师大金卷高中数学北师大版（2019）必修第二册立体几何初步单元测试卷Aword版含答案

立体几何初步单元测试卷
一、单选题
1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PD与B1C所成的角为（ ）
A． B． C． D．
2．三棱锥及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面.记与平面所成角为，与所成角为，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图1，平面五边形，，，，，将沿折起至平面平面，如图2，若，则四棱锥的外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
5．若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
6．已知一个圆锥的母线长为6，侧面积为，则此圆锥的体积为（ ）
A． B．
C． D．
7．四面体ABCD的四个顶点都在球的球面上，，，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，则下列说法不正确的是（ ）．
A．过点E，F，G做四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2
B．四面体ABCD的体积为
C．AC与BD的公垂线段的长为
D．过作球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4
8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑（nào）．如图所示的三棱锥为一鳖臑，且平面，平面，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biēnào）.如图，三棱锥为一个鳖臑，其中平面，，，，为垂足，则（ ）
A．平面
B．为三棱锥的外接球的直径
C．三棱锥的外接球体积为
D．三棱锥的外接球体积与三棱锥的外接球体积相等
10．已知正方体的棱长为1，O是底面的中心，则下列结论正确的是（ ）
A．O到平面的距离为
B．直线OB与平面所成角的正切值为
C．异面直线与BO所成角的大小为
D．若点M是平面内的一点且，则的最小值为
11．如图，在四棱柱 中，底面是边长为 2 的正方形， ，点 P 是直线 上一动点，下列说法正确的是（ ）
A．若棱柱 是直棱柱，其外接球半径为 2，则．
B．若棱柱是直棱柱，则直线 AP 与 的夹角大于．
C．无论 取何值，总存在点 P，使得直线 PC//平面 ．
D．若直线与平面 ABCD 所成角分别 ，则．
12．已知是两个不同平面，是两条不同直线，则下述正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若是异面直线，则与相交
D．若，则
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，AC，的中点.设三棱锥F－ADE的体积为，三棱柱的体积为，则＝________.
14．如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．
15．已知三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，平面ABC，，，，且，则球O的表面积是______．
16．菱形ABCD中，，，将沿BD折起，点变为E点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的表面积为___________.
四、解答题
17．如图所示，已知圆柱内接直三棱柱，过圆柱底面圆心O，D，E分别是棱，上的点，是的中点，，.
(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角为45°，求到平面的距离.
18．如图，三棱锥中，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．如图，三棱柱中，平面ABC，，点M，N分别是线段，的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)设平面与平面的交线为l，求证：．
20．如图所示，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，，F为CD的中点.求证：
(1)平面BCE；
(2)平面平面CDE.
21．如图所示，是圆锥的一部分，是底面圆的圆心，，是弧上一动点（不与、重合），满足．是的中点，．
(1)若平面，求的值；
(2)若四棱锥的体积大于，求三棱锥体积的取值范围．
22．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱底面ABCD，E为SB的中点，且，．
(1)求证：平面；
(2)求四棱锥S﹣ABCD体积；
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据//，找到所求线线角，再利用余弦定理解三角形即可.
【详解】
根据题意，连接，如下所示：
因为是正方体，不妨设其棱长为，显然//，
故即为所求角或所求角的补角；
则在△中：
，
，
，
由余弦定理可，又
故，即直线PD与B1C所成的角为.
故选：.
2．C
【解析】
【分析】
由三视图画出几何体的直观图，由三视图判断出平面、的形状，取中点并连，由线面垂直的定义和勾股定理求出，求出的外接圆的半径，列出方程求出三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式求出答案．
【详解】
解：由三视图可得：平面，且底面为正三角形，
如图所示，取中点，连，则，
在中，，，，
在中，，所以．
设球心到平面的距离为，
因为平面，且底面为正三角形，
所以该三棱锥的外接球是对应三棱柱的外接球，
则球心到平面的距离是的一半，即，
因为的外接圆的半径为，
所以由勾股定理可得，
则该三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积是，
故选：C
3．D
【解析】
【分析】
利用作图，构造出和，分别求和，比较后，即可判断选项.
