师大金卷高中数学北师大版（2019）必修第二册立体几何初步单元测试卷Cword版含答案

立体几何初步单元测试卷
一、单选题
1．设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（ ）
A． B．9 C．3 D．
3．已知平面，直线、，若，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．已知点A，B，C，D在球O的表面上，AB⊥平面BCD，若AB＝BC＝4，BC⊥CD，AC与平面ABD所成角为，则球O表面上的动点P到平面ACD距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
6．在三棱锥，若平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．100π B．50π C．144π D．72π
7．在长方体中，，，若线段上存在一点，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，它是三组对棱分别相等的四面体．已知某等腰四面体的三组对棱长分别是4，，，则该等腰四面体的体积是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知两个平面垂直，下列命题错误的有（ ）
A．一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
B．一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线
C．一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面
D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
10．如图，已知菱形中，，，E为边的中点，将△沿翻折成△（点位于平面上方），连接和，F为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．平面平面
B．与的夹角为定值
C．三棱锥体积最大值为
D．点F的轨迹的长度为
11．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（ ）
A． 平面
B．AB与PF所成角为45°
C．该二十四等边体的体积为
D．该二十四等边体外接球的表面积为
12．如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，点是上的动点.将分别沿折起，使两点重合于，连接.下列说法正确的是（ ）
A．PD
B．若把沿着继续折起，与恰好重合
C．无论在哪里，不可能与平面平行
D．三棱锥的外接球表面积为
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．已知A、B、C、D为空间不共面的四个点，且，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为______．
14．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.由于这个“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现，于是他留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.如图，在底面半径为1的圆柱内的球与圆柱的上、下底面及母线均相切，设，分别为圆柱的上、下底面圆周上一点，且与所成的角为90°，直线与球的球面交于两点，，则的值为______.
15．如图，在边长为的正方体中，、分别为棱、的中点，则平面截该正方体所得截面的面积为__________.
16．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，分别为和的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为_____．
四、解答题
17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱，E为SB的中点，且，.
(1)求证：平面；
(2)求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值.
18．我国已出现了用3D打印技术打印出来的房子，其耗时只有几个小时，其中有一尺寸如图所示的房子．不计屋檐，求其表面积和体积．
19．一个几何体共有六个侧面且都是全等的等腰梯形，等腰梯形的上底长为10cm，下底长为15cm，腰为9cm，上、下底面都是正六边形，求该几何体的全面积．
20．如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为梯形，且满足AD＝1，CD＝2，BC＝3，AD∥BC，AD⊥DC，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l．
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)若PD＝2，求异面直线AB与CP所成角的余弦值．
21．用斜二测画法得到一水平放置的直角三角形ABC如图所示，其中AC＝1，∠ABC＝30°，试求原三角形A′B′C′边B′C′上的高及△A′B′C′的面积.
22．法国罗浮宫玻璃金字塔外表呈正四棱锥形状．已知塔高21m，底宽34m，求塔身的表面积（参考数据：，精确到）．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断即可.
【详解】
选项A. 一条直线垂直于一平面内的，两条相交直线，则改直线与平面垂直
则由，不能得出，故选项A不正确.
选项B. ,则正确，故选项B正确.
选项C. 若，则与可能相交，可能异面，也可能平行，故选项C不正确.
选项D. 若，则与可能相交，可能平行，故选项D不正确.
故选：B
2．A
【解析】
【分析】
根据圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，分别求得底面半径和母线长即可.
【详解】
因为圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，
所以底面半径为，母线长为，
所以该圆锥的高为，
故选：A.
3．D
【解析】
【分析】
利用线面的位置关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】
若，且，则或，即“”“”；
若，且，则或、异面，则“”“”.
因此，“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4．B
【解析】
【分析】
依据线面垂直判定定理、面面垂直判定定理和线面垂直性质定理、面面平行性质定理去判断四个选项的说法.
【详解】
选项A: 若，则或或与相交.说法错误；
选项B: 若，则.说法正确；
选项C: 若，则.说法错误；
选项D: 若，则或是异面直线.说法错误.
故选：B
5．C
【解析】
【分析】
根据条件确定球心的位置，几何长度关系角度关系可得半径，由平面ACD过球心，
可知球O表面上的动点P到平面ACD距离的最大值为球的半径.
【详解】
由平面知，
，又，
则与平面所成角为，
则中边上的高为，又，
从而是以C为直角顶点的等腰直角三角形，
从而有，即为外接球直径，
从而球O表面上的动点P到平面距离的最大值为．
故选：C.
6．A
【解析】
【分析】
根据三棱锥的几何特征，可将三棱锥放于长方体内，三棱锥的外接球就是长方体外接球.
