2021-2022学年鲁教版八年级数学下册第6章特殊平行四边形单元测试题（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《第6章特殊平行四边形》单元综合测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（　　）
A．20cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．100cm2
2．如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ACDB是菱形的依据是（　　）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线平分一组对角的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形
3．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
4．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（　　）
A．4 B． C．6 D．
5．如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE＝DF，则四边形AECF是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
6．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（　　）
A．66° B．60° C．57° D．48°
7．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（　　）
A．△AFD≌△DCE B．BE＝AD﹣DF C．AB＝AF D．AF＝AD
8．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）
A． B． C．5 D．4
9．数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得∠D＝60°，对角线AC长为16cm，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为（　　）
A．8cm B．4cm C．16cm D．16cm
10．如图，矩形OABC的顶点O与原点重合，点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为（﹣5，4），点D为边BC上一动点，连接OD，若线段OD绕点D顺时针旋转90°后，点O恰好落在AB边上的点E处，则点E的坐标为（　　）
A．（﹣5，3） B．（﹣5，4） C．（﹣5，） D．（﹣5，2）
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 　 　°．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB边上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，连接EF，则线段EF的最小值等于 　 　．
13．已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　 　．
14．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　．
15．如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥BC，垂足为E．若AC＝8，BD＝6，则DE的长为　 　．
16．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，则AC的长是　 　．
17．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为点E．若OE＝1，BD＝2．则CE＝　 　．
18．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为 　 　．
三．解答题（共5小题，满分40分）
19．如图，△ABC中，点D是边AC的中点，过D作直线PQ∥BC，∠BCA的平分线交直线PQ于点E，点G是△ABC的边BC延长线上的点，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．求证：四边形AECF是矩形．
20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求菱形BNDM的周长．
21．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．
22．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝2，BF＝2，CE＝1，求 ABCD的面积．
23．如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G．
（1）求证：四边形OGCF是正方形．
（2）若∠BAC＝60°，AC＝4，求正方形OGCF的边长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：∵菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，
∴这个菱形的面积＝×6×8＝24（cm2），
故选：B．
2．解：由作图得：BA＝BD，CA＝CD，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝BD＝CD，
∴四边形ACDB是菱形，
故选：D．
3．解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形也可能是等腰梯形等四边形，故A不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线再相等，则四边形是矩形，故B符合题意；
C、对角线互相垂直的四边形不能判定是平行四边形，也就不能判定是菱形，故C不符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不能判断它的内角有直角，故D不符合题意；
故选：B．
4．解：连接BP，如图，
∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，
∴BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，
∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，
∴×5×PE+×5×PF＝12，
∴PE+PF＝，
故选：B．
5．解：A．∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
故本选项符合题意；
B．∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AC≠EF，
∴四边形AECF不是矩形，
故本选项不符合题意；
C．∵四边形ABCD是矩形，
∴不能证明AC⊥BD，
∴不能证明AC⊥EF，
故本选项不符合题意；
D．∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AC≠EF，
∴四边形AECF不是正方形，
故本选项不符合题意；
故选：A．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，
∴∠A'BE＝∠ABE＝（90°﹣∠DBC）＝（90°﹣24°）＝33°，
∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°．
故选：C．
