师大金卷高中数学北师大版（2019）必修第二册平面向量及其应用B （word含解析）

平面向量及其应用
一、单选题
1．在平行四边形中，E为上一点，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，大小为的角始边与轴非负半轴重合，顶点与原点O重合，其终边与圆心在原点，半径为3的圆相交于一点P，点Q坐标为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．2
3．已知向量，，若与共线，则（ ）
A． B．
C．或1 D．1
4．已知等边△的边长为，点，分别为，的中点，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，满足，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．若点是所在平面内一点，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
7．P是所在平面内一点，D为BC的中点，满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．在中， 为边上一点(不含端点)， ， 则（ ）
A．1 B． C． D．2
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个对称中心为（，0）
B．在△ABC中，AB=1，AC=3，D是BC的中点，则
C．在△ABC中，是cos2A>cos2B的充分不必要条件
D．定义，已知，则的最大值为
10．△ABC中，，A=60°，AC=4，则边AC上的高是（ ）
A． B． C． D．
11．在菱形ABCD中，E是AB边的中点，F是AD边的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知圆O的半径为1米，A为圆O上一定点，动点M，N均以每秒1米的速度同时从A出发，M沿着方向向右运动，N沿着圆周按逆时针运动，当N运动回到A时，M停止运动，连接，记运动时间为t秒，三角形的面积为，扇形（阴影部分）的面积为，则（ ）
A．当时，为钝角 B．当时，M，N之间距离最大
C．与圆O相切 D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．在中，、、分别为三个内角、、的对边，，若的外接圆面积为，则周长的最大值是______.
14．在中，，，分别是内角，，的对边，若，，，则的周长为______.
15．在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，若点，则的最大值为_________．
16．已知，，若，则_______．
四、解答题
17．（1）设O是正五边形ABCDE的中心，求；
（2）设O是正n边形的中心，求．
18．求证：对任意向量，，和成立．
19．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
（1）与相等的向量有哪些？
（2）的相反向量有哪些？
（3）与共线的向量有哪些？
20．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若，，求的面积.
21．设锐角的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，．
(1)求B的大小；
(2)若，，求边长b及的面积．
22．在中，角、、所对的边为、、，．
(1)求角的大小；
(2)的面积为，的外接圆半径长为，求、、．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据平面向量的基本定理，再结合向量的线性运算即可求解.
【详解】
由题意得，，又，
所以．
故选:D.
2．B
【解析】
【分析】
根据题意可得、，结合三角形的面积公式计算即可.
【详解】
由题意知，
，，
所以.
故选：B
3．B
【解析】
【分析】
先求得的坐标，再根据向量平行的坐标计算公式，代值计算即可.
【详解】
由题可知，，，.
故选：.
4．C
【解析】
【分析】
由题意画出图形，把向量用向量和表示，结合可求得的值.
【详解】
由已知条件,图形如下图所示：
,
解得.
故选：.
5．B
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算和向量的模，以及二次函数的性质即可求出最值．
【详解】
∵，，
∴，
∴ ，
当且仅当时取等号，即的最小值为．
故选：．
6．A
【解析】
【分析】
在平面内取点D，使得，进而得到及间的关系，进而求得各三角形面积的比例.
【详解】
在平面内取点D，使得，则由.如图所示：
设，所以，由，则，再由可得，所以.于是.
故选：A.
7．C
【解析】
【详解】
结合题干条件，可转化为，两边平方化简可得，分析即得解
【分析】
由，D为BC的中点
可得，
即，
将两边平方，得
化简得，
∴与的夹角为，
故选：C．
8．C
【解析】
【分析】
先将条件进行化简并得出，进而通过转化法求出平面向量数量积.
【详解】
由题意，，即.
因为点D在BC上，所以，于是.
故选：C.
9．ABD
【解析】
【分析】
代入法验证对称中心判断A；将转化为求值判断B；利用三角形内角的性质、正弦定理，从充分性、必要性两方面判断C；根据新函数定义，结合正余弦函数的周期性及图象求函数最大值判断D.
【详解】
A：，所以是的一个对称中心，正确；
B：，则，正确；
C：充分性：，则，由正弦定理可知，，又有，则，即，充分性成立，必要性：由，可知：，则，必要性成立，不正确；
D：是周期为的函数，，且周期为的函数，
当时，由图象知，的最大值是，正确.