【详解】
如图，将三棱锥放于一个长方体内：
则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，∴PB为三棱锥P－ABC外接球的直径，
∵，
∴外接球的表面积为：．
故选：A.
7．D
【解析】
【分析】
由题设，令，且，可得，结合二次函数的性质求参数m的范围即可.
【详解】
若线段上存在一点，使得，如下图示：
则，令，则，
设且，有，则，，
所以，整理得，
故在上有零点，而且对称轴为，开口向上，
所以，只需，则，即的取值范围是.
故选：D
8．B
【解析】
【分析】
将等腰四面体补成长方体求解.
【详解】
如图，，
将等腰四面体补成长方体，
设该长方体的长、宽、高分别是，，，
则
解得，，，
则该等腰四面体的体积为：
．
故选：B
9．ACD
【解析】
【分析】
利用平面和平面垂直的性质进行判断.
【详解】
一个平面内只有垂直交线的直线和另一平面垂直，才和另一个平面内的任意一条直线垂直，所以A, C错误；
过一个平面内任意一点作交线的垂线， 该垂线在平面内时，则此垂线必垂直于另一个平面，
若点在交线上时，作交线的垂线，则垂线不一定在平面内，此垂线不一定垂直于另一个平面，所以D错误；
因为另一个平面内有无数条平行直线垂直于该平面，都与该直线垂直，所以B正确.
故选：ACD
10．ABD
【解析】
【分析】
A由题设结合线面垂直的判定证面，再由面面垂直的判定即可判断正误；B若是的中点，应用平行四边形的性质有，可知与的夹角为或其补角，进而求其大小；C根据A、B的分析，当面时最大，求其最大值；D确定F的轨迹与到的轨迹相同，且到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，即可求轨迹长度.
【详解】
A：由，，E为边的中点知：且，易知，，而，故面，又面，所以面面，正确；
B：若是的中点，又F为的中点，则且，而且，所以且，即为平行四边形，故，所以与的夹角为或其补角，若为中点，即，由A分析易知：，故与的夹角为，正确；
C：由上分析知：翻折过程中当面时，最大，此时，错误；
D：由B分析知：且，故F的轨迹与到的轨迹相同，由A知：到的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，而为中点，故到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，所以F的轨迹长度为，正确.
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：应用线面、面面垂直的判定判断面面垂直；根据线线角的定义，结合平行四边形的性质找到线线角的平面角并求大小；判断动点的轨迹，由圆的性质及棱锥的体积公式求的最大体积以及F的轨迹的长度.
11．CD
【解析】
【分析】
将该二十四等边体补形为正方体, 利用与是异面直线判定选项A错误，利用和的形状判定选项B错误，利用正方体和等二十四等边体的关系和分割法判定选项C正确，利用该二十四等边体外接球的球心即为正方体的中心及球的表面积公式判定选项D正确.
【详解】
将该二十四等边体补形为正方体（如图所示），
因为该二十四等边体的所有棱长都为，所以正方体的棱长为2，
对于A：正方体的体对角线平面，而与是异面直线，
所以平面不成立，即选项A错误；
对于B：因为，
所以是AB与PF所成角或其补角，
在中，，，
因为，所以，
即选项B错误；
对于C：因为该二十四等边体的所有棱长都为，
所以正方体的棱长为2，
所以该二十四等边体的体积为，
即选项C正确；
对于D：设该二十四等边体外接球的半径为，
该二十四等边体外接球的球心即为正方体的中心，
正方体六个表面的面积都为1，
所以，
所以其表面积为，即选项D正确.
故选：CD.
12．ABD
【解析】
【分析】
A选项，线面垂直得到线线垂直；B选项，利用边长相等，得到与恰好重合；C选项，找到M点使得∥平面，D选项，求出外接球半径，进而得到三棱锥的外接球表面积.
【详解】
连接BD，与EF相交于G，连接PG，因为正方形中，点是的中点，点是的中点，所以BE=BF，△ADE≌△CDF，故DE=DF，所以BD是EF的垂直平分线，所以G是EF的中点，因为PE=PF，所以PG⊥EF，因为，所以EF⊥平面PBG，因为平面PBG，所以，A正确；
因为，故把沿着继续折起，与恰好重合；B正确；连接AC交BD于点O，则BO=DO，因为是的中点，点是的中点，所以∥AC，且，当位于靠近P的三等分点时，，可得：∥PB，因为PB平面MEF，MG平面MEF，可得：∥平面，故C错误；
由，，由余弦定理得：，所以，设△DEF的外接圆半径为，由正弦定理得：，如图，，过点P作PH⊥BD于点H，则PH⊥平面DEF，又因为PE=PF=1，EF=，所以PE⊥PF，且PG=，设HG=m，则HD=，由勾股定理得：，即，解得：，所以，所以，设球心为I，则IQ⊥底面BFDE，过I作IN⊥PH于点N，连接ID，则，设，则，设外接球半径为r，则ID=IP=r，即，解得：，所以，三棱锥的外接球表面积为，D选项正确.
