三角函数测评卷
一、单选题
1.已知函数是定义域为的奇函数,当时,,且, 则( )
A. B. C. D.
2.如图所示,在平面直角坐标系中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1)时,点Р的坐标为( )
A. B.
C. D.
3.若且,为第二象限角.则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则下列关于的说法正确的是( )
A.图象关于直线对称 B.图象关于对称
C.图象关于点中心对称 D.图象关于点中心对称
5.已知,函数在上单调递减,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若将函数的图象向左平移个单位长度,则平移后的函数图象的一条对称轴为( )
A. B.
C. D.
7.如图,角以为始边,它的终边与圆相交于点,点的坐标为,则( )
A. B. C. D.
8.已知函数在内有且仅有两个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题
9.已知函数,则下列说法正确的是( )
A.函数的一个周期是 B.函数是非奇非偶函数
C.函数的最小值为0 D.函数的最大值为4
10.已知函数对任意都有,且函数的图象关于对称.当时,.则下列结论正确的是( )
A.函数的图象关于点中心对称
B.函数的最小正周期为2
C.当时,
D.函数在上单调递减
11.下列函数中,最小正周期为,且在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
12.将正弦曲线上所有的点向左平移个单位,再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到的图象,则下列说法正确的是( )
A.函数的图象关于对称
B.函数在上单调递减
C.函数在上的最大值为
D.函数的最小正周期是
第II卷(非选择题)
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三、填空题
13.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,再将所得图象向右平移个单位,得到函数的图象,当时,值域为___________.
14.《九章算术》是我国古代数学名著,其中有这样一个问题:“今有宛田,下周三十步,径十六步,问为田几何?”意思说:现有扇形田,弧长三十步,直径十六步,问面积多少?书中给出计算方法:以径乘周,四而一,即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4,在此问题中,扇形的圆心角的弧度数是___________.
15.若方程在内有解,则a的取值范围是______.
16.若,则________.
四、解答题
17.将下列三角函数化为角的三角函数.
(1);
(2);
(3);
(4)
18.已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)求函数在区间上的值域.
19.已知,在与终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最小的正角;
(2)最大的负角;
(3)之间的角.
20.如图,在平面直角坐标系中,角的始边与轴的非负半轴重合,终边在第二象限且与单位圆相交于点,过点作轴的垂线,垂足为点,.
(1)求的值;
(2)求的值.
21.已知函数.
(1)若,,求的对称中心;
(2)已知,函数图象向右平移个单位,得到函数的图象,是的一个零点,若函数在(且)上恰好有10个零点,求的最小值;
(3)已知函数,在第(2)问条件下,若对任意,存在,使得成立,求实数的取值范围.
22.已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式;
(2)求使成立的的取值集合.
试卷第1页,共3页
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参考答案:
1.B
【解析】
【分析】
由题意,先推导出函数是周期为的函数,然后利用函数的周期化简,再代入题目条件可得,从而代入解析式计算.
【详解】
因为是定义域为的奇函数,,所以,所以,所以函数是周期为的函数,所以,即.
故选:B
2.D
【解析】
【分析】
如图,根据题意可得,利用三角函数的定义和诱导公式求出,进而得出结果.
【详解】
如图,
由题意知,,
因为圆的半径,所以,
所以,
所以,
即点.
故选:D
3.C
【解析】
【分析】
由诱导公式可知,进而可知为第二象限角,再根据充分必要条件的概念,即可得到结果.
【详解】
由题意得,由能推出,由能推出,故是的充要条件.
故选:C.
4.C
【解析】
【分析】
根据三角函数图象的平移变换可得,结合三角函数对称轴、对称中心的定义与验证法依次判断选项即可.
【详解】
由题意得,,
∴,,,
故A,B,D错误,又,
∴图象关于点中心对称.
故选:C.
5.C
【解析】
【分析】
,,应该是本身f(x)减区间的子集.
【详解】
∵,∴,
函数在上单调递减,
周期解得,故,
的减区间满足:,
取,且解之得.
故答案为:.
故选:C.
6.B
【解析】
【分析】
由平移变换结论求平移后的函数解析式,再由正弦函数的性质求该函数的对称轴.
【详解】
由题意,将函数的图像向左平移个单位可得函数的图象,则平移后函数的对称轴方程为,取可得,,
所以直线为平移后的函数图象的一条对称轴,
故选:B.
7.A
【解析】
【分析】
由三角函数定义求解即可.
【详解】
根据三角函数定义,.
故选:A
8.D
【解析】
【分析】
根据给定条件确定的范围,求解不等式作答.
【详解】
由得,而当,时,,
又,函数在内有且仅有两个零点,
于是得,解得,
所以的取值范围是.
故选:D
9.BCD
【解析】
【分析】
由题意得,,对于A,利用周期的定义判断,对于B,取特殊值判断,对于CD,将函数化简后由正弦函数的性质判断
【详解】
由题意得,,
∵,故A错误;
∵,,∴,,故B正确;
当时,,当时,,
则函数的最小值为0,最大值为4,故C,D正确.
故选:BCD.
10.BC
【解析】
【分析】
先求出周期和解析式,画出图像,对四个选项一一验证:
对于A:由图像可判断函数的中心对称;
对于B:利用图像变换作出函数的图象,即可判断;
对于C:直接求出解析式即可判断;
对于D:利用图像变换作出的图像,即可判断;
【详解】
因为函数对任意都有,
所以,即,所以
所以,即恒成立,所以的周期为4.
