第七章锐角三角函数整章学案

第七章 锐角三角函数（1）
正切函数
学习目标
1．认识锐角的正切的概念。
2．会求一个锐角的正切值。
3．经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。
教学重点：锐角的正切的概念
教学难点：锐角的正切的概念，感受数形结合的数学思想方法
知识要点
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作
典例剖析
例1 如图（1），∠A=30°，∠C=90°，根据三角函数定义求出30°、45°、60°的正切值．
（1） （2）
（3）

例2. 如图，∠A=15°，∠C=90°，求出15°正切值．
例3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若BD：AD=1：4，试求tan∠BCD的值。
例4、如图，△ABC中，AE⊥BC于E，D是AC边上的一点，DH⊥BC于H，BD交AE于F。已知DH：BD=3：4，求∠BFE的正切值．
分析 求tan∠BFE，在△BFE任何一边长都不知的情况下，很是困难。而题设DH：BD=3：4，在Rt△BDH中，求∠BDH的正切值却轻而易举。而不难知道∠BFE=∠BDH．
随堂演练
1.设Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件求∠A、∠B的正切值：
(1)a=3,b=4； (2)a=6 ,c=10.

2、（1）如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，，则的＝ ．
（2）在直角三角形ABC中，∠A=90°，b=9, a=12,则tanB= .
3．在，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正切值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变
4. 在Rt△ABC中∠A=75°，∠C=90°，求出75°正切值．
5.若tan（α＋10°）=1，求α的值。
6．如图，已知在Rt△ABC中，斜边的中线AD=6，AC=4，求∠BAD的正切值。
7．已知平行四边形ABCD中，AB=BD=CD，且DB⊥AB，求tan∠CAB、tan∠DAC的值.
8．Rt△ABC中，∠C=90°，若，则tanA= tanB= .
9．等腰三角形的底边为10cm，周长为36cm，则其底角的正切值是 。
10．如图，已知矩形ABCD的两边AB与BC的比为4：5，E是AB上的一点，沿CE将△EBC向上翻折，若B点恰好落在边AD上的F点，则tan∠DCF= 。
11.如果方程的两个根分别是Rt△ABC(∠C=90°)的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为＿＿＿＿＿＿＿．
12直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使得B点与D点重合，则∠BCE的正切值为 ．

13. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，D为AC上一点，
且△BCD与△BDA的面积之比为1：3，试求∠CDB的正切值。
14．已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=,AC上有一点E，满足AE:CE=2:3，
求tan∠ADE的值。
正切函数练习题
1.如图，已知一商场自动扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a-b＝2，tanA=,求a,b,c.
3. 如图，∠A=22.5°，∠C=90°，求出22.5°正切值．
4.如图，位于的方格纸中，则＝　　　.
5.如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N 两点关于对角线AC对称，若DM=1，则tan∠ADN= ．
6. 设Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，a=6 ,c=8.求∠A、∠B的正切值.
7.如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC：AD=13：12，试求tan∠BCD的值。
8.在正方形ABCD中，M为AD的中点，E在AB上，BE=3AE，求tan∠ECM的值.
9.已知直角三角形的直角边之差为1cm，斜边为2cm，求最小角的正切值。
10.Rt△ABC中，∠C=90°，若2AC=3BC，则tanA= tanB=
(留下草图和草稿)
11.如图，在梯形中，，，点在上， ，,.求：的长及tan∠BCE的值．
12.已知：在△ABC中AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．
（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝MD；
（2）如图2，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为： 。
（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝，
求tan∠BCP的值．
第七章 锐角三角函数（2）
正弦余弦(1)
学习目标
1.认识锐角的正弦、余弦的概念。
2.会求一个锐角的正弦、余弦值。
3.经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。
教学重点：锐角的正弦、余弦的概念
教学难点：锐角的正弦、余弦的概念，感受数形结合的数学思想方法
典型例题
例1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、，且，，，下面四个式中错误的有( )
①sin；②cos；③tan；④sin
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是、、，：=2：3，求sinA与sinB的值。
例3、如图，在Rt△ABC中 ，∠ACB=90°，BC=6，CD⊥AB于D，AC=8。试求：
⑴sinA的值；⑵cos∠ACD的值；⑶CD的长。
随堂演练：
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则sinA= 。
2.如图，P是∠的边OA上一点，且P点坐标为（3,4），则sin= ，cos＝ .
3．如图△ABC中，∠C=90°，sinA=，则BC：AC=( )
A．3：4 B．4：3 C．3：5 D．4：5
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则cosB=( )
A． B． C． D．
5.一辆汽车沿倾斜角为的斜坡前进500米，则它上升的最大高度是( )
A．500sin B． C．500cos D．
6.已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB＝，则AC＝ ．
7.如图，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则 ．

