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4.2.1 提公因式法（1） 教案
课题 4.2.1 提公因式法（1） 单元 第4单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1、使学生经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式各项的公因式；2、通过观察、类比等手段，学会用提取公因式法进行因式分解。
重点 能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来．
难点 掌握用提公因式法把多项式分解因式。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题算式：37×102+37×93+37×105提出问题：有没有简便的运算？学生讨论分析，找出简便的方法并计算：共同的因数37 37×102+37×93+37×105=37×（102+93+105）=37×300=11100（棵）想一想： 如果m·a+m·b+m·c进行因式分解能用这种方法吗？ 分析：这个算式也有共同的因数m，所以可用此方法因式分解m·a+m·b+m·c=m (a+b+c)这种方法就是我们这节课要学习的内容-----提公因式法观察下列各式的结构有什么共同特点 ① ab+bc② 3x2+x③ mb2 + nb-b共同特征：各式中的每一项都含有一个相同的因数或因式多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。活动探究一：公因式有什么特点？正确找出多项式各项公因式的关键是什么呢？议一议：（1）多项式2x2+6x3 中各项的公因式是什么？（2）你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗？与同伴交流． 引导学生分析，找出公因式：两项都有系数，系数应是2，是2与6的最大公约数.两项都有含有相同的字母x，x的指数是2与3，应取字母的最低次幂.所以，多项式2x2+6x3 中各项的公因式是2x2活动探究二：你能尝试将多项式找 2x 2 + 6x3因式分解吗？解：2x 2+ 6x3 =2x2· 1+ 2x2·3x=2x2 (1 +3x)据此由学生自主完成第二问的问题：2x2+6x3=2x2(1+2x) 以上进行的因式分解，都是应用的提公因式法，你能总结提公因式法的定义吗？学生观察分析，归纳总结：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．这种因式分解的方法叫做提公因式法．引导学生总结出找公因式的一般步骤：首先：找各项系数的最大公约数，如2和6的最大公约数是2；其次：找各项中含有的相同的字母，相同字母的指数取次数最低的． 思考自议了解多项式公因式的意义；初步学会用提公因式法分解因式． 在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识．
讲授新课 提炼概念正确找出多项式各项公因式的关键是：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. 三、典例精讲1世例1、将下列各式分解因式：（1）3x+6； （2）7x2-21x；（3）8a3b2-12ab3c+abc； （4）-24x3-12x2+28x．分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来．学生自主完成，解题过程：解：（1）3x +x3=x 3+x x2 =x(3+x2)；（2）7x3-21x2=7x2 x-7x2 3=7x2(x-3) （3）8a3b2-12ab3c+ab =ab 8a2b-ab 12b2c+ab 1 =ab(8a2b-12b2c+1)； (4)- 24x3+12x2-28x =-(24x3-12x2+28x) =-(4x 6x2-4x 3x+4x 7)=-4x(6x2-3x+7) 根据以上的做题过程。引导学生归纳提公因式法因式分解时的注意事项：①多项式是几项，提公因式后也剩几项. ②当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.③当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数．在提出“-”号时，多项式的各项都要变号．21cnjy.com 能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来． 理解分解因式与整式乘法是互逆运算.
课堂检测 四、巩固训练 .1.多项式12ab3 c+8a3b的各项公因式是( )A. 4ab2 B. 4abc C. 2ab2 D. 4abD(2)2.将多项式-6a3 b2-3a2 b2+12a2 b3分解因式时，应提取的公因式是( )A. 2.将多项式-6a3 b2-3a2 b2+12a2 b3分解因式时，应提取的公因式是( )A. -3a2 b2 B. -3ab C. -3a2 b D. -3a3 b3A3、把下列多项式因式分解（1）－2n3－8n2＋6n（2）3a2-9ab+a解： -2n3-8n2+6n =-(2n3+8n2-6n） =-2n(n2＋4n－3)解：3a2-9ab+a =a(a-9b+1 )4.查找下列因式分解的病因和药方5.已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值.解：2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12.
