人教A版（2019）必修第二册导学案——第六章课时练习07平面向量基本定理（Word含答案解析）

人教A版（2019） 必修第二册 实战演练 第六章 课时练习07平面向量基本定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．设是不共线的两个向量，则下列四组向量不能构成基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
3．已知，，，用，表示，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，， ，若，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，在中，，，，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知中，P为线段上的点，且，则的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．1
7．设是平行四边形两对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（ ）
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
8．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且，则向量＝（ ）
A． B．
C． D．
9．设为所在平面内一点，，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．λ+μ (λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量，使=λ+μ的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1+μ1与λ2+μ2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2)
D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0
12．已知是的重心，为的中点，下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知中，D、E分别为AB、AC的中点，，，则xy的最大值为________.
14．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
四、双空题
15．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若为实数)，则=_______，=________．
五、解答题
16．如图，已知在中，是的中点，是线段的靠近点的三等分点，和交于点，设．
（1）用和表示向量．
（2）若，求实数的值．
17．如图，平行四边形ABCD中，已知，，设，，
（1）用向量和表示向量，；
（2）若，，求实数x和y的值.
18．如图所示，在中，已知，，，为边上的高.
（1）求；
（2）设，其中，，求，的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
不共线的向量能作为基底，逐一判断选项即可.
【详解】
不共线的向量能作为基底，
因为，所以向量，共线，故排除A；
假设，解得，无解，
所以向量，不共线，故B正确；
因为，所以，共线，故排除C；
因为，所以，共线，故排除D，
故选：B
2．C
【解析】
【分析】
在同一平面内,只要两个向量不共线，就可以作为这个平面的一组基底，逐项判断即可.
【详解】
对于A选项：设，是不共线的两个向量，,无解,与不共线，与可以构成一组基底；
对于B选项：设，是不共线的两个向量，,无解，与不共线，与可以构成一组基底；
对于C选项：设，是不共线的两个向量，，，与共线，与不能构成一组基底；
对于D选项：设，是不共线的两个向量，,无解, 与不共线，与可以构成一组基底；
故选：C
3．D
【解析】
【分析】
结合平面图形的几何性质以及平面向量的线性运算即可求出结果.
【详解】
因为，
所以，
又因为，，
所以，
故选：D.
4．B
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】
因为，所以，所以，
又因为，所以，所以,
可得，所以,
即，即.
故选：B.
5．D
【解析】
【分析】
利用平面向量的加法、数乘运算以及平面向量的基本定理即可求解.
【详解】
因为在中，，,，
为边上的高，所以在中，，
又，
，
为的中点，
，
，
，
故选：D.
6．A
【解析】
【分析】
根据三点共线的关系得出，利用均值不等式即可求出结果.
【详解】
设，
所以，
又因为，所以，即，
所以，当且仅当，即时，等号成立，因此，故的最大值为3.
故选：A.
7．B
【解析】
根据基底为一组不共线的向量可得出结论.
【详解】
如下图所示：
①与不共线；②，则与共线；③与不共线；④，则与共线．
由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．
故选：B.
【点睛】
本题考查基底的辨别，考查基底概念的理解，属于基础题.
8．C
【解析】
【分析】
根据向量的加法和减法运算，线性表示向量，可得选项.
【详解】
如图，∵，
∴＝＋＝＋＝＋ (－)＝＋.
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的线性表示，属于基础题.
9．A
【解析】
【分析】
画出图形，由平面向量的线性运算法则结合图形即可得解.
【详解】
由题意画出图形，如图，
因为，为的中点，
所以，,
所以
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了平面向量线性运算法则的应用及用基底表示向量，考查了运算求解能力，属于基础题.
10．C
【解析】
【分析】
根据向量的基本定理结合向量加法的三角形法则分别进行分解即可．
【详解】
解：由图可得
，
所以，，
则，
故选：．
【点睛】
本题主要考查平面向量基本定理的应用，根据向量的和差运算将向量进行分解是解决本题的关键，属于中档题．
11．BC
【解析】
根据平面向量基本定理可以判定ABD，取向量λ+μ与λ2+μ2均为零向量或者λ2+μ2为零向量的特殊情况，可以判定C.
【详解】
由平面向量基本定理可知，A，D是正确的.
对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.
对于C，当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，或当λ1+μ1为非零向量，而λ2+μ2为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在.
故选:BC.
【点睛】
本题考查平面向量基本定理，属基础题，要准确全面掌握平面向量的基本定理的内容和意义.判定C时要注意考虑问题要周密.
12．ABD
【解析】
【分析】
作出示意图，由点是的重心，为的中点，得到是的中点，结合向量的线性运算法则和三角形重心的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
如图所示，因为点是的重心，为的中点，可得是的中点，
由，所以A正确；
由为的中点，根据向量的平行四边形法则，可得，
又由是的重心，根据重心的性质，可得，所以，
即，所以B正确；
根据三角形重心的性质，可得，所以C不正确；
由重心的性质，可得，
所以D正确.
故选：ABD.
13．
【解析】
【分析】
首先根据平面向量的线性运算表示出，再根据向量相等得到，最后利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：因为D、E分别为AB、AC的中点，，
所以
又，所以，由
所以，当且仅当时取等号；
故答案为：
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.
14．.
【解析】
【分析】
由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.
【详解】
如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得即故.
【点睛】
本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.
15．
【解析】
由已知可得，转化为以为起点，用基底表示，，即可求解.
【详解】
如图，由题意知，D为AB的中点，，
，
，
.
故答案为:；.
【点睛】
本题考查向量的线性运算、向量基本定理，属于基础题.
16．（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据向量运算法则可得，即可表示；
（2）设，通过向量运算可化简得出，即可求出.
【详解】
（1），
，，
，
．
（2）设，
，
又，且不共线．
所以由平面向量基本定理知：，
.
【点睛】
关键点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是根据向量的运算法则将向量用规定的基底表示出来.
17．（1）；；（2）.
【解析】
【分析】
（1）用平面向量的线性运算整理可得：，，代入已知向量即可得到.（2）用平面向量的线性运算整理可得：，结合题干条件，可得到等式，解等式即可.
【详解】
解：（1）
（2）因为
.
即
因为与不共线，从而，解得
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，考查向量的基底表示，考查学生的运算能力、转换能力以及思维能力，属于中档题.
18．（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）用表示，然后代入中化简即可得答案；
（2）根据向量垂直和共线向量列出方程组可求出的值.
【详解】
解：（1）因为，，，，
所以
，
（2）因为,
所以，即，
所以,
，
所以，即，
因为三点共线，所以，
所以
【点睛】
此题考查平面向量的数量积运算，考查平面向量的加减法法则的应用，属于中档题
答案第1页，共2页
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