因为函数的图象关于对称,所以将的图象向右平移一个单位,得到的图象,所以关于对称.
任取,则,
因为函数对任意都有,即,所以.
所以,
作出的图象如图所示:
对于A:由图象可知:函数的图象关于点中心对称,故A错误;
对于B:函数的图象可以看成的图象x轴上方的图象保留,把x轴上方的图象轴下方的图象翻折到x轴上方,所以函数的最小正周期为2.故B正确;
对于C:由前面的推导可得:当,.故C正确;
对于D:作出的图像如图所示,在上函数单调递增.故D错误.
故选:BC
11.BCD
【解析】
【分析】
利用正弦函数、余弦函数的周期以及单调性逐一判断即可.
【详解】
A,,,由,得,函数,显然在区间上不单调,故A错误;
B,,最小正周期为,且在上单调递增,故B正确;
C,,最小正周期为,且在上单调递增,故C正确;
D,,最小正周期为,且在上单调递增,故D正确;
故选:BCD.
12.AB
【解析】
【分析】
由图象变换得出的解析式,然后由正弦函数性质判断各选项.
【详解】
由题意,
,A正确;
时,,B正确;
时,,时,,C错;
的最小正周期是,D错.
故选:AB.
13.
【解析】
【分析】
利用三角函数图象变换求出函数的解析式,再利用余弦型函数的基本性质可求得结果.
【详解】
由题意可得,
当时,,则,所以,.
故答案为:.
14.
【解析】
【分析】
根据题意可知扇形的弧长和直径,再计算扇形的面积和圆心角弧度数.
【详解】
解:由题意,扇形的弧长,直径,
所以扇形的圆心角弧度数是,
故答案为:.
15.
【解析】
【分析】
利用同角三角函数关系式可将问题转化为在上有解,利用正弦函数及二次函数的性质求得a的取值范围.
【详解】
把方程变为,
设,则
.
显然当且仅当的值域时,有解.
且由知,,
∴当时,有最小值,当时,有最大值
的值域为,
∴的取值范围是.
故答案为:.
16.##0.5
【解析】
【分析】
利用诱导公式即得.
【详解】
∵,
∴.
故答案为:.
17.(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
利用诱导公式求解.
(1)
解:;
(2)
;
(3)
;
(4)
.
18.(1)增区间为;减区间为
(2)
【解析】
【分析】
(1)利用正弦型函数的单调性直接求即可.
(2)整体代换后利用正弦函数的性质求值域.
(1)
令,有,
令,有,
可得函数的增区间为;减区间为;
(2)
当时,,,
有,
故函数在区间上的值域为.
19.(1)
(2)
(3)、、
【解析】
【分析】
(1)写出与角终边相同的角为,取可得出在与终边相同的角中最小的正角;
(2)取可得出在与终边相同的角中最大的负角;
(3)分别取、、,可得出在与终边相同的角中,在之间的角.
(1)
解:与角终边相同的角为,
当时,,当时,,
故在与终边相同的角中,最小正角为.
(2)
解:由(1)可知,在与终边相同的角中,最大的负角为.
(3)
解:与角终边相同的角为,
当时,;当时,,当时,;
当时,;当时,.
因此,在与终边相同的角中,在之间的角为、、.
20.(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)由三角函数的定义可得出的值,再结合同角三角函数的基本关系可求得的值;
(2)利用诱导公式结合弦化切可求得结果.
(1)
解:由题意可知点的横坐标为,则,
因为为第二象限角,则,故.
(2)
解:.
21.(1)或;
(2);
(3).
【解析】
【分析】
(1)由,可求得函数的最小正周期,进而确定参数的值,再由整体代换即可求得对称中心;(2)由三角函数的平移变换求得的解析式,再由零点的定义确定参数的值,结合图象可得的最小值;(3)将所给条件转化为和的值域的包含关系,即可求得参数的取值范围.
(1)
∵的最小正周期为,
又∵,,∴的最小正周期是,
故,解得,
当时,,由,的对称中心为;
当时,,由,的对称中心为;
综上所述,的对称中心为或.
(2)
∵函数图象向右平移个单位,得到函数的图象,
∴.
又∵是的一个零点,
,即,
∴或,
解得或,
由可得
∴,最小正周期.
令,则
即或,解得或,;
若函数在(且)上恰好有10个零点,故
要使最小,须、恰好为的零点,故.
(3)
由(2)知,对任意,存在,使得成立,则,
当时,,
当时,,
由可得,解得,
故实数的取值范围为.
【点睛】
本题第(3)小问为不等式的恒成立问题,解决方法如下:
一般地,已知函数,
(1)若,,总有成立,故;
(2)若,,有成立,故;
(3)若,,有成立,故;
(4)若,,有,则的值域是值域的子集.
22.(1)
(2)或
【解析】
【分析】
(1)通过函数的图象,求出,再求出函数的周期,进而求出 ,利用函数经过的特殊点,求出 ,得到函数的解析式.
(2)令,再结合特额殊角三角函数值,即可求出结果.
(1)
解:由图可知,,则.
因为,所以.
由,得,
所以,解得.
又因为,所以.
故.
(2)
解:由,可得.
所以或,
解得或.
故x的取值集合为或.
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