海南省2021-2022学年高三下学期3月学业水平诊断（三）数学试题（扫描版含答案）

海南省 2021—2022学年高三学业水平诊断（三）
数学·参考答案及评分细则
一、单项选择题
1．A 2．C 3．D 4．D
5．B 6．B 7．C 8．D
二、多项选择题
9．BC 10．AD 11．ABD 12．BD
三、填空题
1
13．4 14．112 15． 16．2
2
四、解答题
17．解：（Ⅰ）S4 S1 D a2 C a3 C a4 D 3a3 D 3， （1分）
所以 a3 D 1． （2分）
所以 an D a3 C .n 3/d D 1 C 2.n 3/ D 2n 5． （4分）（公式 1分，结果 1分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 a3 D 1，所以 a1 D 1 2d． （5分）
10  9
S10 D 10a1 C d D 10.1 2d/ C 45d D 25d C 10， （7分）（公式 1分，结果 1分）
2
由 jS10j < 60得 j25d C 10j < 60， （8分）
所以 60 < 25d C 10 < 60， （9分） 
14 14
解得 < d < 2，即 d 的取值范围是 ; 2 ． （10分）
5 5
18．解：（Ⅰ）由余弦定理可得 c2 D a2 C b2 2ab cos C， （2分）
即 .a C 2/2 D a2 C 82 8a， （3分） 解得 a D 5． （4分）
所以 c D a C 2 D 7． （5分）
（Ⅱ）在4ACD中，由余弦定理可得AD2 D AC 2 CC D2 2AC CD cos C， （6分）
即 72 D 82 C C D2 8CD，解得 CD D 3或 5， （8分）
当 CD D 5时D与 B 重合，不符合题意，故 CD D 3． （9分）
CD AD
由正弦定理可得 D ， （10分）
sin CAD sin C
p
CD sin C 3 3
所以 sin CAD D D ． （12分）
AD 14
（没有舍去 CD D 5扣 1分）
— 1 —
19．解：（Ⅰ）因为平面 PAD 平面 ABCD，且平面 PAD \平面 ABCD D AD，
根据条件可知 AB AD，所以 AB 平面 PAD， （1分）
所以 AB PA． （2分）
p
所以 PB D AB2 C P A2 D 2，同理可得 P C D 2， （3分）
又 BC D AD D 2，所以4PBC 是等边三角形，
因为 BM P C，所以M 是 P C 的中点． （4分）
如图，连接AC，与BD交于点O，连接MO，则O是AC 的中点，所以PA==MO， （5分）
因为 PA 6平面MDB，MO 平面MDB，所以 PA==平面MDB． （6分）
（Ⅱ）以D为坐标原点，以DA; DC 所在直线为 x; y 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
p
p 1 1 2
则D.0; 0; 0/，B.2; 1; 0/，P.1; 0; 2/，C.0; 1; 0/，M. ; ; /． （7分）
2 2 2
#
由（Ⅰ）知DC D .0; 1; 0/是平面 PAD的一个法向量． （8分）
p
# # 1 1 2
设 n D8 .x; y; z/为平面MDB 的法向量，因为DB D .2; 1; 0/，DM D . ; ; /，2 2 2< # n
DB D 2x C y D 0;
所以 : p （9分）# 1 1 2n
DM D x C y C z D 0;
2 2 2
p
2
令 x D 1，可得 n D .1; 2; /． （10分）
2
设平面 PADˇ 与平面MDˇ B 的ˇ 夹角为 ˇ ，#
# DC
n
则 cos  D cos h DC ; n i D ˇ # （11分）jDC jjnj ˇ
r p2 2 22D D ． （12分）
1 11
1  1 C 4 C
2
20．解：（Ⅰ）由已知得圆M 的圆心q为M.2; 0/，半径为 2， （1分）
p
所以点 F 到圆心M 的距离为 .2 3/2 C 22 D 4， （2分）
因为 p > 0，所以 F 在 x 轴正半轴上，于是 F.2; 0/， （3分）
所以 p D 4， （4分）
— 2 —
故 C 的方程为 y2 D 8x． （5分）
（Ⅱ）设线段 AB 的中点为Q，有题意可知 PQ为 AB 的中垂线，且在直角4PAQ中，由
p
3 p p
jPAj D jABj，即 jPAj D 3 jAQj，可得 jPQj D 2 jAQj． （6分）
