(共24张PPT)
北师大版 七年级下
4.5 利用三角形全等测距离
情境引入
要证明两个三角形全等有几种方法？
____________
____________
____________
____________
SSS
SAS
ASA
AAS
合作学习
在抗日战争期间，为了炸毁与
我军阵地隔河相望的日本鬼子
的碉堡，需要测出我军阵地到
鬼子碉堡的距离.由于没有任何
测量工具，我八路军战士为此绞尽脑汁，这时一
位聪明的八路军战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功.
战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离。
A
C
B
D
？
你觉得他的这种方法可行吗？说明其中的理由。
这位聪明的八路军战士的方法如下：
BC= DC（ ）
A
C
B
D
？
理由：在△ACB与△ACD中，
∠BAC=∠DAC
AC=AC（公共边）
∠ACB=∠ACD=90°
△ACB≌△ACD（ASA）
全等三角形的对应边相等
步测距离
碉堡距离
提炼概念
1.知识
利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离.
依据：全等三角形的性质.
关键：构造全等三角形.
2.方法
（1）延长法构造全等三角形；
（2）垂直法构造全等三角形.
【想一想】
如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是AB间的距离.你能说明其中的道理吗
典例精讲
小明是这样想的：
在△ABC和△DEC中，
因为AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC
所以△ABC≌△DEC，
所以AB＝DE.
你能说出每步的道理吗
理由如下: 在△ACB与△DCE中，
∠BCA=∠ECD
AC=CD
BC=CE
△ACB≌△DCE（SAS）
AB=DE
（全等三角形的对应边相等）
方案一：
先在地上取一个可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长到D，使AC=CD，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度.
A ·
B ·
·
C
D
E
你能说明其中的道理吗？
A ·
B ·
·
C
D
E
在△ABC和△DEC中，
AC＝DC，
∠ACB＝∠DCE，
BC＝EC
所以△ABC≌△DEC（SAS），
所以AB＝DE.
有没有别的方法？
方案二：
在AB的垂线BF上取两点C、E，使BC=EC，过点E作出BE的垂线EG，在EG上找一点D，使A，C，D在一条直线，测得DE的长度就是A、B 间的距离.
A ·
B ·
F
·
C
E
·
· D
G
你能说明其中的道理吗？
在△ABC和△DEC中，
∠ABC＝∠DEC，
BC＝EC，
∠ACB＝∠DCE,
所以△ABC≌△DEC（ASA），
所以AB＝DE.
∴AB ＝ CD.
1
2
解:连结BD，∵AD∥CB，
∴∠1＝∠2
在△ABD与△CDB中
B
C
D
A
∠1=∠2
AD=CB
BD=DB
∴△ABD≌△CDB(SAS)
如图，先作三角形ABD,再找一点C，使BC∥AD，并使AD=BC，连结CD，量CD的长即得AB的长.
方案三：
归纳概念
总结归纳
不可测量或不方便测量的线段
方便测量的线段
构造全等三角形
利用全等三角形的性质转移线段
课堂练习
1.如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是( )
A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS
B
A
●
●
D
C
E
F
B
2.山脚下有A、B两点，要测出A、B两点间的距离.
在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接
AO并延长到C，使AO=CO；连接BO并延长到D，
使BO=DO，连接CD.可以证△ABO≌△CDO，得
CD=AB，因此，测得CD的长就是AB的长.判定
△ABO≌△CDO的理由是( )
A.SSS B.ASA
C.AAS D.SAS
D
D
3.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离( )
A.大于100 m B.等于100 m
C.小于100 m D.无法确定
C
4.如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，M恰为BC的中点，且E，M，F在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理.
【解】因为AB∥CD,所以∠B=∠C.
在△BME和△CMF中，
∠B=∠C，
BM=CM，
∠BME=∠CMF，
所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=CF.
故只要测量CF即可得B，E之间的距离.
课堂总结
1.知识：
利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测
距离.
依据：全等三角形的性质.
关键：构造全等三角形.
2.方法：
（1）延长法构造全等三角形；
（2）垂直法构造全等三角形.
3.数学思想：
树立用三角形全等构建数学模型解决实际问题的思想.
作业布置
教材课后配套作业题。
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4.5 利用三角形全等测距离 学案
课题 4.5 利用三角形全等测距离 单元 第4单元 学科 数学 年级 七年级下册
学习目标 1. 会利用三角形全等测距离.2. 能在解决实际问题的过程中进行有条理的思考和表述.3. 体会数学与生活的密切联系，能够利用三角形全等解决生活中的实际问题.