【详解】
如图，取，，的中点，，，连接，，，，，，设棱长为2，
，
平面，平面，
所以平面，
，同理平面，，且 ，
所以平面平面，所以点在线段上，
因为平面，所以，
因为，所以或为，
,当点在的中点时，最小，此时最大，最大值是，当点与点，重合时，最大，此时最小，最小值是，
当点在的中点时，，当点与点，重合时，最小，,， ，，
所以，，，
所以 .
故选：D
4．A
【解析】
【分析】
作，，由题意计算得，，，证明得平面，从而判断得外接球球心在平面的垂线上，再计算出，可得就是外接球球心，从而得半径，代入球的体积公式计算.
【详解】
由，易得，由题可知四边形为等腰梯形，过点作，在中，，，由三角函数知，所以，取中点，过点作交于点，连接，，又因为平面平面，所以平面，易求，所以为中点，且外接球球心在平面的垂线上，又因为中，，，所以；同理可得，所以在平面内，，即就是外接球球心，所以半径，所以四棱锥外接球体积为.
故选：A.
5．D
【解析】
【分析】
根据条件求得圆锥的底面半径和母线长，即可求解圆锥的侧面积.
【详解】
设圆锥的轴截面的边长为，则，则，
得圆锥底面半径，母线，
则圆锥的侧面积.
故选：D
6．C
【解析】
【分析】
由条件可以先算出圆锥的底面半径，然后可算出高，然后可得答案.
【详解】
设圆锥的底面半径为r，高为h，则，得，
所以圆锥的高为，因此该圆锥的体积．
故选：C．
7．B
【解析】
【分析】
选项A中，做出四面体的图形，画出对应的截面，求出截面积；选项B中，将立方体拆成两部分求解体积；选项C中，画出公垂线，求解长度；选项D中，结合长方体外接球求出最大值和最小值
【详解】

图1 图2
选项A中，如图（1）所示，找的中点，过点E，F，G做四面体ABCD的截面即为面，则 , ，所以四边形为平行四边形，找的中点,连接，因为，所以平面，所以平面， 平面，所以，所以，所以四边形为矩形，，，所以截面的面积，故A正确；
选项B中，中，由勾股定理得：，同理，过点 作,则，所以由勾股定理得：，
所以 ，由选项A可得：平面,所以，，故B错误；
选项C中，AC与BD的公垂线段即为，长度为，故C正确；
选项D中，可以将四面体放入如图（2）所示的长方体中，由题可求得， ，所以外接球的半径 ，截面面积的最大值为；平面截得的面积为最小面积，半径，截面积最小为，所以截面面积的最大值与最小值的比为5：4，故D正确
故选：B
8．A
【解析】
【分析】
根据平面， 平面求解.
【详解】
因为平面， 平面，
所以，
又，，，
所以,
所以，
故选：A
9．BC
【解析】
【分析】
利用线面垂直的判定可判断A选项的正误；利用直角三角形的性质可判断B选项的正误；确定球心的位置，求出三棱锥的外接球的半径，利用球体的体积公式可判断C选项的正误；求出三棱锥的外接球半径，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，如下图，过点向引垂线，垂足为，
平面，平面，则，
，，则平面，
又、平面，所以，，，
，，则平面，
这与平面矛盾，A错；
对于B选项，平面，平面，则，
在三棱锥中，，则的中点到、、、的距离相等，
所以为三棱锥的外接球的直径，故B正确；
对于C选项，分别取、的中点、，连接，
因为、分别为、的中点，则，
平面，则平面，
平面，平面，则，
故的外心为线段的中点，
因为平面，则平面平面，
故三棱锥的外接球球心在直线上，即该球球心在平面内，
所以的外接圆直径为三棱锥的外接球直径，
，，
，,
在中，，，
在中，由余弦定理得，，
故，则，
所以三棱锥的外接球体积为，故C正确；
因为，故为三棱锥的外接球的直径，且，
而三棱锥的外接球直径为，故D错误.
