2021-2022学年人教版数学七年级下册8.3实际问题与二元一次方程组（Word版含答案）

8. 3 实际问题与二元一次方程组
一、选择题（共10小题）
1．我国古代数学作《九章算术》有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十。今并买顷，价钱一万，问善田恶田各几何？”其意思是“好田300钱一亩，坏田50一亩，合买好田、坏田100亩，共需10000钱，问好田、坏田各买了多少亩？”若设好田买了x亩，坏田买了y亩。则列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
2．小明打算购买气球装扮“毕业典礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束(4个气球)为单位，已知第一、二束气球的价格如图，则第三束气球的价格为（　　）
A．16 B．15 C．14 D．13
3．甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（　　）
A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁
C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁
4．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x﹣y=(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
5．一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min，甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程 ，则另一个方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．一种饮料有大小盒两种包装，4大盒5小盒共98瓶，2大盒3小盒共54瓶，若设大盒装 瓶，小盒装 瓶，则下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．一个两位数,个位上的数字与十位上的数字之和为7,如果这个两位数加上45则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的新两位数，则原来的两位数是（ ）
A．61 B．16 C．52 D．25
8．一辆汽车在公路上匀速行驶，司机在路边看到一个里程碑上的一个两位数，行驶1小时后，他看到的里程碑上的数恰好是第一个里程碑上的数颠倒顺序后的两位数；再过1小时，他看到的里程碑上的数，又恰好是第一次看到的两位数中间添上一个零得到的三位数.那么他第一次看到的两位数是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
9．如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图图案，已知A（﹣2，6），则点B的坐标为（　　）
A．（﹣6，4） B．（，） C．（﹣6，5） D．（，4）
10．（我国古代问题）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．若设1一个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（共5小题）
11．一支部队第一天行军4小时，第二天行军5小时，两天共行军196千米，如果设第一天每小时行军x千米，第二天每小时行军y千米，依题意，可列方程为　 　．
12．把一根长9m的钢管截成2m长和1m长两种规格的钢管，要求不造成浪费，则不同的截法有　 　种.
13．运输两批救援物资：第一批220吨，用4节火车皮和5辆货车正好装完；第二批158吨，用3节火车皮和2辆货车正好装完．如果每节火车皮的运载量相同，每辆货车的运载量相同，那么一节火车皮和一辆货车共装救援物资　 　吨．
14．今年年初，受新冠肺炎疫情的影响，人们对病毒的防范意识加强，市面上的洗手液也备受欢迎，小王计划购进A型、B型、C型三种洗手液共50箱，其中B型洗手液数量不超过A型洗手液数量，且B型洗手液数量不少于C型洗手液数量的一半．已知A型洗手液每箱60元，B型洗手液每箱80元，C型洗手液每箱100元．在价格不变的条件下，小王实际购进A型洗手液是计划的倍，C型洗手液购进了12箱，结果小王实际购进三种洗手液共35箱，且比原计划少支付1240元，则小王实际购进B型洗手液　 　箱．
15．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为　 　．
三、解答题（共5小题）
16．《算法统宗》中记载了一个问题，大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．问大、小和尚各有多少人？
17．某商店准备用两种价格分别为36元/kg和20元/kg的糖果混合成杂拌糖果出售，混合后糖果的价格是28元/kg．现在要配制这种杂拌糖果100kg，需要两种糖果各多少千克？
18．列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”
题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？
19．已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车和B型车，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）如果租用A型车a辆，B型车b辆，请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
20．东方市在铁路礼堂举办大型扶贫消费市场，张老师购买5斤芒果和2斤哈密瓜共花费64元；李老师购买3斤芒果和1斤哈密瓜共花费36元．求一斤芒果和一斤哈密瓜的售价各是多少元？
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．【答案】B
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意可得： .
故答案为：B.
【分析】根据好田亩数+坏田亩数=100，300×好田亩数+50×坏田亩数=10000即可列方程组.
2．【答案】C
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】设一个笑脸气球x元，一个爱心气球y元，则
解得
所以2x+2y=14
所以第三束气球是14元；
故答案为：C
【分析】设一个笑脸气球x元，一个爱心气球y元，则 ，解方程组，求出2x+2y即可．
3．甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（　　）
A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁
C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁
【解答】解：设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁．
由题意知，即
由①+②得 3×（x﹣y）＝25﹣10，即x﹣y＝5
故选：A．
4．【答案】C
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：依题意得： ，
解得： ，
∴x﹣y=8﹣2=6．
故答案为：C．
【分析】由图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（x-y）中即可求出结论．
5．【答案】B
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：依题可得：
.
故答案为：B.
【分析】由题中给出的方程可知x表示上坡路程，y表示平路路程；当从乙地到达甲地时，x表示下坡路程，y依然表示平路路程，根据时间=路程÷速度列出方程即可.
6．【答案】C
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】设大盒装 瓶，小盒装 瓶，由题意可得， .
故答案为：C.
【分析】设大盒装 瓶，小盒装 瓶，根据4大盒5小盒共98瓶，2大盒3小盒共54瓶列出方程组即可.
