2021-2022学年北京市第四十三中学九年级（下）开学数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年北京市第四十三中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（共16分，每小题2分）
1．某个几何体的展开图如图所示，该几何体是（　　）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆柱
2．5G是第五代移动通信技术，5G网络下载速度可以达到每秒1300000KB以上，这意味着下载一部高清电影只需1秒．将1300000用科学记数法表示应为（　　）
A．13×105 B．1.3×105 C．1.3×106 D．1.3×107
3．一副直角三角板有不同的摆放方式，图中满足∠α与∠β相等的摆放方式是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．若一个多边形的内角和为540°，则该多边形为（　　）边形．
A．四 B．五 C．六 D．七
5．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则不正确的结论是（　　）
A．|a|＞3 B．b﹣c＜0 C．ab＜0 D．a＞﹣c
6．随机从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a和b，则a+b＞4的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．甲、乙两名运动员的10次射击成绩（单位：环）如图所示，甲、乙两名运动员射击成绩的平均数依次记为甲，乙，射击成绩的方差依次记为s甲2，s乙2，则下列关系中完全正确的是（　　）
A．甲＝乙，s甲2＞s乙2 B．甲＝乙，s甲2＜s乙2
C．甲＞乙，s甲2＞s乙2 D．甲＜乙，s甲2＜s乙2
8．已知，如图，在菱形ABCD中．
（1）分别以C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；
（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；
（3）连接BM．
根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（　　）
A．∠ABC＝60° B．如果AB＝2，那么BM＝4
C．BC＝2CM D．S△ABM＝2S△ADM
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
10．请写出一个绝对值大于2的负无理数：　 　．
11．分解因式：xy2﹣4x＝　 　．
12．方程的解为 　 　．
13．已知点A（2，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为　 　．
14．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为 　 　寸．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，B（3，0），△AOB是等边三角形，动点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BO匀速运动，动点Q同时从点A出发以同样的速度沿OA延长线方向匀速运动，当点P到达点O时，点P，Q同时停止运动．过点P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．设运动时间为t秒，得出下面结论，当t＝1时，△OPQ为 　 　三角形；当t为任意值时，AB＝　 　DE．
16．某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1元，送乙类件每件收入2元．累计工作1小时，只送甲类件，最多可送30件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；…，经整理形成统计表如表：
累计工作时长最多件数（时）种类（件） 1 2 3 4 5 6 7 8
甲类件 30 55 80 100 115 125 135 145
乙类件 10 20 30 40 50 60 70 80
（1）如果快递员一天工作8小时，且只送某一类件，那么他一天的最大收入为　 　元；
（2）如果快递员一天累计送x小时甲类件，y小时乙类件，且x+y＝8，x，y均为正整数，那么他一天的最大收入为　 　元．
三、解答题（本题共68分）
17．计算：．
18．解不等式组：
19．已知a≠0，a+b≠0且a﹣b＝1，求代数式÷（a﹣）的值．
20．下面是小菲设计的“作一个角等于已知角的二倍”的尺规作图过程．
已知：△ABC中，AC＞BC．
求作：∠ADB，使得∠ADB＝2∠C．
作法：如图：
①分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于M、N点，作直线MN；
②分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于P、Q点，作直线PQ，MN和PQ交于点D；
③连接AD和BD，
④以点D为圆心，AD的长为半径作⊙D．
所以∠ADB＝2∠C．
根据小菲设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接CD，
∵MN和PQ分别为AC、AB的垂直平分线，
∴CD＝AD＝　 　．
∴⊙D是△ABC的外接圆．
∵点C是⊙D上的一点，
∴∠ADB＝2∠C． （　 　）（填推理的依据）
21．已知：关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）若方程有一根小于2，求m的取值范围．
