2021-2022学年安徽省马鞍山市雨花区中加双语学校八年级（下）开学数学试卷（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年安徽省马鞍山市雨花区中加双语学校八年级（下）开学数学试卷（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-07 21:08:24 | ||
图片预览
文档简介
2021-2022学年安徽省马鞍山市雨花区中加双语学校八年级（下）开学数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m≠0 C．m≤2 D．m≠2
3．若＝2﹣x成立，则x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≥2 C．0≤x≤2 D．任意实数
4．如图，AD⊥BD于点D，GC⊥BC于点C，CF⊥AB于点F，下列关于高的说法中错误的是（ ）
A．△ABC中，AD是BC边上的高
B．△GBC中，CF是BG边上的高
C．△ABC中，GC是BC边上的高
D．△GBC中，GC是BC边上的高
5．如图，△ABC中，∠BAC＝130°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，与AB，AC分别交于点D，G，则∠EAF的度数为（ ）
A．65° B．60° C．70° D．80°
6．已知a∥b，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠2＝50°，则∠1等于（ ）
A．140° B．150° C．160° D．170°
7．如图，有三块菜地△ACD，△ABD，△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD＝DE，AB＝3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是（ ）
A．24 B．27 C．32 D．36
8．如图，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C，若PD＝3，则OC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，点E（1，0），D为线段BC的中点，P为y轴上的一个动点，连接PD、PE，当△PED的周长最小时，点P的坐标为（ ）
A．（0，） B．（0，1） C．（1，0） D．（0，）
10．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于点F，交AB于点G．有下列结论：①GA＝GP；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP＝FC，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．已知直线y＝﹣2x+1经过P1（π，y1）、P2（，y2）两点，则y1 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
12．已知a＜b，化简二次根式结果是 ．
13．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝5，则FG的长为 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF．将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC的度数为 °．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：
（1）﹣（4）；
（2）|﹣|﹣（4﹣π）0+（）﹣1．
16．解方程：
（1）4x2+2x﹣1＝0；
（2）2y（y﹣2）＝y2﹣2．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．已知直线y＝kx+b经过M（0，2），N（1，3）两点．
（1）求该直线的表达式；
（2）请判断点P（2，4）在不在该直线上．
18．观察下列各式：
＝2，＝3，＝4．
（1）类比上述式子，再写出一个同类型的式子；
（2）你能用字母n（n是正整数）表示其中的规律吗？并给出证明．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，且AB＝DE，BF＝CE．
求证：（1）GF＝GC；
（2）△AFG≌△DCG．
20．雅礼中学打算购买三角梅、水仙装点学校道路，负责人小李去花卉基地调查发现：购买1盆三角梅和2盆水仙需要14元，购买2盆三角梅和1盆水仙需要13元．
（1）求三角梅、水仙的单价各是多少元？
（2）购买三角梅、水仙共200盆，且购买的三角梅不少于60盆，但不多于80盆：
①设购买三角梅a盆，总费用为W元，求W与a的关系式；
②当总费用最少时，应选择哪一种购买方案？最少费用为多少元？
六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21．已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4），并与y轴交于点D．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）直线y＝2x﹣4与y轴交于点E，在直线AB上是否存在点P，使得S△DEC＝3S△DEP，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
22．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边的延长线上，且DA＝DE．
（1）如图1，若点D为BC中点，AB＝6，求CE的长；
（2）如图2，若点D为线段BC上的任意一点，求证：AC＝CE+CD．
七、（本题满分14分）
23．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用：
①已知直线y＝x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项A、B、C均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：D．
2．若（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m≠0 C．m≤2 D．m≠2
【分析】直接根据一元二次方程的定义进行解答即可．
解：∵（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
解得m≠2．
故选：D．
3．若＝2﹣x成立，则x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≥2 C．0≤x≤2 D．任意实数
【分析】根据二次根式的性质，利用＝|a|以及绝对值的意义进行解答即可．
解：∵＝|x﹣2|＝2﹣x，
∴x﹣2≤0，
∴x≤2，
故选：A．
4．如图，AD⊥BD于点D，GC⊥BC于点C，CF⊥AB于点F，下列关于高的说法中错误的是（ ）
A．△ABC中，AD是BC边上的高
B．△GBC中，CF是BG边上的高
C．△ABC中，GC是BC边上的高