2
设 8l 的方程为 x D my C 2，A.xA; yA/，B.xB ; yB/，<
:x D my C 2;由 得 y2 8my 16 D 0， （7分）y2 D 8x
则 yA C yB D 8m，xA C xB D m.y C y / C 4 D 8m2A B C 4，
所以Q.4m2 C 2; 4m/． （8分）
所以直线 PQ的方程为 y D m.x 4m2 2/ C 4m，
令 x D 2，可q得 y D 4m3 C 8m，即 P.2; 4m3 C 8m/． （9分）
p
所以 jPQj D .4m2 2C 4/ C .4m3 2C 4m/ D .4m2 C 4/ 1 C m2．
jABj
又 jABj D p C xA C x 2B D 4 C xA C xB D
8m C 8，jAQj D D 4m
2 C 4． （10分）
2
p p
所以 .4m2 C 4/ 1 C m2 D 2 4m2 C 4 ，解得 m D ˙1． （11分）
所以 l 的方程为 x C y 2 D 0或 x y 2 D 0． （12分）
21．解：（Ⅰ）记第一层障碍物之间的缝隙从左到右分别为 A1，A2，A3，A4，小球落入缝隙 Ai
为事件 Ai .1 6 i 6 4/，第二层障碍物之间的缝隙从左到右分别为 B1，B2，…，B5，小球落入缝
隙 Bj 为事件 Bj .1 6 j 6 5/，第三层障碍物之间的缝隙从左到右分别为 C1，C2，…，C6，小球
落入缝隙 Ck 为事件 Ck.1 6 k 6 6/．
1
由题意知 P.A1/ D P.A2/ D P.A3/ D P.A4/ D ， （1分）
4
1
则 P.D1/ D P.C1/ D . /2P.A1/ （2分）
2
1
D ， （3分）
16
1 1
P.D2/ D P.C2/ D P.B1/ C P.B2/ （4分）
2 2  
1 1 1 1
D . /2P.A1/ C P.A1/ C P.A2/ （5分）
2 2 2 2
3
D . （6分）
16
（Ⅱ）设三等奖奖品成本为 a 元，玩家玩一次游戏获得的奖品成本为随机变量 X，则 X 的
所有可能取值为 a，2a，3a，
1
P.X D 3a/ D P.D1/ C P.D6/ D 2P.D1/ D ， （7分）
8
— 3 —
3
P.X D 2a/ D P.D2/ C P.D5/ D 2P.D2/ D ， （8分）
8
1
P.X D a/ D 1 P.X D 2a/ P.X D 3a/ D ， （9分）
2
所以 X 的分布列为：
X a 2a 3a
（10分）
1 3 1
P
2 8 8
（没有列表扣 1分，只有列表没有求值过程只给 1分）
1 3 1 13a
所以 X 的数学期望为 EX D a C  2a C  3a D ． （11分）
2 8 8 8
由题意，EX 6 2 0:7 D 1:3，解得 a 6 0:8，
因此三等奖奖品的成本价格最多为 0:8元． （12分）
1
22．解：（Ⅰ）若 a D 1，则 f .x/ D x ex x2，f 0.x/ D 1 ex x， （1分）
2
当 x < 0时，f 0.x/ > 0，当 x > 0时，f 0.x/ < 0， （2分）
即 f .x/在 .1; 0/单调递增，在 .0; C1/单调递减， （3分）
所以 f .x/的极大值，也是最大值为 f .0/ D 1，没有最小值． （5分）
1
（Ⅱ）由题意得 g.x/ D ex x2 C 3x C 1，所以 g0.x/ D ex x C 3．
2
令 '.x/ D ex x C 3，则 ' 0.x/ D ex 1，
当 x < 0时，' 0.x/ < 0，当 x > 0时，' 0.x/ > 0，
即 '.x/在 .1; 0/上单调递减，在 .0; C1/上单调递增， （6分）
则 '.x/ > '.0/ D 4，即 g0.x/ > 0，于是得 g.x/在 R上单调递增． （7分）
设 F.x/ D g.x/ C g.x/ D ex C ex x2 C 2，则 F 0.x/ D ex ex 2x，
p
令 G.x/ D ex ex 2x，则 G 0.x/ D ex C ex 2 > 2 ex
ex 2 D 0，
所以 G.x/在 R上单调递增， （8分）
而 G.0/ D 0，所以当 x < 0时，F 0.x/ D G.x/ < 0，当 x > 0时，F 0.x/ D G.x/ > 0，
即 F.x/在 .1; 0/单调递减，在 .0; C1/上单调递增， （9分）
则 F.x/ > F.0/ D 4，即 g.x/ C g.x/ > 4． （10分）
