师大金卷高中数学北师大版（2019）必修第二册三角恒等变换单元测试卷Aword版含答案

三角恒等变换单元测试卷
一、单选题
1．已知，，则=（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，下面结论错误的是（ ）
A．在区间是上单调递减
B．是函数图象的一个对称中心
C．在上的值域为
D．图象上的所有点向右平移个单位后得到函数的图象
3．设矩形的周长为20，把沿AC向折叠，AB折叠后交DC于点，则线段AP的长度最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．已知都是锐角，，，则（ ）
A．1 B． C． D．
6．已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若是锐角三角形，则
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若是等边三角形，则
11．将函数（，）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若是最小正周期为的偶函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．是奇函数
C．在上单调递减 D．函数的最大值是
12．已知，则的可能值为（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．______．
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为___.
15．若是方程的两根，，则___________.
16．已知，则___________________．
四、解答题
17．(1)若，，，，求的值；
(2)设，是方程的两根，求的值．
18．已知，求，和的值．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边为Ox，终边与单位圆交于点P，角的始边为OP，终边与单位圆交于点Q．试利用勾股定理推导出角与角的和与差的四个正弦与余弦公式．
20．利用和差化积公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
21．已知，其中，求的值．
22．在中，，请再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求：
(1)a的值；
(2)和的面积.
条件①：； 条件②：.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
由题意求出与，再利用即可得到答案.
【详解】
由题意可得，
故选：A.
2．D
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换化简解析式，根据三角函数单调性、对称性、值域、三角函数图象变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
函数，
对于A，由于，所以，所以函数在该区间上单调递减，故A正确；
对于B，当时，，故B正确；
对于C，由于，所以，，，故C正确；
对于D，图象上的所有点向右平移个单位后得到函数的图象，故D错误.
故选：D
3．D
【解析】
【分析】
利用二倍角公式，诱导公式求得的表达式，结合基本不等式求得的最小值.
【详解】
设，
设折叠后为，设，
在中，
，
，
在中，
，
当且仅当时等号成立.此时.
故选：D
4．C
【解析】
【分析】
利用三角变换化简，再根据正弦函数的单调性可得正确的选项.
【详解】
，
，
，
因为，故.
故，
故选：C.
5．D
【解析】
【分析】
由，结合同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得正确结论.
【详解】
由于，所以，
所以，
所以
.
故选：D
6．B
【解析】
【分析】
先求出tan α，再利用两角和的正切公式求出tan(α＋β)＝－1，判断出角α＋β的范围，即可求出α＋β的值.
【详解】
sin α＝，且α为锐角，则cos α＝，tan α.
所以tan(α＋β)＝＝＝－1.
又α＋β∈，故α＋β＝.
故选：B
7．C
【解析】
【分析】
利用二倍角正切公式可求得，结合诱导公式可求得结果.
【详解】
，，
.
故选：C.
8．D
【解析】
【分析】
方法一：根据，进一步确定x的范围，再由，利用平方关系和商数关系求解；方法二：根据，进一步确定x的范围，求得．再由求解.
【详解】
解：方法一：因为，
所以，
又，
故，
故．
由题意，，
则，
上式平方得，故，
故．
方法二：因为，所以，
又，
所以．
又，
，
故选：D．
9．BD
【解析】
【分析】
根据同角的三角函数关系式、诱导公式，结合二倍角公式进行逐一判断即可.
【详解】
由，所以.
A：因为，所以，本选项结论不正确；
B：因为，，所以，本选项结论正确；
C：因为，所以本选项结论不正确；
D：因为，所以本选项结论正确，
故选：BD
10．ACD
【解析】
【分析】
利用诱导公式及正弦函数的性质可判断A，由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B，由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C，利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断D.
【详解】
对于A，因为是锐角三角形，所以，所以，即，故A正确；
对于B，由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，由及正弦定理化边为角，可知，即，因为为的内角，所以，所以是等腰三角形，故C正确；
对于D，由是等边三角形，所以，所以，由正弦定理，故D正确.
