3.1.1两角和与差的余弦公式
文档属性
| 名称 | 3.1.1两角和与差的余弦公式 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 274.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-12-20 17:01:18 | ||
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文档简介
课件30张PPT。3.1.1
两角和与差
的余弦公式sin300= cos450=
sin600= cos1200= cos150=?问题1：150可以用那两个特殊角表示？问题2：cos150可以用两个特殊角三角函数值
作差表示吗？问题3：cos150需用两个特殊角的几个三角函数
值表示呢？又是什么形式呢？问题4：一般的 能否用
的三角函数值表示呢？小组交流以下问题：问题1：150可以用那两个特殊角表示？问题2：cos150可以用两个特殊角三角函数值
作差表示吗？问题3：cos150需用两个特殊角的几个三角函数
值表示呢？又是什么形式呢？问题4：一般的 能否用
的三角函数值表示呢？3.1.1
两角和与差
的余弦公式2、两点间距离公式OxyP2(x2,y2)P1(x1,y1) 在平面内任取两点P1(x1,y1) , P2(x2,y2) ，从P1, P2分别作x轴的垂线P1M1,P2M2;与x轴交于点M1(x1,0),M2(x2,0)； 再从P1, P2分别作y轴的垂线P1N1,P2N2;与y轴交于点N1(0, y1),N2(0,y2)； 直线P1N1与P2M2相交于点Q. 那么： P1Q= M1M2=| x2 － x1 |，QP2= N1N2=| y2 － y1 | 由勾股定理，可得： P1P22= P1Q2+ QP22 =| x2 － x1 |2+| y2 － y1 |2 =(x2 － x1)2+( y2 － y1 )2
M2(x2,0)N2(0,y2)M1(x1,0)N1(0,y1)Q(x2,y1)在直角坐标系内做单位圆并做出角α,α+β和-β。 它们的终边分别交单位圆 于P2、P3和P4，单位圆与X轴正半轴交于P1。则： P1 （ 1,0）、 P2 （cosα,sinα ） 、 P3 （cos （α+β），sin（α+β)）、 P4 （cos( -β）,sin（-β)）（请同学们用已知角的余弦和正弦表示出角的终边与单位圆交点的坐标。）联想任意角三角函数的单位圆定义〖探究2〗 cos（α+β）公式的结构形式的一般推导把问题放在平面直角坐标系下进行探索研究 [cos（ α+β）-1] 2+ [ sin（α+β) -0 ] 2 =[cos( -β） - cosα ]2+[sin（-β)- sinα ]2展开整理合并得： cos（ α+β）= cosα cosβ- sinα sinβ这就是两角和的余弦公式。 （其中α,β为任意角）〖探究2〗 cos（α+β）公式的结构形式的一般推导（请同学们指出右图中的各组相等的长度、角度关系。）(公式提示 :
)即任意角
成立吗？两角差的余弦公式两角和的余弦公式？1、公式中两边的符号正好相反2、式子右边同名三角函数相乘再加减，
且余弦在前正弦在后。结论：
两角和与差的余弦公式余余正正,符号反结构特点：适应范围：为任意角1501050750特殊角例1. ①利用公式
求cos150及cos1050的值。例1. ②利用公式 证明诱导公式800200非特殊角名称变化sincos(1)运用公式解题时，要记清公式的结构特
征，尤其是中间的符号．
(2)把非特殊角转化为特殊角的差或和．
(3)熟记特殊角的三角函数值，是解决本
章求值问题的必要基石．例2.变式训练（1）利用平方关系求值时，要注意根据
已知角的象限确定符号。
（2）利用公式求值时，要把所求的角分
解成已知的或可求的角，注意角的
拆、拼技巧。知识上：题型上：式子的逆用，变形用．
5、公式应用
例1 不查表，计算COS105°和 COS15° = COS45°COS60°-sin45°sin60°解:COS105°= COS（45°+60°） COS15°=COS（45°-30°)= COS45°COS30°+sin45°sin30°例2：求下列各式的值（1）cos80°cos35°+sin80°sin35°
(2) cos25°cos35°-sin25°sin35°
解：（1）原式=cos(80°-35°)=cos45°=（2）原式=cos(25°+35°)=cos60°=1/2变式：sin25°sin35°- cos25°cos35°=？
〖理论升华〗1.判断题