7．解：A、由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C＝∠AFD＝90°，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DEC．
又∵DE＝AD，
∴△AFD≌△DCE（AAS），故A正确；
B、由△AFD≌△DCE，可得CE＝DF，
由矩形ABCD，可得BC＝AD，
又∵BE＝BC﹣EC，
∴BE＝AD﹣DF，故B正确；
C、由△AFD≌△DCE，可得AF＝CD，
由矩形ABCD，可得AB＝CD，
∴AB＝AF，故C正确；
D、∵∠ADF不一定等于30°，
∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故D错误；
故选：D．
8．解：设AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝，
∴，
∴DH＝，
故选：A．
9．解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，
∵∠D＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AD＝DC＝AC＝16cm，
∴正方形ABCD的边长为16cm，
故选：C．
10．解：由题可得，AO＝BC＝5，AB＝CO＝4，
由旋转可得，DE＝OD，∠EDO＝90°，
又∵∠B＝∠OCD＝90°，
∴∠EDB+∠CDO＝90°＝∠COD+∠CDO，
∴∠EDB＝∠DOC，
∴△DBE≌△OCD（AAS），
∴BD＝OC＝4，
设AE＝x，则BE＝4﹣x＝CD，
∵BD+CD＝5，
∴4+4﹣x＝5，
解得x＝3，
∴AE＝3，
∴E（﹣5，3），
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠2+∠BCP＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCP＝45°，
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，
∴∠BPC＝135°，
故答案为：135．
12．解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
∵S△ABC＝BC AC＝AB CD，
∴×8×6＝×10×CD，
解得CD＝4.8，
∴EF＝4.8．
故答案为：4.8．
13．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
∵，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝4、CF＝CD﹣DF＝4﹣1＝3，
∴BF＝＝5，
∴GH＝BF＝，
故答案为：．
14．解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，
∴AB＝5，
∴AD＝5，
∴由勾股定理知：OD＝＝＝4，
∴点C的坐标是：（﹣5，4）．
故答案为：（﹣5，4）．
15．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，OD＝3，由勾股定理得：AD＝5，
∴BC＝5，
∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×DE，
∴×6×8＝5×DE，
解得：DE＝，
故答案为：．
16．解：连接BD，如图所示：
∵E、F分别是AB，AD的中点，且EF＝2，
∴EF是△ABD的中位线，
∴BD＝2EF＝2×2＝4，
∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，
∴AC＝BD＝4．
故答案为：4
17．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，OA＝OC＝OD＝OB＝BD＝，
∵OE＝1，CE⊥BD，
∴由勾股定理可知：CE＝1，
故答案为：1．
18．解：∵△DCE是直角三角形，
∴△PBC为直角三角形，
∴点P只能在AB上或者CD上，
当点P在AB上时，有BP＝CE，
∴BP＝CE＝1，
∴AP＝2，
∴t＝2÷1＝2，
当点P在CD上时，有CP＝CE＝1，
∴t＝（3+3+1）÷1＝7，
故答案为：2或7．
三．解答题（共5小题，满分40分）
19．证明：∵PQ∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，∠DFC＝∠GCF，
∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACG，
∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF，
∴∠DEC＝∠DCE，∠DFC＝∠DCF，
∴DE＝DC，DF＝DC，
∴DE＝DF，
∵点D是边AC的中点，
∴AD＝CD，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BCA+∠ACG＝180°，
∴∠ECF＝∠DCE+∠DCF＝×180°＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
20．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形BNDM是菱形，
∴BM＝BN＝DM＝DN，
设BN＝DN＝x，则CN＝BC﹣BN＝16﹣x，
在Rt△CDN中，由勾股定理得：CD2+CN2＝DN2，
即82+（16﹣x）2＝x2，
解得：x＝10，
即BN＝10，
∴菱形BNDM的周长＝4BN＝40．
21．解：（1）∵四边形EFGH是矩形，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，
∴∠BFG＝∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG＝DE；
（2）连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE＝ED，
∵BG＝DE，
∴AE＝BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB＝EG，
∵EG＝FH＝2，
∴AB＝2，
∴菱形ABCD的周长＝8．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF．
∴四边形ABEF是菱形．
（2）解：作FG⊥BC于G，
∵四边形ABEF是菱形，若AE＝2，BF＝2，
∴AE⊥BF，OE＝AE＝1，OB＝BF＝，
∴BE＝＝2，
∵S菱形ABEF＝ AE BF＝BE FG，
∴GF＝，
∴S平行四边形ABCD＝BC FG＝（BE+EC） GF＝（2+1）×＝3．
23．（1）证明：过O作OH⊥AB于H点，
∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，
∴∠OGC＝∠OFC＝90°．
∵∠C＝90°，
∴四边形OGCF是矩形．
∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，OF⊥AC，OG⊥BC，
∴OG＝OH＝OF，
又四边形OGCF是矩形，
∴四边形OGCF是正方形；
（2）解：在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴AC＝AB，
∵AC＝4，
∴AB＝2AC＝2×4＝8，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴BC＝＝4，
在Rt△AOH和Rt△AOF中，
，
∴Rt△AOH≌Rt△AOF（HL），
∴AH＝AF，
设正方形OGCF的边长为x，
则AH＝AF＝4﹣x，BH＝BG＝4﹣x，
∴4﹣x+4﹣x＝8，
∴x＝2﹣2，
即正方形OGCF的边长为2﹣2．