故选：ABD.
10．AB
【解析】
【分析】
先用余弦定理求出的长，再求出边AC上的高.
【详解】
由余弦定理得：，解得：或3，经检验均符合，设边AC上的高是，当时，；当时，
故选：AB
11．AC
【解析】
【分析】
根据题意和菱形的性质可得、、、，依次判断选项即可.
【详解】
在菱形中，即，所以，
又，所以与不共线，故A正确，B错误；
因为E、F分别是AB、AD的中点，所以，
又，所以，所以，故C正确，D错误.
故选：AC
12．AC
【解析】
【分析】
根据余弦定理计算判断选项A；根据扇形面积公式和举例说明判断选项B、D；
根据方程有解判断选项C.
【详解】
A：当时，弧，故的弧度为1，
由余弦定理，，
所以，所以，
即为钝角，故A正确；
B：当时，NM的距离为，
当时，NM的距离为，所以，故B错误；
C：当NM与圆O相切时，，由，得，
所以此方程有解，故C正确；
D：取时，，，
所以，故D错误.
故选：AC
13．
【解析】
【分析】
由正弦定理边角互化得，，进而根据正弦定理得，余弦定理得，最后根据基本不等式求解即可.
【详解】
解： ，由正弦定理得：，
即，
所以，即，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为的外接圆面积为，所以的外接圆半径为1
所以由正弦定理得：，解得：
由余弦定理得：，则
由基本不等式得：，当且仅当时等号成立
所以，解得：，周长的最大值是
故答案为：
14．
【解析】
【分析】
利用余弦定理得到AC的长度，从而可得结果.
【详解】
由余弦定理可得，，
所以的周长为.
故答案为：
15．
【解析】
【分析】
根据题意求出点A、B的坐标，由平面向量的坐标表示和向量的几何意义写出的表达式，利用三角函数的值域即可求出的最大值.
【详解】
由题意知，
直线分别与x轴、y轴交于点A、B，
则，又，
所以，
有，
则
，其中，
当时，取得最大值，
且最大值为.
故答案为：
16．
【解析】
【分析】
利用求出x，即可求出.
【详解】
因为，，若，
所以，解得：，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
17．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
根据正多边形的性质，将正边形绕中心顺时针旋转，易知中心与各顶点的连线必重合，即它们所代表的向量之和不变，即可确定结果.
【详解】
（1）令，若将顺时针旋转，等价于将都顺时针旋转，如下图：
向量在旋转后对应位置为，
所以，旋转后向量的和为，即顺时针旋转后所得向量相等仍是，故.
（2）设，将顺时针旋转，等价于将都顺时针旋转，
同理，旋转后向量的和为，即顺时针旋转后所得向量相等仍是，故.
18．证明见解析.
【解析】
【分析】
根据平面向量加法和减法法则，数形结合即可容易证明.
【详解】
证明：若不共线时，设，以为邻边作一个平行四边形如图所示：
由平面向量的加法法则可知，
根据三角形中三边关系可得；
若共线且同向时满足成立；
若共线且反向时满足成立；
综上所述：对任意向量，，和成立.
19．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
根据相等向量、相反向量、平行向量的概念结合图形进行分析求解.
【详解】
（1）与长度相同，方向相同的向量有：；
（2）与长度相同，方向相反的向量有：；
（3）与方向相同或相反的向量有：.
20．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据三角恒等变换公式进行化简求值.
（2）根据正弦定理和三角形的面积公式进行求解.
(1)
解：由题意得：
由正弦定理得，
所以，
所以
又因为，所以.
所以 ，；
(2)
若，由正弦定理，得，
则，，
则，
所以.
21．(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，由此求得.
（2）利用余弦定理求得，利用三角形的面积公式求得三角形的面积.
(1)
由以及正弦定理，得，
因为，所以，又因为B为锐角，所以；
(2)
由余弦定理，可得，解得．
.
22．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用正弦定理可求得的值，利用三角形的面积公式可得的值，结合余弦定理可求得、的值，即可得解.
(1)
解：由正弦定理得，
即，即，
，则，可得，，.
(2)
解：，可得，
由正弦定理得，所以，，
由余弦定理，所以，，可得，
所以，，则，因此，.
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