O
到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。·OABE2.若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= cm。请试试吧5．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是 。8cm3．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 。4． ⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 。夯实基础学会作辅助线6、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。
圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?大显身手37.4m7.2mABOCE2、在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示。若油面宽AB＝600毫米，求油的最大深度。解决问题
通过这节课的学习，
你有哪些收获？
能与大家一起分享吗？1、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的距离是___ .2cm或14cm拓展思维2：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BDE实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段.就可以利用垂径定理来解决有关问题了.3、已知：⊙O中弦AB∥CD。
求证：AC＝BD⌒⌒你能讲解吗？夹在两条平行弦间的弧相等.你能有一句话概括一下吗？小结: 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。24．1．2 垂直于圆的直径
教学目标
1、知识与能力：
（1）充分认识圆的轴对称性。
（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。
（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
2、过程与方法：
让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动
手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。
让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。
3、情感态度价值观：
通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时
培养学生勇于探索的精神。
教学过程：
教学环节
教师活动
学生活动
设计目的
情
景
创
设
情景创设（1分钟）
情景问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（ppt）
把一些实际问题转化为数学问题
思考：若用直角三角形解决，那么E是否为AB中点？
从实际出发，充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出。
揭
示
课
题
揭示课题
电脑上用几何画板上作图：
（1）做一圆
(2) 在圆上任意作一条弦 AB；
(3) 过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。
（板书课题：垂直于弦的直径）
在圆形纸片上作一条弦AB，过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E
师
生
互
动
师生互动
运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画让学生观察，讨论
（1）图中圆可能会有哪些等量关系？
（2）弦AB与直径CD除垂直外还有什么性质？
实验：将圆沿直径CD对折
观察：图形重合部分，思考图中的等量关系
猜想： AE=EB、
弧AC=弧CB、
弧AD=弧DB
(电脑显示))垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧？
引导学生通过“实验--观察--猜想”，获得感性认识，猜测出垂直于弦的直径的性质
探
求
新
知
探求新知
提问：这个结论是同学们通过演示观察猜想出来的，结论是否正确还要从理论上证明它，下面我们试着来证明它
已知：CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD
证明：AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB
（<板书及电脑显示>垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
<进一步也可推知>垂径定理的逆定理：平分弦的直径垂直于弦，并且垂直于弦所对的两条弧）
探索：
证明：连结OA、OB，则OA＝OB，又OE⊥AB
∴△OAE≌△OBE
则AE=BE
∴CD所在的直线垂直平分弦AB
当把⊙O沿着直径CD折叠时， A点和B点重合
所以E=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB
让学生自主探究，大胆求证猜想发展思维能力，归纳结果
概
念
辨
析
概念辨析
（电脑显示）练习1 AE=EB吗？
（1） （2） （3）
注意：直径，垂直于弦，缺一不可！
图（1）直径不垂直弦
图（2）垂直弦的不是直径
图（3）AB为弦，CD为直径，AB⊥CD满足垂径定理
运用定理变式练习揭示定理本质属性，强调垂径定理两个条件
运
用
新
知
运用新知
练习1： 一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
在学生发表见解的情况下总结归纳：（1）圆中有关弦、半径的计算问题通常利用垂径定理来解决。（2）重要的辅助线：过圆心做弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理与解直角三角形的有关知识解题。
总结口诀：半径半弦弦心距，化为勾股最容易，另外加上弓形高，Ｒｔ三角形少不了
学生总结归纳解题思路，在练习本作，电脑显示
解：:作OC⊥AB于C,
由垂径定理得:
AC=BC= AB= ×16=8
由勾股定理得:
答:截面圆心O到水面的距离为6.
这是一道计算题，是垂径定理的简单应用，可调动学生积极性，让学生通过归纳探究，使知识点有机的结合在一起，使其更深入地掌握定理的内涵，培养他们思维的严谨性和深刻性，提高分析和归纳的能力。
（情景问题）赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
（练习本做、电脑显示）
解：如图，设半径为R
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.9（m）
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m
练习上一结束后，返回情景问题，解决这道之前不能完成的题目，体会成功的乐趣，发展思维能力，富有成就感。
练习3：
（学生识图、练习本做、电脑显示）
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
这是证明线段相等的变式题，增强学生的识图能力，揭示解决问题的方法——过圆心向弦做垂线，利用垂径定理来解决一系列类似问题。
练习4（5分钟）
出示分层训练：
全班同学分层完成，每组同学完成自己题目后可做高一层的题目
调整难度和梯度，让所有学生均有所收获，让学生充分认识到垂径定理是证明线段相等的依据。
拓展升华（3分钟）
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换或交换一条，命题是真命题吗？
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论
学生自主探证
通过问题，引导学生拓展思维，发现新目标
快
速
判
断
快速判断（1分钟）
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧………………………………………..( )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心………………………………..( )
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分……………………………………...( )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两
条弦………………………………………( )
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）
巩固拓展知识
归
纳
小
结
归纳小结(3分钟)
1学习垂径定理后，你认为应该注意哪些问题？
2应用垂径定理如何添辅助线？垂径定理有哪些应用
3这节课的学习你有什么疑问？
4这节课的学习方式拟喜欢吗？你有什么好的建议？
讲评回答
回顾这节课的内容，加深学生对知识的印象，反馈学生这节课收获节疑问，使教学效果得到提高
§24.1.2垂直于弦的直径 （随堂性作业）
1．如图（1），在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AB⊥CD B．∠AOP=∠BOP C．弧AD=弧BD D．PO=PD
2．如图（2），已知⊙O的半径为5，弦AB=6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5
3．如图（2），⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM为3，则AB的长为__ ___；
在⊙O上，到弦AB所在直线的距离为2的点共有 个。
4．如图（3）， P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_______；
最长弦长为_______．
5．如图（4），AB为⊙O直径，E是弧BC的中点，且∠AOC=900，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，求AC．
6．已知如图（5），M是弧AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN＝4cm．
（1）求圆心O到弦MN的距离； （2）求∠ACM的度数．
AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度数．(提示：分两种情况
§24.1.2垂直于弦的直径 （检测性作业）
一、选择题
1．如图（1），在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AB⊥CD B．∠AOP=∠BOP C．弧AD=弧BD D．PO=PD
2．如图（2），已知⊙O的半径为5，弦AB=6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5
*3.如图24-1-2-5,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC等于( )
A.3 B.3 C. D.
图24-1-2-5 图24-1-2-6
*4.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( )
A.3 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm
二、填空题
1．如图（2），⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM为3，则AB的长为__ ___；
在⊙O上，到弦AB所在直线的距离为2的点共有 个。
2．如图（3）， P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_______；
最长弦长为_______．
三、解答题
1．如图（4），AB为⊙O直径，E是弧BC的中点，且∠AOC=900，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，求AC．
2．已知如图（5），M是弧AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN＝4cm．
（1）求圆心O到弦MN的距离； （2）求∠ACM的度数．
*3、AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度数．(提示：分两种情况
*4.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.
*4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？
图24-1-2-7
5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.
图24-1-2-8
**6.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.
(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)
(3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.
图24-1-2-9
**7.⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围.
思路分析：求出OP长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP看作是一个变量，在动态中确定OP的最大值和最小值.事实上只需作OM⊥AB，求得OM即可.