8.在△ABC中，AB=5，∠ABC=90°，AC=8，则sinA=__________．
9．已知△ABC中，∠C=Rt∠，AC=m，∠BAC=。
求△ABC的面积。(用的三角函数及m表示)
10.如图，在△ABC中，∠B=45°，cos∠C=，AC=5a，求△ABC的面积（用含ａ的式子表示）．
11．“礼士中学”有一块三角形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A=30°，AC=40m，BC=25m。请你求出这块花圃的面积。
12．已知sinα=,求cosα、tanα的值。
13.在Rt△ABC中，∠C=，AB=26，sinB=，D上BC上一点，BD=AC，求出tan∠DAC的值。
14.如图，已知与是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点在同一条直线上，且点与点重合，将图（1）中的绕点顺时针方向旋转到图（2）的位置，点在边上，交于点，求线段FG长。（保留根号）．
15.如图，等边三角形中，、分别为、边上的点，，与交于点，于点， 求的值．

延伸与拓展
16、如图，在梯形中，，，点在上， ，,.
求：的长及的值．
第七章 锐角三角函数（3）
正弦余弦(2)
学习目标：
1.认识锐角的正弦、余弦的概念。
2.会求一个锐角的正弦、余弦值。
3.经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。
教学重点：利用正弦余弦的有关概念解决问题。
教学难点：利用正弦余弦的有关概念解决问题。
典型例题
例1．如图，BC⊥AD于C，DF⊥AB于F，S△AFD:S△EFB=9，∠BAE=，求sin+cos的值；
分析 由已知易证Rt△AFD∽Rt△EFB，再根据S△AFD：S△EFB=9，可得AF：EF=3，AF=3EF；由勾股定理可求出AE=EF，从而容易求得sin，cos的值。

例2、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥AB，AD=CD ，BC=10，则AB的值是（ ）
A．9 B．8
C．6 D．3
例3、 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=1，cosB=，求这个菱形面积。
例4、已知如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝8，∠B＝60°，连接AC．
（1）求cos∠ACB的值
（2）若E、F分别是AB、DC的中点，连接EF，求线段EF的长。
随堂演练
1．△ABC中，∠C=90°，若tanA，则sinA= 。
2．△ABC中，∠C=90°，AC=AB，则sinA= ，tanB= 。
3．如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为，高度BC为 米(结果用含的三角函数表示)。
4．△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=3，则下列结论正确的是( )。
A． B． C． D．

5.如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝，那么AB等于（ ）
(A) m·sin米 (B) m·tan米
(C) m·cos米 (D) 米

6．在，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值 （ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍
C．扩大4倍 D．不变
7．因为cos30°=，cos210°=﹣ ，所以cos210°=cos（180°+30°）＝﹣cos30°＝﹣  ，因为cos45°=  ，cos225°＝﹣ ，所以cos225°＝cos（180°+45°）＝﹣ ，猜想：一般地，当α为锐角时，有cos（180°+α）＝﹣cosα，由此可知cos240°的值等于 .
8. 如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AC上 一点，∠BDC=45°，DC=6，
求AB的长．

9．已知△中，，3cosB=2，AC=，则AB= ．
10．如图，将边长为的等边折叠，折痕为，点与点重合，和分别交于点、，，垂足为,.设的面积为，则重叠部分的面积为 .(用含的式子表示)