D．△GBC中，GC是BC边上的高
【分析】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、△ABC中，AD是BC边上的高，正确；
B、△GBC中，CF是BG边上的高，正确；
C、△ABC中，GC是BC边上的高，错误；
D、△GBC中，GC是BC边上的高，正确．
故选：C．
5．如图，△ABC中，∠BAC＝130°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，与AB，AC分别交于点D，G，则∠EAF的度数为（ ）
A．65° B．60° C．70° D．80°
【分析】由DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，可得EB＝EA，FA＝FC，又由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，可求得∠BAE+∠FAC度数，继而求得答案．
解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴EB＝EA，FA＝FC，
∴∠BAE＝∠B，∠FAC＝∠C，
∵△ABC中，∠BAC＝130°，
∴∠B+∠C＝50°，
∴∠BAE+∠FAC＝50°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝80°；
故选：D．
6．已知a∥b，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠2＝50°，则∠1等于（ ）
A．140° B．150° C．160° D．170°
【分析】延长CA交直线a于点D，
解：延长CA交直线a于点D，如图所示：
由题意可得∠BAC＝60°，
∵a∥b，∠2＝50°，
∴∠EDC＝∠2＝50°，
∵∠BAC是△ADE的外角，
∴∠AED＝∠BAC﹣∠DEC＝10°，
∴∠1＝180°﹣∠AED＝170°．
故选：D．
7．如图，有三块菜地△ACD，△ABD，△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD＝DE，AB＝3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是（ ）
A．24 B．27 C．32 D．36
【分析】在AB上截取AF＝AC，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠FAD，根据全等三角形的性质得到S△ACD＝S△AFD，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：在AB上截取AF＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠FAD，
在△ACD与△AFD中，
，
∴△ACD≌△AFD（SAS），
∴S△ACD＝S△AFD，
∵AD＝DE，地△BDE的面积为96，
∴S△ABD＝S△BDE＝96，
∵AB＝3AC，
∴AB＝3AF，
∴S△ADF＝×96＝32，
∴菜地△ACD的面积是32，
故选：C．
8．如图，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C，若PD＝3，则OC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论．
解：∵∠AOB＝150°，PC∥OB交OA于点C，
∴∠PCO＝30°，
过P作PE⊥OA于E，
∵PD⊥OB，OP平分∠AOB
∴PE＝PD＝3，∴∠AOP＝∠POD＝75°，
∴∠CPD＝75°，
∴OC＝PC＝6，
故选：D．
9．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，点E（1，0），D为线段BC的中点，P为y轴上的一个动点，连接PD、PE，当△PED的周长最小时，点P的坐标为（ ）
A．（0，） B．（0，1） C．（1，0） D．（0，）
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B，C的坐标，结合点D为线段BC的中点可求出点D的坐标，作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E，交y轴于点P，此时△PED的周长最小，由点D，D′关于y轴对称可得出点D′的坐标，由点D′，E的坐标，利用待定系数法可求出直线D′E的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标．
解：当x＝0时，y＝﹣×0+4＝4，
∴点C的坐标为（0，4）；
当y＝0时，﹣x+4＝0，解得：x＝3，
∴点B的坐标为（3，0）．
又∵点D为线段BC的中点，
∴点D的坐标为（，2）．
作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E，交y轴于点P，此时△PED的周长最小，如图所示．
∵点D，D′关于y轴对称，
∴点D′的坐标为（﹣，2）．
设直线D′E的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将D′（﹣，2），E（1，0）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴直线D′E的解析式为y＝﹣x+．
当x＝0时，y＝﹣×0+＝，
∴当△PED的周长最小时，点P的坐标为（0，）．
故选：A．
10．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于点F，交AB于点G．有下列结论：①GA＝GP；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP＝FC，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；
②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；
③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；
④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果．
解：①∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP＝∠BAP，
∵PG∥AD，
∴∠APG＝∠CAP，
∴∠APG＝∠BAP，
∴GA＝GP；
②∵AP平分∠BAC，
∴P到AC，AB的距离相等，
∴S△PAC：S△PAB＝AC：AB，
③∵BE＝BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE（三线合一），
④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP＝∠BCP，
又∵PG∥AD，
∴∠FPC＝∠DCP，
∴FP＝FC，
故①②③④都正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．已知直线y＝﹣2x+1经过P1（π，y1）、P2（，y2）两点，则y1 ＜ y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】根据一次函数的性质，当k＜0时，y随x的增大而减小解答即可．