7．B
设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为7 x，
由题意列方程得,10x+7 x+45=10(7 x)+x，
解得x=1，
则7 x=7 1=6，故这个两位数为16.
故选B.
8．C
设他第一次看到的两位数的个位数字为x，十位数字为y，汽车的行驶速度为v，
根据题意得
解得.
因为x，y为1~9内的自然数，
所以，，所以他第一次看到的两位数为16.
故选C.
9．如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图图案，已知A（﹣2，6），则点B的坐标为（　　）
A．（﹣6，4） B．（，） C．（﹣6，5） D．（，4）
【解答】解：设长方形纸片的长为x，宽为y，
根据题意得：，
解得：，
∴﹣2x＝﹣，x+y＝，
∴点B的坐标为（﹣，）．
故选：B．
10．（我国古代问题）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．若设1一个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，
根据题意得：，
故选：B．
二、填空题（共5小题）
11．一支部队第一天行军4小时，第二天行军5小时，两天共行军196千米，如果设第一天每小时行军x千米，第二天每小时行军y千米，依题意，可列方程为　4x+5y＝196　．
【解答】解：依题意，得：4x+5y＝196．
故答案为：4x+5y＝196．
12．【答案】4
【考点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设截成2m的钢管x个，截成1m的钢管y个，
则2x+y=9，
当x=1时，y=7；
当x=2时，y=5；
当x=3时，y=3；
当x=4时，y=1，
当x=5时，y=-1(舍去)
所以这样的钢管有4种不同的截法.
故答案为：4.
【分析】首先根据题意设出截成2m的有x个，截成1m的有y个，列出二元一次方程，再求出该二元一次方程的正整数解即可.
13．【答案】54
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设一节火车皮装救援物资x吨，一辆货车装救援物资y吨，由题意得：
，
解得： ，
则一节火车皮和一辆货车共装救援物资：50+4＝54（吨），
故答案为：54．
【分析】设一节火车皮装救援物资x吨，一辆货车装救援物资y吨，由题意得等量关系：4节火车皮运载量+5辆货车运载量＝220吨，3节火车皮运载量+2辆货车运载量＝158吨，根据等量关系列出方程组，再解即可．
14．今年年初，受新冠肺炎疫情的影响，人们对病毒的防范意识加强，市面上的洗手液也备受欢迎，小王计划购进A型、B型、C型三种洗手液共50箱，其中B型洗手液数量不超过A型洗手液数量，且B型洗手液数量不少于C型洗手液数量的一半．已知A型洗手液每箱60元，B型洗手液每箱80元，C型洗手液每箱100元．在价格不变的条件下，小王实际购进A型洗手液是计划的倍，C型洗手液购进了12箱，结果小王实际购进三种洗手液共35箱，且比原计划少支付1240元，则小王实际购进B型洗手液　8　箱．
【解答】解：设小王计划购进A型洗手液x箱，B型洗手液y箱，则计划购进C型洗手液（50﹣x﹣y）箱，实际购进A型洗手液x箱，B型洗手液（35﹣12﹣x）箱，
依题意，得：60x+80y+100（50﹣x﹣y）﹣[60 x+80（35﹣12﹣x）+100×12]＝1240，
整理，得：7x+6y＝216，
∴y＝36﹣x．
∵x，y均为正整数，
∴x为6的倍数，
∴，，，，．
又∵y≤x，y≥（50﹣x﹣y），
∴，
∴35﹣12﹣x＝8．
故答案为：8．
15．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为　　．
【解答】解：根据题意得：；
故答案为：．
三、解答题（共5小题）
16．
解：设大和尚有人，小和尚有人，
由题意得：，
解得，
答：大和尚有25人，小和尚有75人．
17．
解：设36元的糖果有千克，20元的糖果有千克，
由题意，得
，
解得：，．
答：要36元的糖果有50千克，20元的糖果50千克．
18．
解：设甲带钱x，乙带钱y，根据题意，
得，
①×2得：③，
③-②得：，
把代入③得，
∴．
19．已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车和B型车，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）如果租用A型车a辆，B型车b辆，请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【解答】解：（1）1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，
依题意，得：，
解得：．
答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨．
（2）依题意，得：3a+4b＝31，
∴a＝．
又∵a，b均为正整数，
∴或或，
∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用A型车1辆，B型车7辆；方案2：租用A型车5辆，B型车4辆；方案3：租用A型车9辆，B型车1辆．
（3）租车方案1所需费用100×1+120×7＝940（元）；
租车方案2所需费用100×5+120×4＝980（元）；
租车方案3所需费用100×9+120×1＝1020（元）．
∵940＜980＜1020，
∴方案1：租用A型车1辆，B型车7辆最省钱，最少租车费为940元．
20．东方市在铁路礼堂举办大型扶贫消费市场，张老师购买5斤芒果和2斤哈密瓜共花费64元；李老师购买3斤芒果和1斤哈密瓜共花费36元．求一斤芒果和一斤哈密瓜的售价各是多少元？
【解答】解：设一斤芒果x元，一斤哈密瓜y元，根据题意得
，
解得，
答：一斤芒果8元，一斤哈密瓜12元．