2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.4.2角平分线课件（第二课时 21张）

(共21张PPT)
北师大版八年级下册第一章
角平分线第二课时
了解和掌握三条角平分线的性质和定理。
会用三角形三条角平分线的性质定理解决问题
教学目标
复习回顾
⑴三角形的垂直平分线有什么性质？三角形的三条垂直平分线有什么性质定理？
⑵三角形的角平分线有什么性质？三角形的三条角平分线也会有类似的性质定理吗？
情景引入
如图,三条公路把A,B,C三个村庄连成一个三角形区某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,则这个集贸市场应建在哪里？与同伴交流讨论一下。
A
B
C
Q
新知探究
活动1：请同学们小组合作，分别作出锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的三条角平分线。
问题一：三角形有几条角平分线？有什么特点？
问题二：观察这三条角平分线，你发现了什么？联系角平分线性质试试看！
新知探究
活动1：请同学们小组合作，分别作出锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的三条角平分线。
问题一：三角形有几条角平分线？有什么特点？
三角形有三条角平分线，这三条角平分线会交于一点，并且都在三角形的内部。
新知探究
活动1：请同学们小组合作，分别作出锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的三条角平分线。
问题二：观察这三条角平分线，你发现了什么？联系角平分线性质试试看！
三条角平分线的交点到三条边的距离都相等
新知探究
活动2：通过折纸我们也能得到角平分线，请裁剪出任意一个三角形纸片，尝试折叠出每一个内角的角平分线，观测这三条角平分线，你是否有同样的结论？
结论一：三角形有三条角平分线，这三条角平分线会交于一点，并且都在三角形的内部。
结论二：三条角平分线的交点到三条边的距离都相等
新知探究
求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距 离相等.
⑵如何去证明呢呢？
⑴请尝试归纳自己的发现。
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距 离相等
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC，的垂线，垂足分别为D，E，F.
求证：∠A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF.
新知探究
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且
PD丄AB，PE丄BC，垂足分别为D，E，
∴PD＝PE 同理，PE＝PF．
∴PD＝PE＝PF.∴点P在∠A的平分线上，
即 ∠A的平分线经过点P.
证明：
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三条边的距离相等．
定理
归纳总结
例1：如图，在△ABC中，∠A＝100°，若∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC＝________．
例题巩固
140°
变式：如图，在△ABC中，∠A＝80°，若∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC＝________．
例题巩固
130°
变式：如图，在△ABC中，∠A＝α°，若∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC＝________．
例题巩固
90°＋ α°
例题2：已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为 M，N.求证：FE＝FD.
例题巩固
证明：连接BF，由题意易知BF即
为∠ABC的平分线，则FM＝FN，
在Rt△ABC中，∵∠B＝60°，
∴∠BAC＝30° ∴∠DAB＝ ∠BAC＝15°.
∴∠FDN＝∠DAB＋∠B＝75°，
∠FEM＝∠BAC＋∠ACE
＝30°＋ ∠ACB＝30°＋45°＝75°.
∴∠FEM＝∠FDN.
在△FEM与△FDN中，
∴△FEM≌△FDN.
∴FE＝FD.
例题巩固
变式：如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝_______
例题巩固
4:5:6
例题3：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE丄AB垂足为E,
(1)已知CD＝4 cm，求AC的长；
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
拓展提升
解：　∵AD是△ABC的角平分线，DC丄AC，DE丄AB垂
足为E，
∴ DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距
离相等).
∵AC＝BC，∴ ∠B＝∠BAC， (等边对等角).
∵ ∠C＝90°，
∴∠BDE＝90°－45°＝45° .
∴ BE＝DE(等角对等边).
在等腰直角三角形BDE中，
∴ AC＝BC＝CD＋BD＝
拓展提升
问题解决
如图,三条公路把A,B,C三个村庄连成一个三角形区某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,则这个集贸市场应建在哪里？与同伴交流讨论一下。
A
B
C
Q
集贸市场Q应该建在三条线段AB,AC,BC对应的角平分线的交点处
课堂总结
三角形的三条角平分线有哪些相关性质？
这节课你还有哪些其他收获？.