2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级下册数学第5章圆单元测试卷（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教五四新版九年级下册数学《第5章 圆》单元测试卷
一．选择题（共13小题，满分39分）
1．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠A＝∠B＝20°，则∠AOB等于（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
2．如图，在⊙O中，C为弦AB上一点，AC＝2，BC＝6，⊙O的半径为5，则OC＝（　　）
A． B．4 C．3 D．
3．下列说法正确的是（　　）
A．同弧或等弧所对的圆心角相等
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．弧长相等的弧一定是等弧
D．平分弦的直径必垂直于弦
4．如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP＝3，BP＝2，CP＝1，则DP＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P（　　）
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．无法确定
6．下列由实线组成的图形中，为半圆的是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列说法正确的是（　　）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．三点确定一个圆
C．相等的圆心角所对弦相等
D．直径为圆中最长的弦
8．过⊙O内一点M的最长弦为20cm，最短弦为16cm，那么OM的长为（　　）
A．3cm B．6cm C．8cm D．9cm
9．中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了（　　）
A．一倍 B．二倍 C．三倍 D．四倍
10．如图，⊙O经过菱形ABCO的顶点A、B、C，若OP⊥AB交⊙O于点P，则∠PAB的大小为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
11．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠OAC＝30°，OD绕着点O顺时针旋转，连接CD交直线AB于点E，当DE＝OD时，∠OCE的大小不可能为（　　）
A．20° B．40° C．70° D．80°
12．在菱形ABCD中，记∠ABC＝∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD＝2，则（　　）
A．C与∠α的大小有关
B．当∠α＝45°时，S＝
C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上
D．S随∠α的增大而增大
13．如图，分别以AB，AC为直径的两个半圆，其中AC是半圆O的一条弦，E是中点，D是半圆中点．若AB＝12，DE＝2，且AC 6，则AC长为（　　）
A．6+ B．8+ C．6+2 D．8+2
二．填空题（共9小题，满分27分）
14．如图，AB是圆O的直径，C、D两点在圆上，∠CAB＝20°，则∠ADC的度数等于 　 　．
15．如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有　 　个．
16．如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是　 　．
17．如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝　 　．
18．如图，一个人握着板子的一端，另一端放在圆柱上，某人沿水平方向推动板子带动圆柱向前滚动，假设滚动时圆柱与地面无滑动，板子与圆柱也没有滑动．已知板子上的点B（直线与圆柱的横截面的切点）与手握板子处的点C间的距离BC的长为Lm，当手握板子处的点C随着圆柱的滚动运动到板子与圆柱横截面的切点时，人前进了　 　m．
19．圆周上有6个点，任两点间连一条线段，则这些线段在圆内的交点最多有　 　个．
20．如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有　 　个．
21．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB，AB，∠PBA＝∠C．连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，OA＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式为 　 　．
22．如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为 　 　．
三．解答题（共5小题，满分54分）
23．如图，圆中两条弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD，求证：EB＝EC．
24．如图，AC是Rt△OAB斜边上的高，到点O的距离等于OA的所有点组成的图形记为G，图形G与OB交于点D，连接AD．
（1）依题意补全图形，并求证：AD平分∠BAC；
（2）如果OC＝6，tanB＝，求BD的长．
25．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证：
（1）OC＝OD：
（2）＝．
26．（1）已知：如图， ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：BE＝DF．
（2）已知等腰三角形内接于半径为5的⊙O中，如果底边BC的长为6，求底角的正切值．
27．（1）如图1，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若AB＝10，CD＝8，求AE的长．
（2）如图2，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，求PD的长度．