22．如图，在 ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．
（1）求m，k的值；
（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D．
①当n＝2时，求线段CD的长；
②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
24．在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，点P为线段BC上一动点，当点P运动到某一位置时，它到点A，B的距离都等于a，到点P的距离等于a的所有点组成的图形为W，点D为线段BC延长线上一点，且点D到点A的距离也等于a．
（1）求直线DA与图形W的公共点的个数；
（2）过点A作AE⊥BD交图形W于点E，EP的延长线交AB于点F，当a＝2时，求线段EF的长．
25．2020年新冠肺炎疫情发生以来，我市广大在职党员积极参与社区防疫工作，助力社区坚决打赢疫情防控阻击战．其中，A社区有500名在职党员，为了解本社区2月﹣3月期间在职党员参加应急执勤的情况，A社区针对执勤的次数随机抽取50名在职党员进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
应急执勤次数的频数分布表
次数x/次 频数 频率
0≤x＜10 8 0.16
10≤x＜20 10 0.20
20≤x＜30 16 b
30≤x＜40 a 0.24
x≥40 4 0.08
中，应急执勤次数在20≤x＜30这一组的数据是：
20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）随机抽取的50名在职党员参加应急执勤次数的中位数是　 　；
（4）请估计2月﹣3月期间A社区在职党员参加应急执勤的次数不低于30次的约有　 　人．
26．已知二次函数y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝　 　；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；
（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
27．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，点D在AB上，连接CD，并将CD绕点D逆时针旋转60°得到DE，连接AE．
（1）如图1，当点D为AB中点时，直接写出DE与AE长度之间的数量关系；
（2）如图2，当点D在线段AB上时，
①根据题意补全图2；
②猜想DE与AE长度之间的数量关系，并证明．
参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．某个几何体的展开图如图所示，该几何体是（　　）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆柱
【分析】根据圆柱的侧面展开图是长方形解答．
解：∵圆柱的侧面展开图为长方形，两个底面都是圆，
∴这个几何体是圆柱，
故选：D．
2．5G是第五代移动通信技术，5G网络下载速度可以达到每秒1300000KB以上，这意味着下载一部高清电影只需1秒．将1300000用科学记数法表示应为（　　）
A．13×105 B．1.3×105 C．1.3×106 D．1.3×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：将数据1300000用科学记数法可表示为：1.3×106．
故选：C．
3．一副直角三角板有不同的摆放方式，图中满足∠α与∠β相等的摆放方式是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据“同角的余角相等”得出选项B符合题意．
解：选项B中，∠α、∠β都与中间的锐角互余，根据同角的余角相等可得∠α＝∠β，
故选：B．
4．若一个多边形的内角和为540°，则该多边形为（　　）边形．
A．四 B．五 C．六 D．七
【分析】根据多边形的内角和的公式（n﹣2）×180°＝540°，解方程即可求出n的值．
解：由多边形的内角和公式可得
（n﹣2）×180°＝540°
解得：n＝5
故选：B．
5．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则不正确的结论是（　　）
A．|a|＞3 B．b﹣c＜0 C．ab＜0 D．a＞﹣c
【分析】根据数轴，可以得到a、b、c的大小关系和a、b、c所在的位置，从而可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决．
解：由数轴可得，
a＜b＜0＜c，﹣4＜a＜﹣3，﹣1＜b＜0，4＜c＜5，
∴|a|＞3，故选项A正确；
b﹣c＜0，故选项B正确；
ab＞0，故选项C不正确；
a＞﹣c，故选项D正确；
故选：C．
6．随机从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a和b，则a+b＞4的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中a+b＞4的有8种结果，再由概率公式求解即可．
解：画树状图得：
共有12种等可能的结果，其中a+b＞4的有8种结果，
∴a+b＞4的概率是＝，
故选：B．
7．甲、乙两名运动员的10次射击成绩（单位：环）如图所示，甲、乙两名运动员射击成绩的平均数依次记为甲，乙，射击成绩的方差依次记为s甲2，s乙2，则下列关系中完全正确的是（　　）
A．甲＝乙，s甲2＞s乙2 B．甲＝乙，s甲2＜s乙2