（1）对任意角α,β，一定有cos(α＋β) cosβ＋sin(α＋β)sinβ= cosα 成立； （ ）
（2） 的化简结果为0 （ ）×√+提示：课堂练习1、cos 27°cos 57°－sin 27°cos 147°
2、cos2150 - sin2150
两角和与差
的余弦公式sin300= cos450=
sin600= cos1200= cos150=?问题1：150可以用那两个特殊角表示？问题2：cos150可以用两个特殊角三角函数值
作差表示吗？问题3：cos150需用两个特殊角的几个三角函数
值表示呢？又是什么形式呢？问题4：一般的 能否用
的三角函数值表示呢？小组交流以下问题：问题1：150可以用那两个特殊角表示？问题2：cos150可以用两个特殊角三角函数值
作差表示吗？问题3：cos150需用两个特殊角的几个三角函数
值表示呢？又是什么形式呢？问题4：一般的 能否用
的三角函数值表示呢？3.1.1
两角和与差
的余弦公式2、两点间距离公式OxyP2(x2,y2)P1(x1,y1) 在平面内任取两点P1(x1,y1) , P2(x2,y2) ，从P1, P2分别作x轴的垂线P1M1,P2M2;与x轴交于点M1(x1,0),M2(x2,0)； 再从P1, P2分别作y轴的垂线P1N1,P2N2;与y轴交于点N1(0, y1),N2(0,y2)； 直线P1N1与P2M2相交于点Q. 那么： P1Q= M1M2=| x2 － x1 |，QP2= N1N2=| y2 － y1 | 由勾股定理，可得： P1P22= P1Q2+ QP22 =| x2 － x1 |2+| y2 － y1 |2 =(x2 － x1)2+( y2 － y1 )2
M2(x2,0)N2(0,y2)M1(x1,0)N1(0,y1)Q(x2,y1)在直角坐标系内做单位圆并做出角α,α+β和-β。 它们的终边分别交单位圆 于P2、P3和P4，单位圆与X轴正半轴交于P1。则： P1 （ 1,0）、 P2 （cosα,sinα ） 、 P3 （cos （α+β），sin（α+β)）、 P4 （cos( -β）,sin（-β)）（请同学们用已知角的余弦和正弦表示出角的终边与单位圆交点的坐标。）联想任意角三角函数的单位圆定义〖探究2〗 cos（α+β）公式的结构形式的一般推导把问题放在平面直角坐标系下进行探索研究 [cos（ α+β）-1] 2+ [ sin（α+β) -0 ] 2 =[cos( -β） - cosα ]2+[sin（-β)- sinα ]2展开整理合并得： cos（ α+β）= cosα cosβ- sinα sinβ这就是两角和的余弦公式。 （其中α,β为任意角）〖探究2〗 cos（α+β）公式的结构形式的一般推导（请同学们指出右图中的各组相等的长度、角度关系。）(公式提示 :
)即任意角
成立吗？两角差的余弦公式两角和的余弦公式？1、公式中两边的符号正好相反2、式子右边同名三角函数相乘再加减，
且余弦在前正弦在后。结论：
两角和与差的余弦公式余余正正,符号反结构特点：适应范围：为任意角1501050750特殊角例1. ①利用公式
求cos150及cos1050的值。例1. ②利用公式 证明诱导公式800200非特殊角名称变化sincos(1)运用公式解题时，要记清公式的结构特
征，尤其是中间的符号．
(2)把非特殊角转化为特殊角的差或和．
(3)熟记特殊角的三角函数值，是解决本
章求值问题的必要基石．例2.变式训练（1）利用平方关系求值时，要注意根据
已知角的象限确定符号。
（2）利用公式求值时，要把所求的角分
解成已知的或可求的角，注意角的
拆、拼技巧。知识上：题型上：式子的逆用，变形用．
5、公式应用
例1 不查表，计算COS105°和 COS15° = COS45°COS60°-sin45°sin60°解:COS105°= COS（45°+60°） COS15°=COS（45°-30°)= COS45°COS30°+sin45°sin30°例2：求下列各式的值（1）cos80°cos35°+sin80°sin35°
(2) cos25°cos35°-sin25°sin35°
解：（1）原式=cos(80°-35°)=cos45°=（2）原式=cos(25°+35°)=cos60°=1/2变式：sin25°sin35°- cos25°cos35°=？
〖理论升华〗1.判断题
（1）对任意角α,β，一定有cos(α＋β) cosβ＋sin(α＋β)sinβ= cosα 成立； （ ）
（2） 的化简结果为0 （ ）×√+提示：课堂练习1、cos 27°cos 57°－sin 27°cos 147°
2、cos2150 - sin2150