解：∵一次函数y＝﹣2x+1中k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵π＞，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
12．已知a＜b，化简二次根式结果是 ﹣a ．
【分析】根据二次根式有意义的条件确定a、b的取值范围，再进行化简即可．
解：因为有意义，
所以a、b异号，
又a＜b，
所以a＜0，b＞0，
所以＝|a|＝﹣a，
故答案为：﹣a．
13．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝5，则FG的长为 2 ．
【分析】根据平行线的性质得到∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，由角平分线的定义得到∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，于是得到BE＝EG，CD＝DF，代入数据即可得到结论．
解：∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，
∴∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，
∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，
∴BE＝EG，CD＝DF，
∵BE＝3，CD＝4，ED＝5，
∴EB+CD＝EG+DF＝EF+FG+FG+DG＝ED+FG，即3+4＝5+FG，
∴FG＝2，
故答案为2．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF．将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC的度数为 100 °．
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OB，根据等边对等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，然后证明△ABO≌△ACO，可得OB＝OC，再根据等边对等角求出∠OCB＝∠OBC，根据翻折的性质可得OE＝CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解：分别连接OB，OC，如图所示，
∵∠BAC＝50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝∠BAC＝×50°＝25°．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣50°）＝65°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB；
∴∠ABO＝∠BAO＝25°．
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝65°﹣25°＝40°．
在△ABO和△ACO中，
，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴BO＝CO，
∴∠OCB＝∠OBC＝40°；
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE．
∴∠COE＝∠OCB＝40°；
在△OCE中，
∠OEC＝180°﹣∠COE﹣∠OCB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案为：100．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：
（1）﹣（4）；
（2）|﹣|﹣（4﹣π）0+（）﹣1．
【分析】（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案；
（2）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、二次根式的除法运算法则分别化简，进而合并得出答案．
解：（1）原式＝2+4﹣+4×
＝2+4﹣+2
＝7；
（2）原式＝﹣1﹣+4
＝3．
16．解方程：
（1）4x2+2x﹣1＝0；
（2）2y（y﹣2）＝y2﹣2．
【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；
（2）方程整理后，利用公式法求出解即可．
解：（1）4x2+2x﹣1＝0，
这里：a＝4，b＝2，c＝﹣1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×4×（﹣1）＝4+16＝20＞0，
∴x＝＝＝，
解得：x1＝，x2＝；
（2）2y（y﹣2）＝y2﹣2整理为y2﹣4y+2＝0，
这里：a＝1，b＝﹣4，c＝2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×2＝16﹣8＝8＞0，
∴y＝＝＝2±，
解得：y1＝2﹣，y2＝2+．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．已知直线y＝kx+b经过M（0，2），N（1，3）两点．
（1）求该直线的表达式；
（2）请判断点P（2，4）在不在该直线上．
【分析】（1）将点的坐标代入求出k和b的值，即可得出函数解析式，；
（2）把x＝2代入y＝x+2得到y＝4+2＝4，即可判断．
解：（1）∵直线y＝kx+b经过点（0，2）和点（1，3），
∴，
解得：，
则该直线的表达式为y＝x+2；
（2）把x＝2代入y＝x+2得，y＝4+2＝4，
∴点P（2，4）在该直线上．
18．观察下列各式：
＝2，＝3，＝4．
（1）类比上述式子，再写出一个同类型的式子；
（2）你能用字母n（n是正整数）表示其中的规律吗？并给出证明．
【分析】类比上述式子，即可写出几个同类型的式子，然后根据已知的几个式子即可用含n的式子将规律表示出来，再证明即可求解．
解：（1）＝；
（2）规律＝n（n＞1），
证明：
＝
＝n（n＞1）．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，且AB＝DE，BF＝CE．
求证：（1）GF＝GC；
（2）△AFG≌△DCG．
【分析】（1）本题可通过证角相等来得出简单的边相等，关键是证得∠ACB＝∠DCE；可通过证△ABC≌△DEF来实现，这两个三角形中，已知了AB＝DE，BF＝CE即BC＝EF，∠B＝∠E，即可根据SAS证得两三角形全等，由此可得证．
（2）由（1）可得出AC＝DF，GF＝GC，因此AG＝GD，两三角形中又有一组对顶角，因此两三角形全等．
【解答】证明：（1）∵BF＝CE∴BF+FC＝CE+FC，即BC＝EF．
又∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠B＝∠E＝90°．
又∵AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
∴AC＝DF，∠ACB＝∠DFE．
∴△GFC是等腰三角形，