课堂小结 提公因式法定义： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．这种因式分解的方法叫做提公因式法． 提公因式法步骤： 第一步:找出公因式；（数、单项式、多项式） 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
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北师大版 八年级下
4.2.1 提公因式法（1）
情境引入
算式：37×102+37×93+37×105
=37×（102+93+105）
=37×300=11100（棵）
共同的因数37
想一想： 如果m·a+m·b+m·c进行因式分解能用这种方法吗？
m·a+m·b+m·c= m (a+b+c)
观察下列各式的结构有什么共同特点
① ab+bc
② 3x2+x
③ mb2 + nb-b
共同特征：各式中的每一项都含有一个相同的因数或因式
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
新知讲解
2πR2＋2π 2)2x2 +6x3
3) a2 b – 2ab2 + ab 4) 4mn2-6mn+8m3n
（1）确定下列各多项式中的公因式？
（2）多项式中的公因式是如何确定的？
2π
2x2
ab
2mn
找 2 x 2 + 6 x3的公因式。
定系数
定字母
定指数
公因式是2x
活动探究一：公因式有什么特点？正确找出多项式各项公因式的关键是什么呢？
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公
约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即
字母最低次幂.
活动探究二：你能尝试将多项式找 2x 2 + 6x3因式分解吗？
2x 2+ 6x3
解：
=2x2· 1+ 2x2·3x
=
=2x2 (1 +3x)
提炼概念
提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
( a+b+c )
pa+ pb +pc
p
=
典例精讲
例1．因式分解：（1）3x＋x3 （2） 7x3-21x2
解： （1） 3x＋x3
＝x · 3+ x· x2
＝ x(3＋x2)
（2） 7x3-21x2
＝ 7x2 · x- 7x2 ·3
＝ 7x2（x-3）
总结：公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同的字母，各字母的指数取次数最低的。
观察：小付因式分解的有误吗？试说明理由，并给出正解。
总结：当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。
解：原式 =ab ·8a2b – ab ·12b2c+ ab
= ab(8a2b – 12b2c)
（3)分解因式：8a3b2 – 12ab3c+ab
正确解：原式 =ab ·8a2b – ab ·12b2c+ ab ·1
= ab(8a2b – 12b2c +1)
←不能漏掉
(4)因式分解：－24x3＋12x2－28x
解：－24x3＋12x2－28x
＝ －（ 24x3-12x2＋28x ）
＝ －（ 4x·6x2 -4x·3x＋4x·7 ）
＝ － 4x (6x2 －3x＋7)
总结：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数成为正数，在提出“-”时，多项式的各项都要变号。
归纳概念
提公因式法分解因式注意事项
★能正确找出多项式各项的公因式。
注意：
1.多项式是几项，提公因式后也剩几项。
2.当多项式的某一项和公因式相同时提公因式后剩余的项是1。
3.当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。
找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守。提负要变号，变形看奇偶。
课堂练习
1.多项式12ab3 c+8a3b的各项公因式是( )
A. 4ab2 B. 4abc C. 2ab2 D. 4ab
解： 12ab3 c+8a3b =4ab(3b2 c+2a2)，
4ab是公因式．
故选D．
2.将多项式-6a3 b2-3a2 b2+12a2 b3分解因式时，应提取的公因式是( )
A. -3a2 b2 B. -3ab C. -3a2 b D. -3a3 b3
解：系数最大公约数是-3，
相同字母的最低指数次幂是a2、b2，
应提取的公因式是-3a2 b2．
故选A．
（1）－2n3－8n2＋6n
（2）3a2-9ab+a
3、把下列多项式因式分解
解： -2n3-8n2+6n
=-(2n3+8n2-6n）
=-2n(n2＋4n－3)
解：3a2-9ab+a
=a(a-9b+1 )
课堂练习
目标检测1：
病因：___________________________
药方：___________________________
病因：__________________________
药方：__________________________
（2）
（1）
还有公因式没提取
漏掉一个因式“1”
（3）
提取系数为负的因式，没有变号
4.查找下列因式分解的病因和药方:
病因：__________________________
药方：__________________________
5.已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值.