C．甲＞乙，s甲2＞s乙2 D．甲＜乙，s甲2＜s乙2
【分析】分别计算平均数和方差后比较即可得到答案．
解：（1）甲＝（8×4+9×2+10×4）＝9；
乙＝（8×3+9×4+10×3）＝9；
s甲2＝[4×（8﹣9）2+2×（9﹣9）2+4×（10﹣9）2]＝0.8；
s乙2＝[3×（8﹣9）2+4×（9﹣9）2+3×（10﹣9）2]＝0.6；
∴甲＝乙，s甲2＞s乙2，
故选：A．
8．已知，如图，在菱形ABCD中．
（1）分别以C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；
（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；
（3）连接BM．
根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（　　）
A．∠ABC＝60° B．如果AB＝2，那么BM＝4
C．BC＝2CM D．S△ABM＝2S△ADM
【分析】由作图知，AF是CD的垂直平分线，连接AC，证明△ACD为等边三角形，便可判断A；由勾股定理在Rt△ADM中，求出AM，再在Rt△ABM中求得BM，便可判断B；由BC＝CD＝2CM，便可判断C；由三角形的面积公式和AB与DM的关系，便可判断D．
解：A．连接AC，由作图知，AF是CD的垂直平分线，则AC＝AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝AB＝BC，∠ABC＝∠ADC，
∴AC＝AD＝CD，
∴∠ADC＝60°，
∴∠ABC＝60°，
故A选项正确；
B．∵AB＝2，
∴AD＝2，
∵AM垂直平分CD，
∴DM＝CD＝1，∠AMD＝90°，
∴AM＝，
∵AB∥CD，
∴∠BAM＝∠AMD＝90°，
∴BM＝，
故B选项错误；
C．∵BC＝CD，CD＝2CM，
∴BC＝2CM，
故C选项正确；
D．∵，
AB AM，
∴S△ABM＝2S△ADM，
故D选项正确．
故选：B．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥1　．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
解：若在实数范围内有意义，
则x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
10．请写出一个绝对值大于2的负无理数：　（答案不唯一）　．
【分析】直接利用绝对值的性质和无理数的定义得出答案．
解：绝对值大于2的负无理数可以为：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
11．分解因式：xy2﹣4x＝　x（y+2）（y﹣2）　．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），
故答案为：x（y+2）（y﹣2）
12．方程的解为 　x＝1　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：去分母得：2x+2﹣x+3＝6x，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：2（x+1）≠0，
∴分式方程的解为x＝1．
故答案为：x＝1．
13．已知点A（2，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为　6　．
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为（2，3），然后把A′的坐标代入y＝中即可得到k的值．
解：点A（2，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（2，3），
把A′（2，3）代入y＝得k＝2×3＝6．
故答案为6．
14．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为 　26　寸．
【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．
解：连接OC，
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝10寸，
∴CE＝DE＝CD＝5寸，
设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得：x＝13，
∴AB＝26寸，
即直径AB的长为26寸，
故答案为：26．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，B（3，0），△AOB是等边三角形，动点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BO匀速运动，动点Q同时从点A出发以同样的速度沿OA延长线方向匀速运动，当点P到达点O时，点P，Q同时停止运动．过点P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．设运动时间为t秒，得出下面结论，当t＝1时，△OPQ为 　直角　三角形；当t为任意值时，AB＝　2　DE．
【分析】如图1中，取OQ的中点H，连接PH．证明PH＝OQ即可判断；如图2中，作PM∥OA交AB于M．想办法证明AD＝DM，ME＝EB即可解决问题．
解：如图1中，取OQ的中点H，连接PH，
∵t＝1，
∴AQ＝PB＝1，
∵B（3，0），
∴OB＝3，
∵△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝3，
∴OQ＝4，
∵OH＝HQ＝OQ＝2，
∴OH＝OP＝2，
∵∠HOP＝60°，