当 x1 C x2 > 0时，x1 > x2，所以 g.x1/ > g.x2/． （11分）
所以 g.x1/ C g.x2/ > g.x2/ C g.x2/ > 4． （12分）
— 4 —绝密★启用前
海南省2021一2022学年高三学业水平诊断（三）
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置，
2.回答选择题时，选出每小题答索后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需政动，用祿皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.回答非选泽题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的
1.已知集合A={xl1≤x≤5引，B=1xlx2-2x-3≤0}，则An(CRB)=
A.(3,5]
B.[-1,5]
C.(3,+)
D.(-,-1]
2.已知复数z满足z(1+i)=2-i,则：的虚部为
-分
B.
c.-
D号
3.函数x)=c02x-）+1的图象的一个对称中心为
a(-设o)
B.(.0)
c.()
n
4.设a=lg0.4,b=206,c=0.82,则
A.aB.bC.cD.a5若ae(侣-]且cs2a癸则ma=
A-7
B片
ci
D.7
6.两个不同的圆锥的底面是球0的同一截面，顶点均在球0表面上，若球0的体积为V,则这两个圆锥休
积之和的最大值为
.
7.设随机变量X服从正态分布N(1,c2),若P(X<2-)=0.3,则P(XA.0.2
B.0.3
C.0.7
D.0.8
8.海口钟楼的历史悠久，最早是为适应对外通商而建立，已成为海口的最重
要的标志性与象征性建筑物之一，如图所示，海口钟楼的主体结构可以看
做一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从8：00到10：00这段时间内，相
邻两面钟的分针所成角为60°的次数为
A.2
B.4
C.6
D.8
数学试题第1页（共4页）
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知向量a=(1,3),b=(-1,0),则
A.a-2b=(2,3)B.lal =21b1
C.(a+b)⊥b
D.a与b的夹角为号
10.下列双曲线的渐近线方程为y=±2*的是
A等-y2-1
B-=1
n.
416=1
11.环境监测部门统计了甲、乙两个城市去年每天的AQI(空气质量指数)，数据按照(0,50]，(50,100]，，
(200,250]进行分组得到下面的频率分布直方图，已知0掇率
颜率
组距
组距
050100150200250AQI
050100150200250AQ
甲
乙
A.甲、乙两城市AQI的中位数的估计值相等
B.甲、乙两城市AQI的平均数的估计值相等
C.甲城市AQI的方差比乙城市AQI的方差小
D.甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多
12.“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如：取第一项
为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个
2,1个1”，则第四项为1211：将1211描述为“1个1,1个2,2个1”，则第五项为111221…这样每次从
左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项则对于外观数列{a},
下列说法正确的是
A.若a1=3,则从a4开始出现数字2
B.若a1=(k=1,2,3,…,9),则an(neN)的最后一个数字均为k
C.{an}不可能为等差数列或等比数列
面上)
D.若a1=123,则an(n∈N·)均不包含数字4
少，，“号：学：：
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知函数f(x)=√2-a的定义域为[2，+o),则a=
142x的展开式中兰的系数为一（结果用数字表示）
15.已知椭圆C:誉+方=1(0值为6，则C的离心率为
16.已知函数f(x)=e*-b和g(x)=ln(x+a)-b3,其中a,b为常数且b>0.若存在斜率为1的直线与曲线
y=(x),y=g(x)同时相切，则号的最小值为
数学试题第2页（共4页）