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题，满分39分）
1．解：连接OC．
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO，
同理，∠A＝∠ACO
∴∠ACB＝∠A+∠B＝40°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝80°．
故选：C．
2．解：设OC＝x，利用圆内相交弦定理可得：2×6＝（5﹣x）（5+x）
解得x＝．
故选：A．
3．解：A、同弧或等弧所对的圆心角相等，故本选项正确；
B、如图
∠EBF＝∠CAD，但是弧EF≠弧CD，故本选项错误；
C、在同圆或等圆中，弧长相等的弧是等弧，故本选项错误；
D、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，如图，弦AB和直径CD就不垂直，
故本选项错误；
故选：A．
4．解：由相交弦定理得：PA PB＝PC PD，
∴DP＝＝＝6．
故选：D．
5．解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，
∴d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．
故选：C．
6．解：根据半圆的定义可知，选项B的图形是半圆．
故选：B．
7．解：A、如图，AB为弦时，直径CD和AB不垂直，故本选项错误；
B、不在同一条直线上三点确定一个圆，当三点在同一直线上时，过三点不能做一个圆，故本选项错误；
C、如图，∠AOB＝∠COD，但弦AB≠弦CD，故本选项错误；
D、直径是圆中最长的弦，故本选项错误．
故选：D．
8．解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，
如图所示．直径ED⊥AB于点M，
则ED＝20cm，AB＝16cm，
由垂径定理知：点M为AB中点，
∴AM＝8cm，
∵半径OA＝10cm，
∴OM2＝OA2﹣AM2＝100﹣64＝36，
∴OM＝6cm．
故选：B．
9．解：设圆的原来的半径是R，增加1倍，半径即是2R，
则增加的面积是4πR2﹣πR2＝3πR2，即增加了3倍．
故选：C．
10．解：连接OB，
∵四边形ABCO是菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵OP⊥AB，
∴∠BOP＝∠AOB＝30°，
由圆周角定理得，∠PAB＝∠BOP＝15°，
故选：A．
11．解：
连接OC，
①如图1，OD绕着点O顺时针旋转，连接CD交直线AB于点E，
设∠OCE＝x，
∵OC＝OD，
∴∠OCE＝∠D＝x，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°，
∵DE＝OD，
∴∠DOE＝∠DEO＝30°+x+30°＝60°+x
∴2（60°+x）+x＝180°
解得x＝20°．
∴∠OCE的大小为20°；
②如图2，
设∠OEC＝x，
∵DE＝OD，
∴∠EOD＝∠E＝x，
∵DO＝CO，
∴∠ODC＝∠OCD＝2x，
∠EOC＝2∠A＝60°
∴在△OCE中，
x+60°+2x＝180°，
解得x＝40°，
∴∠OCE＝2x＝80°；
③如图3，
设∠ACE＝x，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝30°+x，
∵OD＝DE
∴∠E＝ODC＝15°+x，
∴15°+x+x＝30°
解得x＝10°，
∴∠OCE＝30°+x＝40°．
综上：∠OCE的大小为：20°、40°、80°．
故选：C．
12．解：A、错误．菱形的周长＝8，与∠α 的大小无关；
B、错误，∠α＝45°时，菱形的面积＝2 2 sin45°＝2；
C、错误，A，B，C，D四个点不在同一个圆上；
D、正确．∵0°＜α＜90°，S＝2 2 sinα，
∴菱形的面积S随α的增大而增大．
故选：D．
13．解：连接DA，DC，EO，BC．
∵E是中点，
∴OE垂直平分AC，
∴F是AC的中点．
∵AC为⊙F的直径，
∴∠ADC＝90°．
∵D是半圆中点，
∴FD垂直平分AC，
∴D、E、F、O在同一条直线上，DA＝DC，∠DFA＝90°，
∴∠DAF＝45°．
∴DF＝AF．
设EF＝x，DF＝AF＝x+2，OF＝6﹣x
∴AC＝2x+4．
∵F是AC的中点，O是AB中点，
∴OF是△ABC的中位线，
∴BC＝2OF＝12﹣2x．
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
AB2＝AC2+BC2，
122＝（4+2x）2+（12﹣2x）2，
x＝2±2．
∵AC 6，
∴x＝2+2．
AC＝8+2．
故选：D．
二．填空题（共9小题，满27分）
14．解：连接BC．
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝20°，
∴∠B＝90°﹣20°＝70°，
在圆内接四边形ABCD中，
∠ADC＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110°．
15．解：∵P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，
即圆周上的任意一点到原点的距离为5，
由题意得：＝5，即x2+y2＝25，
又∵x、y都是整数，
∴方程的整数解分别是：x＝0，y＝5；x＝3，y＝4；x＝4，y＝3；
x＝5，y＝0；x＝﹣3，y＝4；x＝﹣4，y＝3；
x＝﹣5，y＝0；x＝﹣3，y＝﹣4；x＝﹣4，y＝﹣3；
x＝0，y＝﹣5；x＝3，y＝﹣4；x＝4，y＝﹣3．
共12对，所以点的坐标有12个．
分别是：（0，5）；（3，4）；（4，3）；（5，0）；（﹣3，4）；（﹣4，3）；（﹣5，0）；（﹣3，﹣4）；（﹣4，﹣3）；（0，﹣5）；（3，﹣4）；（4，﹣3）．
16．解：过点O作OF⊥CD于点F，设弦CD与直径AB相交于点E，
∵分直径成1cm和5cm两部分，
∴AB＝6cm，
∴OA＝AB＝3cm，
∴OE＝OA﹣AE＝2cm，
∵∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝1（cm）．