∴GF＝GC．
（2）∵AG＝AC﹣CG，DG＝DF﹣FG，
∴AG＝DG．
又∠AGF＝∠CGD，
∴△AGF≌△CGD．
20．雅礼中学打算购买三角梅、水仙装点学校道路，负责人小李去花卉基地调查发现：购买1盆三角梅和2盆水仙需要14元，购买2盆三角梅和1盆水仙需要13元．
（1）求三角梅、水仙的单价各是多少元？
（2）购买三角梅、水仙共200盆，且购买的三角梅不少于60盆，但不多于80盆：
①设购买三角梅a盆，总费用为W元，求W与a的关系式；
②当总费用最少时，应选择哪一种购买方案？最少费用为多少元？
【分析】（1）根据购买1盆三角梅和2盆水仙需要14元，购买2盆三角梅和1盆水仙需要13元，可以列出相应的二元一次方程组，解方程组即可得到三角梅、水仙的单价各为多少元；
（2）①根据题意，可以写出W与a的关系式；
②根据①中的函数关系式和一次函数的性质，即可得到使总花费最少的够花方案，并求出最少费用．
解：（1）设三角梅、水仙的单价分别为x元、y元，
根据题意得：，
解得，
答：三角梅、水仙的的单价分别为4元、5元；
（2）①由题意可得，W＝4a+5（200﹣a），
即W与a的关系式是W＝﹣a+1000（60≤a≤80）；
②∵W＝﹣a+1000，
∴W随a的增大而减小，
∵60≤a≤80，
∴当a＝80时，W取得最小值，
此时W＝920，200﹣a＝200﹣80＝120，
答：当购买三角梅80盆、水仙120盆时，总花费最少，最少费用为920元．
六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21．已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4），并与y轴交于点D．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）直线y＝2x﹣4与y轴交于点E，在直线AB上是否存在点P，使得S△DEC＝3S△DEP，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）联立两直线解析式，解方程组得到点C的坐标；
（3）分别求出直线y＝2x﹣4与y＝﹣x+5分别与y轴的交点E和点D的坐标，然后根据三角形的面积公式列式计算即可．
解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4），
∴，解得，
∴直线AB的表达式为y＝﹣x+5；
（2）∵直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，
∴，解得，
∴点C（3，2）．
（3）∵直线y＝2x﹣4与y＝﹣x+5分别交y轴于点E和点D，
∴D（0，5），E（0，﹣4），
∴S△DEC＝DE |xC|＝×9×3＝，
∵S△DEC＝3S△DEP，
∴S△DEP＝DE |xP|＝＝×，
∴|xP|＝1，
∴点P的坐标为（1，4）或（﹣1，6）．
22．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边的延长线上，且DA＝DE．
（1）如图1，若点D为BC中点，AB＝6，求CE的长；
（2）如图2，若点D为线段BC上的任意一点，求证：AC＝CE+CD．
【分析】（1）证明∠CDE＝∠E＝30°，可得结论；
（2）如图2中，在CA上取一点T，使得CT＝CD，连接DT，过点D作DH⊥AC于点H．证明AT＝CE，可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝∠ACB＝60°
又∵D是BC中点，
∴，，
∵DA＝DE，
∴∠DAC＝∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠E，
∴CE＝CD＝3，
答：CE的长为3．
（2）证明：如图2中，在CA上取一点T，使得CT＝CD，连接DT，过点D作DH⊥AC于点H．
∵CD＝CT，∠DCT＝60°，
∴△DCT是等边三角形，
∵DH⊥CT，
∴HT＝HC，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝EH，
∴AT＝CE，
∴AC＝CT+AT＝CD+EC．
七、（本题满分14分）
23．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用：
①已知直线y＝x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
【分析】（1）由条件可求得∠EBC＝∠ACD，利用AAS可证明△BEC≌△CDA；
（2）①过C作CD⊥x轴于点D，由直线解析式可求得A、B的坐标，利用模型结论可得CD＝BO，BD＝AO，从而可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的解析式；
②分三种情况考虑：如图2所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，分点P与点B重合，点P与点B不重合，由全等三角形的性质可得D点坐标；如图3所示，当∠APD＝90°时，AP＝PD，设点P的坐标为（8，m），表示出D点坐标为（14﹣m，m+8），列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图4所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理求出D的坐标．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠ACD，
在△BEC和△CDA中，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）①如图1，过C作CD⊥x轴于点D，
直线y＝x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，
令y＝0可求得x＝﹣4，令x＝0可求得y＝3，
∴OA＝3，OB＝4，
同（1）可证得△CDB≌△BAO，
∴CD＝BO＝4，BD＝AO＝3，
∴OD＝4+3＝7，
∴C（﹣7，4），且A（0，3），
设直线AC解析式为y＝kx+3，把C点坐标代入可得4＝﹣7k+3，解得k＝﹣
∴直线AC解析式为y＝﹣x+3，
（3）②∵B的坐标为（8，6），
∴AB＝8，BC＝6
如图2，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，
∴点D在AB的中垂线上，即点D横坐标为4
∴D点坐标（4，3）
∵当D点坐标（4，3）时，∠ADP≠90°，
∴D点坐标（4，3）不合题意；
如图，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，点P不与点B重合时，过点D作EF⊥AO，交AO于E，交BC于F，则EF⊥BC，
∵∠ADE+∠DAE＝90°，∠ADE+∠PDF＝90°，
∴∠DAE＝∠PDF，且∠AED＝∠DFP＝90°，AD＝PD，
∴△ADE≌△DPF（AAS）
∴AE＝DF，PF＝DE，
设点D（x，2x﹣5），
∴DE＝x，DF＝AE＝8﹣x，
∴8﹣x+2x﹣5＝6，
∴x＝3，
∴点D（3，1）；
如图3，当∠APD＝90°时，AP＝PD，
设点P的坐标为（8，m），则D点坐标为（14﹣m，m+8），由m+8＝2（14﹣m）﹣5，得m＝5，