重点 能利用三角形的全等解决实际问题；
难点 如何灵活多样地构造全等三角形。
教学过程
导入新课 【引入思考】一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.1.阅读相关内容完成下列问题：(1)在引例中，“保持刚才的姿态”你是怎样理解的？答：___________________.(2)直立的姿态从而保证了两个三角形中的两个_____；帽檐不动，保证了视线和身体的_____不变.(3)要说明图中两个三角形全等，已知两角，则还差一边，即_________.(4)测量的原理是：构造了_______________.(1)按这个战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证.(2)你能解释其中的道理吗？【归纳】(1)利用三角形的全等测距离的根据：全等三角形的对应边__相等___.(2)利用三角形的全等测距离的方法：转化法，即把不能直接测量或无法测量的线段转化为容易测量的线段
新知讲解 提炼概念1.知识 利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离. 依据：全等三角形的性质. 关键：构造全等三角形.2.方法 （1）延长法构造全等三角形； （2）垂直法构造全等三角形.典例精讲 例 如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是AB间的距离.你能说明其中的道理吗 .小明是这样想的：在△ABC和△DEC中，因为AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC所以△ABC≌△DEC，所以AB＝DE.你能说出每步的道理吗
课堂练习 巩固训练1.如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS2.山脚下有A、B两点，要测出A、B两点间的距离.在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接AO并延长到C，使AO=CO；连接BO并延长到D，使BO=DO，连接CD.可以证△ABO≌△CDO，得CD=AB，因此，测得CD的长就是AB的长.判定△ABO≌△CDO的理由是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS3.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离( )A.大于100 m B.等于100 mC.小于100 m D.无法确定4.如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，M恰为BC的中点，且E，M，F在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理.答案引入思考 理由：在△ACB与△ACD中，∠BAC=∠DACAC=AC（公共边） ∠ACB=∠ACD=90°△ACB≌△ACD（ASA）BC= DC（全等三角形的对应边相等）提炼概念 典例精讲 例 针对池塘问题：其他设计方案： ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )巩固训练1.B2.D3.C4.【解】因为AB∥CD,所以∠B=∠C.在△BME和△CMF中， ∠B=∠C， BM=CM， ∠BME=∠CMF，所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=CF.故只要测量CF即可得B，E之间的距离.
课堂小结 通过本节课的内容，你有哪些收获？1.知识 利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离. 依据：全等三角形的性质. 关键：构造全等三角形. 2.方法 （1）延长法构造全等三角形； （2）垂直法构造全等三角形.
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4.5 利用三角形全等测距离 教案
课题 4.5 利用三角形全等测距离 单元 第4单元 学科 数学 年级 七年级（下）
学习目标 1. 会利用三角形全等测距离.2. 能在解决实际问题的过程中进行有条理的思考和表述.3. 体会数学与生活的密切联系，能够利用三角形全等解决生活中的实际问题.
重点 能利用三角形的全等解决实际问题；
难点 如何灵活多样地构造全等三角形。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.1.阅读相关内容完成下列问题：(1)在引例中，“保持刚才的姿态”你是怎样理解的？答：___________________.(2)直立的姿态从而保证了两个三角形中的两个_____；帽檐不动，保证了视线和身体的_____不变.(3)要说明图中两个三角形全等，已知两角，则还差一边，即_________.(4)测量的原理是：构造了_______________.(1)按这个战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证.(2)你能解释其中的道理吗？理由：在△ACB与△ACD中，∠BAC=∠DACAC=AC（公共边） ∠ACB=∠ACD=90°△ACB≌△ACD（ASA）BC= DC（全等三角形的对应边相等）【归纳】(1)利用三角形的全等测距离的根据：全等三角形的对应边__相等___.(2)利用三角形的全等测距离的方法：转化法，即把不能直接测量或无法测量的线段转化为容易测量的线段 思考自议世纪用真实的故事引入新课,适时地提问,激发了学生的求知欲和好奇心,有不同意见时正好可以组织学生体验战士的测量方法,感受数学与现实生活的联系,以轻松、愉快的心态进入探究新知的过程. 通过全等三角形的有关知识的提问，可以温习与本节有关的知识，巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础.
讲授新课 提炼概念1.知识 利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离. 依据：全等三角形的性质. 关键：构造全等三角形.2.方法 （1）延长法构造全等三角形； （2）垂直法构造全等三角形.三、典例精讲 例 如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是AB间的距离.你能说明其中的道理吗 .小明是这样想的：在△ABC和△DEC中，因为AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC所以△ABC≌△DEC，所以AB＝DE.你能说出每步的道理吗 1.你能设计出其他的方案来吗？（构建全等三角形）针对池塘问题：其他设计方案： ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )【归纳】1.当两点之间可以直接到达时，可以直接测量出两点之间的距离；当两点之间不能直接到达时，可以构造全等三角形，将不能到达的两点转化到能够到达的两点来进行测量．2.通过构造全等三角形来进行测量有以下几种方法：构造两边和它们的夹角对应相等的两个全等三角形；构造两角和它们的夹边对应相等的两个全等三角形；构造三边对应相等的两个全等三角形. 让学生懂得情境中使用的方法虽然是一种估测,不是准确值,但却是解决问题的好方法.通过活动学生将会感受到成功的喜悦,培养了学生解决问题的意识和能力. 没有按照书上的“给出解决方案,说明理由”,而是让学生“自主解决问题,说明理由”,把课堂还给学生,把问题交给学生,鼓励学生通过积极探索、讨论找出解决方案,通过合作从不同的角度得出不同的测量方法.
课堂检测 四、巩固训练1.如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.SASB2.山脚下有A、B两点，要测出A、B两点间的距离.在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接AO并延长到C，使AO=CO；连接BO并延长到D，使BO=DO，连接CD.可以证△ABO≌△CDO，得CD=AB，因此，测得CD的长就是AB的长.判定△ABO≌△CDO的理由是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.SASD3.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离( )A.大于100 m B.等于100 mC.小于100 m D.无法确定C4.如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，M恰为BC的中点，且E，M，F在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理.【解】因为AB∥CD,所以∠B=∠C.在△BME和△CMF中， ∠B=∠C， BM=CM， ∠BME=∠CMF，所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=CF.故只要测量CF即可得B，E之间的距离.
课堂小结 通过本节课的内容，你有哪些收获？1.知识 利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离. 依据：全等三角形的性质. 关键：构造全等三角形. 2.方法 （1）延长法构造全等三角形； （2）垂直法构造全等三角形.
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