2021-2022学年安徽省芜湖市鸠江区沈巷中学九年级（下）开学数学试卷(word解析版)

2021-2022学年安徽省芜湖市鸠江区沈巷中学九年级（下）开学数学试卷
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
有理数，，，中最小的一个数是
A. B. C. D.
下列运算正确的是
A. B.
C. D.
年，新冠肺炎疫情席卷全球，截至年月日，累计确诊人数超过人，抗击疫情成为全人类共同的战役，寒假要继续做好疫情防控将“”用科学记数法可表示为
A. B. C. D.
在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点关于轴的对称点在双曲线上，则的值是
A. B. C. D.
李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月天每天所走的步数，并绘制成如图统计表，在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是
A. ， B. ， C. ， D. ，
根据安徽省统计局发布的数据，某市年一季度规上工业增加值与年一季度同期相比下降了，年一季度规上工业增加值与年一季度同期相比增长了，则这两年平均增长率是
A. B. C. D.
甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发在跑步过程中，甲、乙两人的距离与乙出发的时间之间的关系如图所示．给出以下结论：；；其中正确的是
A. B. 仅有 C. 仅有 D. 仅有
如图，在边长相同的小正方形网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为
A. B. C. D.
如图，在菱形中，，点从点出发，沿方向匀速运动，过点作交菱形的另一边于点，设点的运动路程为，的面积为，则与之间的函数图象可能为
A. B.
C. D.
如图，的半径为，定点在上，动点，也在上，且满足，为的中点，则点，在圆上运动的过程中，线段的最大值为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
分解因式的结果是______．
如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，过作轴的垂线交轴于，连接，则的面积为______ ．
实数，满足，则的最大值为______．
在中，，，，翻折，使得点落在斜边上某一点处，折痕为分别在边，上．
若四边形为正方形，则______．
若与相似，则的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）
计算：．
观察下列各组式子：
请根据上面的规律写出第个式子．
请写出第个式子，并证明你发现的规律．
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点连接，若．
求反比例函数与一次函数的关系式；
直接写出不等式组的解集．
在边长为的正方形网格中如图所示．
以点为位似中心，作出的位似图形，使其位似比为：且位于点的异侧，并表示出的坐标．
作出绕点顺时针旋转后的图形C.
在的条件下求出点经过的路径长．
我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？
如图，为的直径，点在上，与过点的切线互相垂直，垂足为连接并延长，交的延长线于点．
求证：；
若，，求的长．
为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计，现从该校随机抽取名学生作为样本，采用问卷调查的方式收集数据参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项，并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中提供的信息，解答下列问题：
补全条形统计图；
若该校共有学生名，试估计该校喜爱看电视的学生人数．
若调查到喜爱体育活动的名学生中有名男生和名女生，现从这名学生中任意抽取名，求恰好抽到名男生的概率．
如图，抛物线与轴相交于点和点，交轴于点，，点是抛物线上第一象限内的一动点，点在抛物线上．
求抛物线的解析式；
过点作轴交于点，求线段长度的最大值；
如图，当交轴于点，，，求点的坐标．
四边形中，，对角线平分．
如图，延长，交于点．
求证：∽；
；
如图，连接交于点，将沿着翻折得到，连接，若，，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，而，
，
，
有理数，，，中最小的一个数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较，掌握有理数大小比较方法是解答本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法，单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式分别求出每个式子的值，再得出选项即可．
本题考查了同底数幂的乘法，单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式等知识点，能熟记同底数幂的乘法，单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式是解此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数数；当原数的绝对值时，是负整数数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：点在双曲线上，
；
又点与点关于轴的对称，
点在双曲线上，
；
；
故选：．
由点在双曲线上，可得，由点与点关于轴的对称，可得到点的坐标，进而表示出，然后得出答案．
考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为的性质．
5.【答案】
【解析】解：在这组数据中出现次数最多的是，
即众数是；
把这组数据按照从小到大的顺序排列，第、个两个数的平均数是，
所以中位数是．
故选：．
在这组数据中出现次数最多的是万步，得到这组数据的众数；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第、个数的平均数是中位数．
本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．
6.【答案】
【解析】解：设这两年的平均增长率是，由题意可得，
，
解得：或舍去．
故选：．
设这两年的平均增长率是，由题意可列出一元二次方程，解方程可得出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
7.【答案】
【解析】解：由函数图象得：
甲的速度为米秒；
乙的速度为米秒；
米，
依据图象得：
，
解得：，
，
，，，
正确的是．
故选：．
通过函数图象分析及行程问题的数量关系可以求出甲、乙的速度．的值就是乙到达终点时与甲之间的距离，表示乙追上甲的时间，表示甲到达终点的时间．根据行程问题之间的数量关系就可以得出结论．
本题是一道一次函数的综合试题，考查了速度路程时间的运用，追击问题的运用，解答本题的关键是读懂函数图象是关键．
8.【答案】
【解析】解：如图：连接，
，
四边形是正方形，
，，，，
，
根据题意得：，
∽，
：：：，
：：，
，
在中，，
，
．
故选：．
首先连接，由题意易得，∽，然后由相似三角形的对应边成比例，易得：：，即可得：：：，在中，即可求得的值，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
9.【答案】
【解析】解：如图，连接，与交与点，与交与点，
当在上时，
四边形是菱形，
，
又，
，
是三角形在边上的高，
由菱形的性质得，
，
三角形是等边三角形，
，，
，
，
设，
，
，
该部分是开口向下的二次函数，
当在上时，
设菱形的边长为，
则，则，
，
该部分是开口向上的二次函数，