∴D点坐标（9，13）；
如图4，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理可求得D点坐标（，），
综上所述：点D坐标为：（3，1）（9，13），（，）．
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m≠0 C．m≤2 D．m≠2
3．若＝2﹣x成立，则x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≥2 C．0≤x≤2 D．任意实数
4．如图，AD⊥BD于点D，GC⊥BC于点C，CF⊥AB于点F，下列关于高的说法中错误的是（ ）
A．△ABC中，AD是BC边上的高
B．△GBC中，CF是BG边上的高
C．△ABC中，GC是BC边上的高
D．△GBC中，GC是BC边上的高
5．如图，△ABC中，∠BAC＝130°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，与AB，AC分别交于点D，G，则∠EAF的度数为（ ）
A．65° B．60° C．70° D．80°
6．已知a∥b，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠2＝50°，则∠1等于（ ）
A．140° B．150° C．160° D．170°
7．如图，有三块菜地△ACD，△ABD，△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD＝DE，AB＝3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是（ ）
A．24 B．27 C．32 D．36
8．如图，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C，若PD＝3，则OC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，点E（1，0），D为线段BC的中点，P为y轴上的一个动点，连接PD、PE，当△PED的周长最小时，点P的坐标为（ ）
A．（0，） B．（0，1） C．（1，0） D．（0，）
10．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于点F，交AB于点G．有下列结论：①GA＝GP；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP＝FC，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．已知直线y＝﹣2x+1经过P1（π，y1）、P2（，y2）两点，则y1 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
12．已知a＜b，化简二次根式结果是 ．
13．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝5，则FG的长为 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF．将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC的度数为 °．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：
（1）﹣（4）；
（2）|﹣|﹣（4﹣π）0+（）﹣1．
16．解方程：
（1）4x2+2x﹣1＝0；
（2）2y（y﹣2）＝y2﹣2．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．已知直线y＝kx+b经过M（0，2），N（1，3）两点．
（1）求该直线的表达式；
（2）请判断点P（2，4）在不在该直线上．
18．观察下列各式：
＝2，＝3，＝4．
（1）类比上述式子，再写出一个同类型的式子；
（2）你能用字母n（n是正整数）表示其中的规律吗？并给出证明．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，且AB＝DE，BF＝CE．
求证：（1）GF＝GC；
（2）△AFG≌△DCG．
20．雅礼中学打算购买三角梅、水仙装点学校道路，负责人小李去花卉基地调查发现：购买1盆三角梅和2盆水仙需要14元，购买2盆三角梅和1盆水仙需要13元．
（1）求三角梅、水仙的单价各是多少元？
（2）购买三角梅、水仙共200盆，且购买的三角梅不少于60盆，但不多于80盆：
①设购买三角梅a盆，总费用为W元，求W与a的关系式；
②当总费用最少时，应选择哪一种购买方案？最少费用为多少元？
六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21．已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4），并与y轴交于点D．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）直线y＝2x﹣4与y轴交于点E，在直线AB上是否存在点P，使得S△DEC＝3S△DEP，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
22．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边的延长线上，且DA＝DE．
（1）如图1，若点D为BC中点，AB＝6，求CE的长；
（2）如图2，若点D为线段BC上的任意一点，求证：AC＝CE+CD．
七、（本题满分14分）
23．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用：
①已知直线y＝x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项A、B、C均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：D．
2．若（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m≠0 C．m≤2 D．m≠2
【分析】直接根据一元二次方程的定义进行解答即可．
解：∵（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
解得m≠2．
故选：D．
3．若＝2﹣x成立，则x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≥2 C．0≤x≤2 D．任意实数
【分析】根据二次根式的性质，利用＝|a|以及绝对值的意义进行解答即可．
解：∵＝|x﹣2|＝2﹣x，
∴x﹣2≤0，
∴x≤2，
故选：A．
4．如图，AD⊥BD于点D，GC⊥BC于点C，CF⊥AB于点F，下列关于高的说法中错误的是（ ）
A．△ABC中，AD是BC边上的高
B．△GBC中，CF是BG边上的高
C．△ABC中，GC是BC边上的高
D．△GBC中，GC是BC边上的高
【分析】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、△ABC中，AD是BC边上的高，正确；
B、△GBC中，CF是BG边上的高，正确；