11．如图，已知△的面积为3，且AB=AC，现将△沿CA方向平移CA长度得到△．
（1）求四边形CEFB的面积；（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
（3）若，求AC的长．
12．已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10， BD=8．
（1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积 ；
（2）若AC与BD的夹角∠AOD=，求四边形ABCD的面积；
（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=
AC=，BD=，试求四边形ABCD的面积（用含，，的代数式表示）．
7.3特殊角的锐角三角函数
教学目的
1.知道30°45°60°等特殊角的三角函数值，并会求简单的含有特殊角的三角函数表达式的值。
2.会根据特殊角的正弦、余弦值知道该锐角的大小。
3.经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。
教学重点：利用的三角函数有关概念解决问题。
教学难点：利用三角函数的有关概念解决问题。感受数形结合的数学思想方法
知识准备:
三角函数
锐角α
正弦sinα
余弦cosα
正切tanα
300
?
?
450
?
600
?
认真观察一下特殊角三角函数值表格,你能发现什么规律？
若∠A=41°，则cosA的取值在什么范围内?
若sinα=,则锐角α=________.若2cosα=1,则锐角α=_________.
若sinα=,则锐角α=_________.若tanA=,则∠A =_________.
典型例题;
计算:
sin2300+cos300-tan450-cos450
练习
例2: 已知∠A为锐角，cosA= ，你能求出sinA和tanA吗?
例3:如图，在△ABC中，已知BC=1+ ，∠B=60°，∠C=45°，求AB的长.
A
B C
例4:如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，已知∠BAC=60o，∠DAE=45o，点D到地面的垂直距离DE=m，求点B到地面垂直距离BC。
分析 梯子在移动过程中，长度没有发生变化，
即AB=AD，可先解Rt△ADE，求得AD，再解Rt△ABC，求得BC。
练习2:
随堂演练
1．sin30o的值等于 .
2．计算5sin30o+2cos245o-tan260o的值是( )
A． B． C． D．1
3．下列计算错误的是( )
A． B．
C． D．
4．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30o的斜坡铺设管道，若量得水管AB的长度为80m，那么点B离水平面的高度BC的长为 m。
5．如图在倾斜角为30o的楼梯的表面铺地毯，地毯的长度至少需要 m (精确到0.1m)。
6．把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形A'B'C'D'的位置，它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC=，则正方形移动的距离AA'是 。
7．计算
(1) (2)
(3)
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，D为BC上一点，∠DAC=30o，BD=2，AB=，求AC的长。
9.把两块相同的含30o角的三角尺ABC和BDE如图所示放置，若AD=，求三角尺各边的长。
10.已知：如图，在Rt△中，，．点为边上一点，且，．求△周长．（结果保留根号）

特殊锐角的三角函数
1．根据30°、45°、60°角的三角函数值填空：当锐角α变大时，sinα的值变_____，cosα的值变_______，tanα的值变_______.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°,若sinA=,则BC∶AC∶AB等于（ ）
A.1∶2∶5 B.1∶∶ C. 1∶∶ 2 D.1∶2∶
3.在△ABC中，若tanA=1，sinB=，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形
4．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则a：b：c=_______．
5．化简：（1）│tan60°－2│=_______; （2）=______．
6．sin60°=cos_____=______； cos60°=sin________=________．
7．在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）若sinA=，则∠A=______，tanA=______；
（2）若tanA=，则∠A=_______，cosA=_________．
8．计算：cos245°+tan60°·cos30°
9．在△ABC中，若∠A，∠B满足│sinA－│+（cosB－）2=0，则△ABC是（ ）
A．等腰非等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
10．求下列各式的值：
（1）2sin30°－3cos60°+tan45°；
（2）3tan30°－2tan45°+2cos30°；
（3）2cos30°+5tan60°－2sin30°；
（4）；

11．已知2+是方程x2－5xsinα+1=0的一个根，α为锐角，求tanα的值．
12.已知：如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,BC=2,BD=.分别求出△ABC、△ACD、△BCD中各锐角.

13．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的值．
14．已知tan2α－（1+）tanα+=0，求锐角α的度数．
15．已知锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．
（1）试说明：S△ABC=absinC；
（2）若a=30cm，b=36cm，∠C=30°，求△ABC的面积．