故选：BC.
10．ABC
【解析】
【分析】
过O作的平行线，交于点E，即可得到O到平面的距离即E到平面的距离，过E作于点F，求出，即可判断A；在平面内作于点H，连接HB，即直线OB与平面所成的角，利用锐角三角函数计算即可判断B，即与BO所成角，连接，求出，即可判断C；连接交平面于点，连接，即可得到动点的轨迹，从而判断D；
【详解】
解：对于A，如图1，过O作的平行线，交于点E，则O到平面的距离即E到平面的距离.
连接，过E作于点F，易知平面，所以，又，，所以平面，又，所以平面，易得，故选A正确.
对于B，在平面内作于点H，连接HB，如图2，则平面，又平面平面，故即直线OB与平面所成的角.在中可求得，故选项B正确.
对于C，易知，所以异面直线与BO所成的角即直线与BO所成的角，所以即与BO所成角，连接，易知，，，所以，所以，即异面直线与BO所成角的大小为，故选项C正确.
对于D，连接交平面于点，则易知平面，且，连接，则，
所以点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆.取的中点N，连接MN，则有.易得为正三角形，且圆内切于，故，所以，故选项D不正确.
故选：ABC
11．ACD
【解析】
【分析】
若棱柱 是直棱柱，根据外接球的直径是长方体的对角线，求出，可判断A；
若棱柱是直棱柱，则直线 AP 与 的夹角为， 当点与点重合时，最小，求出可判断B；
连接对角线相较于点，连接，当为的中点时，由线面平行的判断定理可得平面，可判断C；
做底面于，则在上，则，
求出，再比较分母，设，则，由余弦定理得，做差可得可判断D.
【详解】
若棱柱 是直棱柱，因为外接球的直径是长方体的对角线，
其外接球半径为 2，所以，由，
则，故A正确；
若棱柱是直棱柱，
则直线 AP 与 的夹角为， 当点与点重合时，最小，
在中， ， ，
，
所以直线 AP 与的夹角小于，所以B错误；
连接对角线相较于点，连接，当为的中点时，
有，所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面，
所以无论 取何值，总存在点 P，使得直线 PC//平面 ，故C正确；
做底面于，则在上，连接，
则，
所以，
设，则，
由余弦定理得，
所以
，则，故D正确.
故选：ACD.
12．BD
【解析】
【分析】
对于A选项，与相交时满足；对于B选项，由线面垂直与线面平行性质可判断；对于C选项，与相交或；对于D选项，根据线面垂直判定定理判断.
【详解】
解：对于A选项，当，与相交时，，故错误；
对于B选项，线面垂直与线面平行性质知当，则，正确；
对于C选项，若是异面直线，则与相交或，故错误；
对于D选项，根据线面垂直的判定定理得：若，则，故正确.
故选：BD
13．1∶24##
【解析】
【分析】
分别算出三棱锥F－ADE的与原三棱柱的底面积之比和高之比，进而根据椎体和柱体的体积公式求得答案.
【详解】
设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积.
∵D，E分别为AB，AC的中点，∴的面积等于.
又∵F为的中点，∴F到底面ABC的距离是到底面ABC距离h的一半，即为.
∴于是三棱锥F－ADE的体积，则.
故答案为：.
14．72
【解析】
【分析】
根据三视图，画出直观图，进而求出长方体与四棱锥体积，相减后得到结果.
【详解】
根据三视图可推理得知该几何体是一个长方体中挖去了一个正四棱锥剩下的几何体，还原成直观图如图：
其中AB=BC=4，，其中，四边形EGH为正方形，
故该几何体的体积为．
故答案为：72
15．
【解析】
【分析】
根据正弦定理可得到的外接圆半径，再利用勾股定理得到球的半径，从而求得球的表面积.