C、△ABC中，GC是BC边上的高，错误；
D、△GBC中，GC是BC边上的高，正确．
故选：C．
5．如图，△ABC中，∠BAC＝130°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，与AB，AC分别交于点D，G，则∠EAF的度数为（ ）
A．65° B．60° C．70° D．80°
【分析】由DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，可得EB＝EA，FA＝FC，又由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，可求得∠BAE+∠FAC度数，继而求得答案．
解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴EB＝EA，FA＝FC，
∴∠BAE＝∠B，∠FAC＝∠C，
∵△ABC中，∠BAC＝130°，
∴∠B+∠C＝50°，
∴∠BAE+∠FAC＝50°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝80°；
故选：D．
6．已知a∥b，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠2＝50°，则∠1等于（ ）
A．140° B．150° C．160° D．170°
【分析】延长CA交直线a于点D，
解：延长CA交直线a于点D，如图所示：
由题意可得∠BAC＝60°，
∵a∥b，∠2＝50°，
∴∠EDC＝∠2＝50°，
∵∠BAC是△ADE的外角，
∴∠AED＝∠BAC﹣∠DEC＝10°，
∴∠1＝180°﹣∠AED＝170°．
故选：D．
7．如图，有三块菜地△ACD，△ABD，△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD＝DE，AB＝3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是（ ）
A．24 B．27 C．32 D．36
【分析】在AB上截取AF＝AC，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠FAD，根据全等三角形的性质得到S△ACD＝S△AFD，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：在AB上截取AF＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠FAD，
在△ACD与△AFD中，
，
∴△ACD≌△AFD（SAS），
∴S△ACD＝S△AFD，
∵AD＝DE，地△BDE的面积为96，
∴S△ABD＝S△BDE＝96，
∵AB＝3AC，
∴AB＝3AF，
∴S△ADF＝×96＝32，
∴菜地△ACD的面积是32，
故选：C．
8．如图，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C，若PD＝3，则OC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论．
解：∵∠AOB＝150°，PC∥OB交OA于点C，
∴∠PCO＝30°，
过P作PE⊥OA于E，
∵PD⊥OB，OP平分∠AOB
∴PE＝PD＝3，∴∠AOP＝∠POD＝75°，
∴∠CPD＝75°，
∴OC＝PC＝6，
故选：D．
9．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，点E（1，0），D为线段BC的中点，P为y轴上的一个动点，连接PD、PE，当△PED的周长最小时，点P的坐标为（ ）
A．（0，） B．（0，1） C．（1，0） D．（0，）
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B，C的坐标，结合点D为线段BC的中点可求出点D的坐标，作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E，交y轴于点P，此时△PED的周长最小，由点D，D′关于y轴对称可得出点D′的坐标，由点D′，E的坐标，利用待定系数法可求出直线D′E的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标．
解：当x＝0时，y＝﹣×0+4＝4，
∴点C的坐标为（0，4）；
当y＝0时，﹣x+4＝0，解得：x＝3，
∴点B的坐标为（3，0）．
又∵点D为线段BC的中点，
∴点D的坐标为（，2）．
作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E，交y轴于点P，此时△PED的周长最小，如图所示．
∵点D，D′关于y轴对称，
∴点D′的坐标为（﹣，2）．
设直线D′E的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将D′（﹣，2），E（1，0）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴直线D′E的解析式为y＝﹣x+．
当x＝0时，y＝﹣×0+＝，
∴当△PED的周长最小时，点P的坐标为（0，）．
故选：A．
10．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于点F，交AB于点G．有下列结论：①GA＝GP；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP＝FC，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；
②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；
③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；
④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果．
解：①∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP＝∠BAP，
∵PG∥AD，
∴∠APG＝∠CAP，
∴∠APG＝∠BAP，
∴GA＝GP；
②∵AP平分∠BAC，
∴P到AC，AB的距离相等，
∴S△PAC：S△PAB＝AC：AB，
③∵BE＝BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE（三线合一），
④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP＝∠BCP，
又∵PG∥AD，
∴∠FPC＝∠DCP，
∴FP＝FC，
故①②③④都正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．已知直线y＝﹣2x+1经过P1（π，y1）、P2（，y2）两点，则y1 ＜ y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】根据一次函数的性质，当k＜0时，y随x的增大而减小解答即可．