只有选项符合题意，
故选：．
分点在和上两种情况讨论，分别写出对应的函数解析式即可．
本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要将三角形的底和高用含的式子表示出来，列出和之间的关系式．
10.【答案】
【解析】解：如图，连接，，，延长到，使得，连接．
，，
，
当的值最大时，的值最大，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
的最大值为，
的最大值为．
故选：．
如图，连接，，，延长到，使得，连接证明，求出的最大值即可解决问题．
本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，具体的规划是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，
即，
依题意有．
故答案为：．
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，点，关于原点对称，则的面积为面积的倍，即．
此题主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得三角形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
13.【答案】
【解析】解：设，则，
，
，
，
，
，即，
，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大值是，
即的最大值为．
故答案为：．
设，则，代入已知等式中，化为关于的二次函数，配方后可得最大值．
本题考查了二次函数的最值，换元法是本题的关键．
14.【答案】 或．
【解析】解：如图，
四边形为正方形，
，，，
∽，
设，则，，
∽，
，即，
解得：，
，
；
故答案为：；
若与相似，分两种情况：
若：：，如图，
：：，
，
由折叠性质可知，，
在中，，，，
，
，
，
若：：，
∽，
，
由折叠性质可知，，
，
，
，
同理可得：，，
点为的中点，
．
综上所述：或．
四边形为正方形，易求证∽，根据相似三角形边对应成比例，可以求出正方形的边长的长，再根据正方形的性质即可求解；
若与相似，分两种情况：若：：，此时，为边上的高，若：：，由相似三角形角之间的关系，可以推出：，，即点为的中点，即可求解．
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，翻转变换的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等，运用分类讨论及数形结合是解题的关键．
15.【答案】解：原式
．
【解析】根据负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，特殊三角函数值的代入，分母有理化即可求出答案．
本题考查实数的运算，解题的关键是负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，分母有理化和特殊三角函数值，本题属于基础题型．
16.【答案】解：，
第个式子是；
第个式子是：，
证明：
，
成立．
【解析】根据题目中的式子，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第个式子；
根据中发现的式子，可以写出第个式子，然后证明即可解答本题．
本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的算式．
17.【答案】解：由题意得，
，
，
解得，
点坐标为，代入得，
反比例函数关系式为；
一次函数的图象过点、，
把、点坐标代入得：，
解得：，
一次函数的关系式为；
由图象可知，不等式组的解集为：．
【解析】由与，即可求得与的坐标，则可利用待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的关系式；
根据图象可得在第一象限且反比例函数的函数值大于一次函数的函数值部分．
此题考查了一次函数与反比例函数的知识．注意待定系数法与数形结合思想的应用．
18.【答案】解：如图，为所作，点的坐标为；
如图，为所作；
，
点经过的路径长
【解析】本题考查了作图位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换．
延长到使，延长到使，则满足条件；
利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、，从而得到C.
先计算出的长，然后根据弧长公式计算点经过的路径长．
19.【答案】解：设文能买株椽，
依题意，得：，
解得：或舍去，
经检验，或是原方程的解，
但不合题意舍去，
，
答：文能买株椽．
【解析】设文能买株椽，依题意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．
20.【答案】证明：连接、，如图，
为切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：为直径，
，
，
，，
，
，
．
【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
连接、，根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后证明，从而得到结论；
利用圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用面积法求出的长．
21.【答案】解：被调查的总人数为人，
看电视的人数为人，
补全图形如下：
人，
所以估计该校喜爱看电视的学生人数为人；
画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中恰好抽到名男生的结果数为，
所以恰好抽到名男生的概率．
【解析】先求出被调查的总人数，再根据各项目人数之和等于总人数可得看电视的人数，据此可补全条形图；
用总人数乘以样本中看电视人数所占比例可估计该校喜爱看电视的学生人数；
画树状图展示种等可能的结果数，再找出恰好抽到名男生的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
22.【答案】解：，则，
又，，，
把，两点的坐标代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
由得点，设直线的解析式为，
将点，代入得，解得，
直线的解析式为，
设点，则点，
，
当时，有最大值；
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
设，代入抛物线得，
故C，
在和中，
，
≌，
，
，
点．
【解析】用待定系数法即可求解；
设点，则点，则，即可求解；
证明≌，则，，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形全等、等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
23.【答案】证明：，，
，
又，
∽；
连接，如图所示：
由可知，∽，
，
，
又，
∽，
，
，平分，
，
，
，
，
；
解：连接交于点，如图所示：
将沿着翻折得到，
点与点关于对称，，
，
，
，
在和中，，
≌，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
解得：，或舍去，
，即，
解得：．
【解析】证出，再由，即可得出∽；
连接，由相似三角形的性质得，证∽，得，证出，则，即可得出；
连接交于点，证≌，得，证、、、四点共圆，由圆周角定理得，证∽，得，求出，进而得出．
本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、翻折变换的性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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