故选：ABD
【点睛】
三棱锥外接球题目，要先找到球心在其中一个平面三角形的投影，然后利用正弦定理或其他知识求出这个三角形的外接圆半径，找到顶点在次三角形上的投影，利用勾股定理列出方程，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积或体积.
13．
【解析】
【分析】
由题可得当BA、BC、BD两两垂直时，三棱锥的体积最大，将三棱锥补形为一个长宽高分别为，，的长方体，即得.
【详解】
当BA、BC、BD两两垂直时，如图三棱锥的底面的面积和高同时取得最大值，则三棱锥的体积最大，
此时将三棱锥补形为一个长宽高分别为，，的长方体，
长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
球的半径，表面积为．
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
由全等三角形得，取的中点为，在中求出后利用球的性质可得弦长．
【详解】
连接，，，由，得，取的中点为，则；
,,,平面，
所以平面，而平面，所以，
因为，，所以；由及，得也是的中点，所以.
故答案为：．
15．##
【解析】
【分析】
连接、、，分析可知平面截正方体所得截面为梯形，计算出梯形的面积，即可得解.
【详解】
连接、、，如下图所示：
在正方体中，且，故四边形为平行四边形，
所以，，
、分别为、的中点，则且，，
因为平面平面，平面平面，设平面平面，则，
因为为平面与平面的一个公共点，且，，故直线与直线重合，
且，故梯形为截面截正方体所得截面，
过点、在平面内作，，垂足点分别为、，
因为，同理可得，则梯形为等腰梯形，
因为，，，则，
所以，，
在平面内，，，，则，故四边形为矩形，
所以，，则，，
因此，截面面积为.
故答案为：.
16．##
【解析】
【分析】
连接交于，由已知可得即为异面直线与所成角，不妨设，在中，由余弦定理得答案．
【详解】
解：如图，连接，
四边形为矩形，，分别为和的中点，
则交于，且为的中点，
，，或其补角即为异面直线与所成角，
不妨设，
在中，，，，
由余弦定理可得．
故答案为：．
17．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据线面垂直的性质和判定定理可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；
(2)建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法求出和平面的法向量，结合向量的数量积计算即可.
(1)
∵平面，平面，∴，
又，，所以平面，又平面，
，为中点
，
∴平面；
(2)
以A为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，
得，
所以，
设平面的法向量为，易知为平面的一个法向量，
则，
令，得，，
，
令平面和平面所成的二面角为，
.
18．，.
【解析】
【分析】
根据实体图，得出如图所示空间几何体，上面是三棱柱和下面是长方体的组合体，进行计算即可得解.
【详解】
如图所示，该房子的几何图形为，上面是三棱柱和下面是长方体的组合体，
由，，
所以，
可得，
所以，
所以底下长方体的面积为，
上面三棱柱的面积为，
所以房子的表面积为，
体积.
19．
【解析】
【分析】
分别过A,B作AE⊥CD,BF⊥CD,E,F分别为垂足，先求出斜高AE，分别求出侧面积和底面积，即可求出表面积.
【详解】
如图所示其中一个等腰梯形,
分别过A,B作AE⊥CD,BF⊥CD,E,F分别为垂足，则四边形AEFB为矩形.其中EF=AB=9,，所以.
所以该几何体的侧面积,上下底面积的和，
所以该几何体的全面积.
20．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）推导出，平面，由此能证明平面；
（2）延长至E，使，连，，则有即为异面直线与所成的角，证明为正三角形即得解.
(1)
证明：四棱锥中，底面为梯形，，
因为平面，平面，所以平面.
因为平面与平面的交线为，平面，，
，底面，平面，，
，平面，平面，平面.
(2)
解：延长至E，使，连，，则有．即为异面直线与所成的角或补角．
，，则，
又易知，从而为正三角形，所以，
即异面直线与所成的角的余弦值为.
．
21．边B′C′上的高为，面积为.
【解析】
【分析】
根据斜二测画法的规则，求出原三角形的底边长和高，可得面积.
【详解】
作于，在上取点，使;
因为直角三角形ABC中，AC＝1，∠ABC＝30°，
所以.由面积相等可得边上的高为，所以；
根据斜二测画法的规则，则，；
所以△A′B′C′的面积为.
22．
【解析】
【分析】
由题意可得正四棱锥的底面边长与高，利用勾股定理求出侧棱与斜高，即可求出塔身的表面积．
【详解】
解：如图，正四棱锥，底面，，，
则，所以，
作，则，
所以该塔身的表面积
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页