解：∵一次函数y＝﹣2x+1中k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵π＞，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
12．已知a＜b，化简二次根式结果是 ﹣a ．
【分析】根据二次根式有意义的条件确定a、b的取值范围，再进行化简即可．
解：因为有意义，
所以a、b异号，
又a＜b，
所以a＜0，b＞0，
所以＝|a|＝﹣a，
故答案为：﹣a．
13．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝5，则FG的长为 2 ．
【分析】根据平行线的性质得到∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，由角平分线的定义得到∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，于是得到BE＝EG，CD＝DF，代入数据即可得到结论．
解：∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，
∴∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，
∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，
∴BE＝EG，CD＝DF，
∵BE＝3，CD＝4，ED＝5，
∴EB+CD＝EG+DF＝EF+FG+FG+DG＝ED+FG，即3+4＝5+FG，
∴FG＝2，
故答案为2．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF．将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC的度数为 100 °．
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OB，根据等边对等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，然后证明△ABO≌△ACO，可得OB＝OC，再根据等边对等角求出∠OCB＝∠OBC，根据翻折的性质可得OE＝CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解：分别连接OB，OC，如图所示，
∵∠BAC＝50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝∠BAC＝×50°＝25°．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣50°）＝65°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB；
∴∠ABO＝∠BAO＝25°．
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝65°﹣25°＝40°．
在△ABO和△ACO中，
，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴BO＝CO，
∴∠OCB＝∠OBC＝40°；
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE．
∴∠COE＝∠OCB＝40°；
在△OCE中，
∠OEC＝180°﹣∠COE﹣∠OCB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案为：100．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：
（1）﹣（4）；
（2）|﹣|﹣（4﹣π）0+（）﹣1．
【分析】（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案；
（2）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、二次根式的除法运算法则分别化简，进而合并得出答案．
解：（1）原式＝2+4﹣+4×
＝2+4﹣+2
＝7；
（2）原式＝﹣1﹣+4
＝3．
16．解方程：
（1）4x2+2x﹣1＝0；
（2）2y（y﹣2）＝y2﹣2．
【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；
（2）方程整理后，利用公式法求出解即可．
解：（1）4x2+2x﹣1＝0，
这里：a＝4，b＝2，c＝﹣1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×4×（﹣1）＝4+16＝20＞0，
∴x＝＝＝，
解得：x1＝，x2＝；
（2）2y（y﹣2）＝y2﹣2整理为y2﹣4y+2＝0，
这里：a＝1，b＝﹣4，c＝2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×2＝16﹣8＝8＞0，
∴y＝＝＝2±，
解得：y1＝2﹣，y2＝2+．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．已知直线y＝kx+b经过M（0，2），N（1，3）两点．
（1）求该直线的表达式；
（2）请判断点P（2，4）在不在该直线上．
【分析】（1）将点的坐标代入求出k和b的值，即可得出函数解析式，；
（2）把x＝2代入y＝x+2得到y＝4+2＝4，即可判断．
解：（1）∵直线y＝kx+b经过点（0，2）和点（1，3），
∴，
解得：，
则该直线的表达式为y＝x+2；
（2）把x＝2代入y＝x+2得，y＝4+2＝4，
∴点P（2，4）在该直线上．
18．观察下列各式：
＝2，＝3，＝4．
（1）类比上述式子，再写出一个同类型的式子；
（2）你能用字母n（n是正整数）表示其中的规律吗？并给出证明．
【分析】类比上述式子，即可写出几个同类型的式子，然后根据已知的几个式子即可用含n的式子将规律表示出来，再证明即可求解．
解：（1）＝；
（2）规律＝n（n＞1），
证明：
＝
＝n（n＞1）．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，且AB＝DE，BF＝CE．
求证：（1）GF＝GC；
（2）△AFG≌△DCG．
【分析】（1）本题可通过证角相等来得出简单的边相等，关键是证得∠ACB＝∠DCE；可通过证△ABC≌△DEF来实现，这两个三角形中，已知了AB＝DE，BF＝CE即BC＝EF，∠B＝∠E，即可根据SAS证得两三角形全等，由此可得证．
（2）由（1）可得出AC＝DF，GF＝GC，因此AG＝GD，两三角形中又有一组对顶角，因此两三角形全等．
【解答】证明：（1）∵BF＝CE∴BF+FC＝CE+FC，即BC＝EF．
又∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠B＝∠E＝90°．
又∵AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
∴AC＝DF，∠ACB＝∠DFE．
∴△GFC是等腰三角形，
∴GF＝GC．
（2）∵AG＝AC﹣CG，DG＝DF﹣FG，
∴AG＝DG．
又∠AGF＝∠CGD，
∴△AGF≌△CGD．
20．雅礼中学打算购买三角梅、水仙装点学校道路，负责人小李去花卉基地调查发现：购买1盆三角梅和2盆水仙需要14元，购买2盆三角梅和1盆水仙需要13元．