【详解】
在中，，
设的外接圆半径，且记三棱锥外接球的球心为，外接圆圆心为，取的中点，过作于，可知
由正弦定理得，
由题意知球半径满足，
所以球表面积.
16．
【解析】
【分析】
由题意可得当平面平面时，四面体的体积最大，然后分别从△EBD和△ABD的外接圆圆心作其面的垂线，交于点，即为外接球球心，再根据已知数据求出长，即为外接球的半径，从而可求出球的表面积
【详解】
如图所示，
当平面平面时，四面体的体积最大，
分别从△EBD和△ABD的外接圆圆心作其面的垂线，交于点，即为外接球球心，
因为M为中点，，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为
所以四边形为正方形.
由题意可得都为等边三角形，
所以，，
所以，
故，在中，，
故四面体的外接球的面积为，
故答案为：.
17．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1)连接交于F，连接，，通过平行四边形证明，再证明平面即可；
(2)由等体积可求到平面的距离.
(1)
连接交于F，连接，，则.
，与平行且相等，
∴四边形是平行四边形，.
，.
又平面平面，交线为，
平面，平面.
又平面，
平面平面.
(2)
取上一点M，使，连接，则四边形是平行四边形，∴.
又平面，
与平面所成角为，
.
，
，
∵是等腰直角三角形，∴，，
，
连接ND，NE，
则.
设N到平面距离为d，
∵，平面(平面)，
∴平面
由，得，，
即点N到平面的距离为.
18．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）若分别是中点，连接，由已知条件及勾股定理可得、，根据线面垂直的判定和面面垂直的判定即可证结论.
（2）由（1）可得，结合面面垂直的性质求到面的距离，由等体积法求到面的距离，进而求直线与平面所成角的正弦值.
(1)
如下图，若分别是中点，连接，令，
由，即△为等腰直角三角形，则；
在等腰△中，可得 且，又，
所以，即，又且面，
所以面，而面，故平面平面.
(2)
由（1）知：，，则，即，
若为到上的高，则，可得，
又面面，且面面，易知到面的距离为.
所以，又，，
若到面的距离为，则，可得，又，
所以直线与平面所成角的正弦值.
19．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件证明即可推理作答.
(2)连接，证明平面，再结合线面平行的性质即可推理作答.
(1)
三棱柱中，平面ABC，而平面ABC，则，
又，，平面，于是得平面，而平面，
所以平面平面.
(2)
连接，如图，因点M，N分别是线段，的中点，则，因平面，平面，
因此，平面，而平面平面，平面，
所以.
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接，由三角形中位线定理结合已知条件可证得四边形为平行四边形，则∥，再由线面平行的判定定理可证得结论，
（2）由等边三角形的性质可得，由平面ACD，可得，则由线面垂直的判定可得平面，而∥，所以可得平面，然后由面面垂直的判定定理可证得结论
(1)
取的中点，连接，
因为F为CD的中点，
所以∥，，
因为平面ACD，平面ACD，
所以∥，
所以∥，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，
(2)
因为为等边三角形，F为CD的中点，
所以，
因为平面ACD，平面ACD，
所以，
因为，
所以平面，
因为∥，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面
21．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接，证明出，可得出，，然后在中利用正弦定理可求得的值；
（2）计算得出四边形的面积，结合可求得的取值范围，设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，计算得出，结合正弦型函数的基本性质可求得结果.
(1)
解：取的中点，连接，为的中点，则，
平面，平面，则平面，
由题设，当平面时，因为，所以，平面平面，
平面，则平面，
因为平面，平面平面，则，
所以，，，
在中，由正弦定理可得，故.
(2)
解：四棱锥的体积，其中表示四边形的面积，
则
，
所以，，可得，
，则，故，解得.
设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，
由于是的中点，则
.
22．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据线面垂直的性质和判定定理可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；
(2)利用棱锥体积公式即求.
(1)
∵平面，平面，
∴，
又，，
所以平面，又平面，
，为中点
，又 ，
∴平面；
(2)
由题可得.
答案第1页，共2页
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