故选：ACD.
11．AC
【解析】
【分析】
根据图象变换得到的解析式，进而利用最小正周期和奇偶性，得到和 的值，进而得到，从而判断出最小正周期，奇偶性和单调性，从而ABC选项可以判断，D选项要利用辅助角公式进行计算得到最大值.
【详解】
由题可知，函数，因为是最小正周期为的偶函数，所以解得因为，所以，所以，所以的最小正周期为，故A正确；因为，故B错误；令，，解得，，故C正确；因为（其中），所以的最大值为，故D错误.
故选：AC.
12．BD
【解析】
【分析】
根据两角差的正弦公式，结合两角和的余弦公式进行求解即可.
【详解】
因为，
所以，
所以当在第三象限时，有，
所以；
当在第四象限时，有，
所以，
故选：BD
13．1
【解析】
【分析】
由，利用两角和的正切公式计算即可.
【详解】
因为，
所以．
故答案为：1
14．##0.75
【解析】
【分析】
利用余弦定理及基本不等式可得，然后利用同角关系式，可得，即求．
【详解】
∵，
∴，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
又，所以，
∴.
故答案为：．
15．
【解析】
【分析】
由韦达理及正切两角和得到，再根据诱导公式化简即可求解.
【详解】
由题知，，
而，
所以，
所以.
故答案为：
16．##
【解析】
【分析】
分子分母同时除以，再代入即可得出答案.
【详解】
对原式分子分母同时除以，
则.
故答案为：
17．(1)；(2)－3.
【解析】
【分析】
(1)利用两角差的正切公式求得的值，再结合的范围，求得的值；
(2)由，是方程的两个根，利用根与系数的关系分别求出及的值，然后将利用两角和的正切函数公式化简后，将及的值代入即可求出值．
【详解】
(1)由题意可得，
由得，，故；
(2)，是方程的两个根，
，，
则．
18．，，
【解析】
【分析】
将和联立，求出，进而求出，再根据正余弦的二倍角公式和同角的基本关系即可求出结果.
【详解】
因为，，
所以，解得，
所以或；
当时，，
，；
当时，，
，；
综上，，，.
19．见解析.
【解析】
【分析】
将△OPQ旋转到OAB位置，即绕着O点，将△OPQ旋转到OP边在x轴上，则PQ＝AB，用两点间距离公式算出PQ，用勾股定理算出AB，可得余两角差的余弦公式，从而根据三角函数的诱导公式依次推导出两角差的余弦公式、两角和与差的正弦公式.
【详解】
①如图，将△OPQ旋转到OAB位置，即绕着O点，将△OPQ旋转到OP边在x轴上，则PQ＝AB.
，，
由两点间距离式得：
，
又，
由勾股定理得：
，
,
即，
即.
②
.
③
=
=
=.
④
=
=.
20．(1)；
(2)0；
(3).
【解析】
【分析】
(1)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算得解.
(2)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答.
(3)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答.
(1)
.
(2)
.
(3)
.
21．
【解析】
【分析】
根据题意和同角三角函数的基本关系可得，利用两角和的正弦公式展开即可.
【详解】
，
由，得
又，所以，
故.
22．(1)若选择条件①，则；若选择条件②，则
(2)若选择条件①，则，；若选择条件②，则，
【解析】
【分析】
（1）若选择条件①，则根据余弦定理直接求解即可；若选择条件②，根据同角的三角函数关系转化后运用正弦定理求解即可.
（2）若选择条件①，运用正弦定理求得后结合三角形面积公式求解即可；若选择条件②，运用两角和的正弦公式求得后结合三角形面积公式求解即可.
(1)
若选择条件①：
若选择条件②：
由正弦定理得：
(2)
若选择条件①：
由正弦定理得：
若选择条件②：
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