（1）求三角梅、水仙的单价各是多少元？
（2）购买三角梅、水仙共200盆，且购买的三角梅不少于60盆，但不多于80盆：
①设购买三角梅a盆，总费用为W元，求W与a的关系式；
②当总费用最少时，应选择哪一种购买方案？最少费用为多少元？
【分析】（1）根据购买1盆三角梅和2盆水仙需要14元，购买2盆三角梅和1盆水仙需要13元，可以列出相应的二元一次方程组，解方程组即可得到三角梅、水仙的单价各为多少元；
（2）①根据题意，可以写出W与a的关系式；
②根据①中的函数关系式和一次函数的性质，即可得到使总花费最少的够花方案，并求出最少费用．
解：（1）设三角梅、水仙的单价分别为x元、y元，
根据题意得：，
解得，
答：三角梅、水仙的的单价分别为4元、5元；
（2）①由题意可得，W＝4a+5（200﹣a），
即W与a的关系式是W＝﹣a+1000（60≤a≤80）；
②∵W＝﹣a+1000，
∴W随a的增大而减小，
∵60≤a≤80，
∴当a＝80时，W取得最小值，
此时W＝920，200﹣a＝200﹣80＝120，
答：当购买三角梅80盆、水仙120盆时，总花费最少，最少费用为920元．
六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21．已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4），并与y轴交于点D．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）直线y＝2x﹣4与y轴交于点E，在直线AB上是否存在点P，使得S△DEC＝3S△DEP，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）联立两直线解析式，解方程组得到点C的坐标；
（3）分别求出直线y＝2x﹣4与y＝﹣x+5分别与y轴的交点E和点D的坐标，然后根据三角形的面积公式列式计算即可．
解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4），
∴，解得，
∴直线AB的表达式为y＝﹣x+5；
（2）∵直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，
∴，解得，
∴点C（3，2）．
（3）∵直线y＝2x﹣4与y＝﹣x+5分别交y轴于点E和点D，
∴D（0，5），E（0，﹣4），
∴S△DEC＝DE |xC|＝×9×3＝，
∵S△DEC＝3S△DEP，
∴S△DEP＝DE |xP|＝＝×，
∴|xP|＝1，
∴点P的坐标为（1，4）或（﹣1，6）．
22．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边的延长线上，且DA＝DE．
（1）如图1，若点D为BC中点，AB＝6，求CE的长；
（2）如图2，若点D为线段BC上的任意一点，求证：AC＝CE+CD．
【分析】（1）证明∠CDE＝∠E＝30°，可得结论；
（2）如图2中，在CA上取一点T，使得CT＝CD，连接DT，过点D作DH⊥AC于点H．证明AT＝CE，可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝∠ACB＝60°
又∵D是BC中点，
∴，，
∵DA＝DE，
∴∠DAC＝∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠E，
∴CE＝CD＝3，
答：CE的长为3．
（2）证明：如图2中，在CA上取一点T，使得CT＝CD，连接DT，过点D作DH⊥AC于点H．
∵CD＝CT，∠DCT＝60°，
∴△DCT是等边三角形，
∵DH⊥CT，
∴HT＝HC，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝EH，
∴AT＝CE，
∴AC＝CT+AT＝CD+EC．
七、（本题满分14分）
23．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用：
①已知直线y＝x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
【分析】（1）由条件可求得∠EBC＝∠ACD，利用AAS可证明△BEC≌△CDA；
（2）①过C作CD⊥x轴于点D，由直线解析式可求得A、B的坐标，利用模型结论可得CD＝BO，BD＝AO，从而可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的解析式；
②分三种情况考虑：如图2所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，分点P与点B重合，点P与点B不重合，由全等三角形的性质可得D点坐标；如图3所示，当∠APD＝90°时，AP＝PD，设点P的坐标为（8，m），表示出D点坐标为（14﹣m，m+8），列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图4所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理求出D的坐标．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠ACD，
在△BEC和△CDA中，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）①如图1，过C作CD⊥x轴于点D，
直线y＝x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，
令y＝0可求得x＝﹣4，令x＝0可求得y＝3，
∴OA＝3，OB＝4，
同（1）可证得△CDB≌△BAO，
∴CD＝BO＝4，BD＝AO＝3，
∴OD＝4+3＝7，
∴C（﹣7，4），且A（0，3），
设直线AC解析式为y＝kx+3，把C点坐标代入可得4＝﹣7k+3，解得k＝﹣
∴直线AC解析式为y＝﹣x+3，
（3）②∵B的坐标为（8，6），
∴AB＝8，BC＝6
如图2，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，
∴点D在AB的中垂线上，即点D横坐标为4
∴D点坐标（4，3）
∵当D点坐标（4，3）时，∠ADP≠90°，
∴D点坐标（4，3）不合题意；
如图，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，点P不与点B重合时，过点D作EF⊥AO，交AO于E，交BC于F，则EF⊥BC，
∵∠ADE+∠DAE＝90°，∠ADE+∠PDF＝90°，
∴∠DAE＝∠PDF，且∠AED＝∠DFP＝90°，AD＝PD，
∴△ADE≌△DPF（AAS）
∴AE＝DF，PF＝DE，
设点D（x，2x﹣5），
∴DE＝x，DF＝AE＝8﹣x，
∴8﹣x+2x﹣5＝6，
∴x＝3，
∴点D（3，1）；
如图3，当∠APD＝90°时，AP＝PD，
设点P的坐标为（8，m），则D点坐标为（14﹣m，m+8），由m+8＝2（14﹣m）﹣5，得m＝5，
∴D点坐标（9，13）；
如图4，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理可求得D点坐标（，），
综上所述：点D坐标为：（3，1）（9，13），（，）．
同课章节目录