故答案为：1cm．
17．解：连接OC，
∵C为弧AB的中点，
∴弧AC＝弧BC，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵CN⊥OB，CD⊥OA，ON＝a，
∴OM＝ON＝n，
∴CM＝＝，
∵CM⊥OA，
即OM⊥CD，
由垂径定理得：CD＝2CM＝2，
故答案为：2，
18．解：因为圆向前滚动的距离是Lm，所以人前进了2Lm．
19．解：每4个圆周上点就可以有一个内部交点，所以当这些交点不重合的时候，圆内交点最多，
所以，本题等价于将6个点4个分组共有多少组，
显然应该是：＝15．
故答案为：15．
20．解：解法一：过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC，
设OC＝x，AC＝y，
∵AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为6，
∴AB≤12，
∵△OAB的面积为18，
∴，
则y＝，
∴，
解得x＝3或﹣3（舍），
∴OC＝3＞4，
∴4＜OP≤6，
∵点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．
解法二：设△AOB中OA边上的高为h，
则，即，
∴h＝6，
∵OB＝6，
∴OA⊥OB，即∠AOB＝90°，
∴AB＝6，图中OC＝3，
同理得：点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．
故答案为：4．
21．解：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠OBC+∠OBA＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC，
∵∠PBA＝∠C，
∴∠PBA＝∠OBC，
∴∠PBA+∠OBA＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∴∠OBP＝∠CBA，
∵OP∥BC，
∴∠BOP＝∠OBC，
∴∠BOP＝∠C，
∴△OBP∽△CBA，
∴＝，
∴＝，
∴y＝x2，
∴y关于x的函数解析式为：y＝x2，
故答案为：y＝x2．
22．解：当△ABC为等腰三角形时，分以下两种情况：
①如图1，以AB为底边时，AC＝BC，连接C1C2，AO，则C1C2过圆心O，
∴C1C2⊥AB，
∴AD＝AB＝1，
∵OA＝2，
∴OD＝＝，
∴C1D＝2+，C2D＝2﹣，
∴BC12＝＝8+4，BC22＝＝8﹣4；
②如图2，以AB为腰时，AB＝AC3＝BC4＝2，连接OC3，AO，AO交BC3于E，则BE＝C3E，BC42＝4，
∵OC3＝AO＝AC3＝2，
∴△AC3O是等边三角形，
∴∠EOC3＝60°，
∴∠OC3E＝30°，
∴C3E＝，
∴BC3＝2，
∴BC32＝（2）2＝12，
综上，BC2＝8或12或4．
故答案为：8或12或4．
三．解答题（共5小题，满分54分）
23．证明：如图，连接AD，
∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴∠BAD＝∠CDA，
∴AE＝DE，
又∵AB＝CD，
∴EB＝EC．
24．（1）证明：如图，∵∠OAB＝90°，
∴∠OAD+∠DAB＝90°，
∵AC是Rt△OAB斜边上的高，
∴AC⊥OB，
∴∠ACD＝∠DAC+∠ADO＝90°，
∵图形G是圆O，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠DAB＝∠DAC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵tanB＝，
∴＝，
设AC＝3x，BC＝4x，则AB＝5x，
∴＝，OA＝，
Rt△AOC中，∵OC＝6，
∴，
解得：x＝，
∵x＞0，
∴x＝，
∴BD＝OC+BC﹣OD＝6+4×﹣＝．
25．（1）证明：连接OA，OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAC＝∠OBD．
在△OAC与△OBD中，
∵，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．
∴OC＝OD．
（2）∵由（1）可知，△OAC≌△OBD，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴＝．
26．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF．
（2）解：①如图1：作AD⊥BC于D，连接OB，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝BC＝×6＝3，
∴AD过圆心O，
∴OB＝5，
在Rt△OBD中：OD＝＝4，
∴AD＝OD+OA＝4+5＝9，
∴在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝＝3；
②如图2：作AD⊥BC于D，连接OB，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝BC＝×6＝3，
∴AD过圆心O，
∴OB＝5，
在Rt△OBD中：OD＝＝4，
∴AD＝OA﹣OD＝5﹣4＝1，
∴在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝．
∴底角的正切值为3或．
27．解：（1）∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．
∴CE＝CD＝4．
在直角△OCE中，OE＝＝＝3．
则AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2；
（2）如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵PC∥OA，
∴∠AOP＝∠COP，
∴∠PCE＝∠BOP+∠COP＝∠BOP+∠AOP＝∠AOB＝30°，
又∵PC＝4，
∴PE＝PC＝×4＝2，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，
∴PD＝PE＝2．