解：2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12.
课堂总结
因式
分解
提公因式法（单项式）
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：
第一步找公因式；第二步提公因式
注意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
作业布置
教材课后配套作业题。
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4.2.1 提公因式法（1）学案
课题 4.2.1 提公因式法（1） 单元 第4单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1、使学生经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式各项的公因式；2、通过观察、类比等手段，学会用提取公因式法进行因式分解。
重点 能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来．
难点 掌握用提公因式法把多项式分解因式。
教学过程
导入新课 【引入思考】 算式：37×102+37×93+37×105提出问题：有没有简便的运算？学生讨论分析，找出简便的方法并计算：共同的因数37 37×102+37×93+37×105=37×（102+93+105）=37×300=11100（棵）想一想： 如果m·a+m·b+m·c进行因式分解能用这种方法吗？ 观察下列各式的结构有什么共同特点 ① ab+bc② 3x2+x③ mb2 + nb-b共同特征：各式中的每一项都含有一个相同的因数或因式多项式 叫做这个多项式各项的公因式。活动探究一：公因式有什么特点？正确找出多项式各项公因式的关键是什么呢？议一议：（1）多项式2x2+6x3 中各项的公因式是什么？（2）你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗？活动探究二：你能尝试将多项式找 2x 2 + 6x3因式分解吗？以上进行的因式分解，都是应用的提公因式法，你能总结提公因式法的定义吗？
新知讲解 提炼概念正确找出多项式各项公因式的关键是：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. 典例精讲 世例1、将下列各式分解因式：（1）3x+6； （2）7x2-21x；（3）8a3b2-12ab3c+abc； （4）-24x3-12x2+28x．
课堂练习 巩固训练 .1.多项式12ab3 c+8a3b的各项公因式是( )A. 4ab2 B. 4abc C. 2ab2 D. 4ab(2)2.将多项式-6a3 b2-3a2 b2+12a2 b3分解因式时，应提取的公因式是( )A. 2.将多项式-6a3 b2-3a2 b2+12a2 b3分解因式时，应提取的公因式是( )A. -3a2 b2 B. -3ab C. -3a2 b D. -3a3 b33、把下列多项式因式分解（1）－2n3－8n2＋6n（2）3a2-9ab+a4.查找下列因式分解的病因和药方 5.已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值.
答案引入思考分析：这个算式也有共同的因数m，所以可用此方法因式分解m·a+m·b+m·c=m (a+b+c)共同特征：各式中的每一项都含有一个相同的因数或因式多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。两项都有系数，系数应是2，是2与6的最大公约数.两项都有含有相同的字母x，x的指数是2与3，应取字母的最低次幂.所以，多项式2x2+6x3 中各项的公因式是2x2解：2x 2+ 6x3 =2x2· 1+ 2x2·3x=2x2 (1 +3x)如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．这种因式分解的方法叫做提公因式法．提炼概念典例精讲 世解：（1）3x +x3=x 3+x x2 =x(3+x2)；（2）7x3-21x2=7x2 x-7x2 3=7x2(x-3) （3）8a3b2-12ab3c+ab =ab 8a2b-ab 12b2c+ab 1 =ab(8a2b-12b2c+1)； (4)- 24x3+12x2-28x =-(24x3-12x2+28x) =-(4x 6x2-4x 3x+4x 7)=-4x(6x2-3x+7) 根据以上的做题过程。归纳提公因式法因式分解时的注意事项：①多项式是几项，提公因式后也剩几项. ②当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.③当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数．在提出“-”号时，多项式的各项都要变号．21cnjy.com巩固训练1.D2.A3.解： -2n3-8n2+6n =-(2n3+8n2-6n） =-2n(n2＋4n－3)解：3a2-9ab+a =a(a-9b+1 )4.5.解：2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12.
课堂小结 提公因式法定义： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．这种因式分解的方法叫做提公因式法． 提公因式法步骤： 第一步:找出公因式；（数、单项式、多项式） 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
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