6.2.3组合 6.2.4组合数(共19张PPT)

(共19张PPT)
第六章
计数原理
6.2排列与组合
6.2.3组合 6.2.4组合数
问题一： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题二:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？
有甲、乙； 甲、丙； 乙、丙共3种
一、探究新知
从已知的 3个不同元素中每次取出2个元素合成一组
问题2
从已知的3 个不同元素 中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.
问题1
排列
组合
有
顺
序
无
顺
序
1).组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个排列.
得出结论
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关，排列的有序性
而组合则与元素的顺序无关。组合的无序性
2).组合和排列有什么共同和不同点
组合
甲乙
甲丙
乙丙
甲乙，乙甲
甲丙，丙甲
乙丙，丙乙
排列
判断下列问题是组合问题还是排列问题
(1).设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个
(2).某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票
有多少种不同的火车票价
组合问题
排列问题
(3).10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法
组合问题
组合问题
组合是选择的结果，
排列是选择后再排序的结果.
(4).10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次
组合问题
(5).从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法
组合问题
(6).从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法
排列问题
(7).校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色、绿色的各3辆.
①.从中选3辆，有多少种不同的方法
②.从中选3辆给3位同学,有多少种不同的方法
组合问题
排列问题
判断下列问题是组合问题还是排列问题
例5.平面内有A、B、C、D共4个点.
(1).以其中2个点为端点的有向线段共有多少条
(2).以其中2个点为端点的线段共有多少条
分析: (1).确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题; (2).确定一条线段，只需确定两个端点，而不考虑它们的顺序，是组合问题.
解:(1). 一条有向线段的端点要分起点和端点，以平面内4个 点中的两个点为端点的有向线段的条数，就是从4个元素中取出2个元素的排列数，共有 条.
(2). 将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为1条线段,就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数,共有如下6条：AB,AC,AD,BC,BD,CD.
练习：课本22页
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
用符号 表示.
组合数:
注意：
是一个数,应该把它与“组合”区别开来.
组合
排列
abc
abd
acd
bcd
abc bac cab
acb bca cba
abd bad dab
adb bda dba
acd cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc
bdc cdb dcb
你发现了
什么
（1).写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的排列数.（2).写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的组合数.
图6.2-8
根据分步计数原理，得到：
因此：
一般地，求从 n个不同元素中取出 m 个元素的排列数,可以分为以下2步：
第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个 元素的组合数 ．
第2步,求每一个组合中 个元素的全排列数 ．
这里 , 且 ,这个公式叫做组合数公式．
组合数公式:
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
组合数公式:
例6.计算：
观察上面计算的结果，你有什么发现
组合数的性质
练习：课本25页练习第1题.
例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品。从这100件产品中任意抽出3件。
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？
（2）（分步）从2件次品中抽出1件有种抽法，从98件合格品中抽出2件的抽法有种，
因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为
解：（1）这是个从100个元素中取3个的组合问题，所以抽法的种数为
例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品。从这100件产品中任意抽出3件。
（3）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？
（3）方法1（直接法）：3件产品中至少1件为次品，包括有1件次品和2件次品两种情况，
根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件次品的抽法种数为
方法2（间接法）：至少有1件次品的反面是没有次品，即全是合格品。“至少1件次品”就是“任取3件”减去“3件都是合格品”即
“先分类，后分步”
“至少”“至多”的问题，通常用
分类法或间接法求解
(4).如果物理和化学都没被选，那么共有多少种不同的选法
(5).如果物理、化学和生物至少有2门被选，那么共有多少种
不同的选法
1、有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩.
(1).一共有多少种不同的选法
(2).如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法
(3).如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法
变式练习
1.组合定义:
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示.
2.组合数:
3.组合数公式:
课堂小结