∴△HOP是等边三角形，
∴PH＝HQ，∠OHP＝∠OPH＝60°，
∴∠HQP＝∠HPQ，∠HQP+∠HPQ＝∠OHP＝60°，
∴∠HQP＝∠HPQ＝30°，
∴∠OPQ＝∠OPH+∠HPQ＝90°，
∴△OPQ是直角三角形；
如图2，作PM∥OA交AB于M，
∵PM∥OA，
∴∠BMP＝∠BAO＝60°，∠BPM＝∠AOB＝60°，∠AQD＝∠MPD，
∴△PMB是等边三角形，
∴PB＝PM＝AQ，
∵PE⊥BM，
∴EM＝BM，
∵∠AQD＝∠MPD，∠ADQ＝∠MQP，AQ＝PM，
∴△ADQ≌△MDP（AAS），
∴AD＝DM，
∴DE＝DM+ME＝AM+BM＝（AM+BM）＝AB，
即AB＝2DE，
故答案为：直角；2．
16．某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1元，送乙类件每件收入2元．累计工作1小时，只送甲类件，最多可送30件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；…，经整理形成统计表如表：
累计工作时长最多件数（时）种类（件） 1 2 3 4 5 6 7 8
甲类件 30 55 80 100 115 125 135 145
乙类件 10 20 30 40 50 60 70 80
（1）如果快递员一天工作8小时，且只送某一类件，那么他一天的最大收入为　160　元；
（2）如果快递员一天累计送x小时甲类件，y小时乙类件，且x+y＝8，x，y均为正整数，那么他一天的最大收入为　180　元．
【分析】（1）根据表格数据得出答案即可；
（2）利用表格中的数据，取整数解，得出最大收入即可．
解：（1）当只送乙类件时，他一天的最大收入为2×80＝160；
（2）∵x+y＝8，x，y均为正整数，
当x＝1，y＝7时，他一天的最大收入为30+2×70＝170元．
当x＝2，y＝6时，他一天的最大收入为55+2×60＝175元．
当x＝3，y＝5时，他一天的最大收入为80+2×50＝180元．
当x＝4，y＝4时，他一天的最大收入为100+2×40＝180元．
当x＝5，y＝3时，他一天的最大收入为115+2×30＝175元．
当x＝6，y＝2时，他一天的最大收入为125+2×20＝165元．
当x＝7，y＝1时，他一天的最大收入为135+2×10＝155元．
综上所述，他一天的最大收入为180元．
故答案为：160；180．
三、解答题（本题共68分）
17．计算：．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
解：原式＝2﹣1++3
＝3+2．
18．解不等式组：
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
解：，
由①得：x＞1，
由②得：x＞5，
则不等式组的解集为x＞5．
19．已知a≠0，a+b≠0且a﹣b＝1，求代数式÷（a﹣）的值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝
＝，
当a﹣b＝1时，原式＝＝．
20．下面是小菲设计的“作一个角等于已知角的二倍”的尺规作图过程．
已知：△ABC中，AC＞BC．
求作：∠ADB，使得∠ADB＝2∠C．
作法：如图：
①分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于M、N点，作直线MN；
②分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于P、Q点，作直线PQ，MN和PQ交于点D；
③连接AD和BD，
④以点D为圆心，AD的长为半径作⊙D．
所以∠ADB＝2∠C．
根据小菲设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接CD，
∵MN和PQ分别为AC、AB的垂直平分线，
∴CD＝AD＝　BD　．
∴⊙D是△ABC的外接圆．
∵点C是⊙D上的一点，
∴∠ADB＝2∠C． （　一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半　）（填推理的依据）
【分析】（1）根据小菲设计的尺规作图过程即可补全图形；
（2）根据圆周角定理即可完成证明．
解：（1）如图，
即为补全的图形；
（2）证明：连接CD，
∵MN和PQ分别为AC、AB的垂直平分线，
∴CD＝AD＝BD．
∴⊙D是△ABC的外接圆．
∵点C是⊙D上的一点，
∴∠ADB＝2∠C．（一条弧所对圆周角是它所对圆心角的一半）．
故答案为：BD；一条弧所对圆周角是它所对圆心角的一半．
21．已知：关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）若方程有一根小于2，求m的取值范围．
【分析】（1）先求出△，再判断出△不小于0，即可得出结论；
（2）先求出方程的两根，由一根小于2建立不等式求解，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣2）2﹣4×1 （﹣2m）＝m2+4m+4＝（m+2）2，
∵（m+2）2≥0，
∴△≥0，
∴关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0总有实数根；
（2）解：由（1）知，△＝（m+2）2，
∴x＝＝＝，
∴，，
∵方程有一根小于2，
∴﹣m＜2，
∴m＞﹣2，
即m的取值范围为m＞﹣2．
22．如图，在 ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC．所以∠CAD＝∠ACB＝90°．又∠ACE＝90°，即可证明四边形ACED是矩形；
（2）根据四边形ACED是矩形，和四边形ABCD是平行四边形，可以证明△ABE是等边三角形．再根据特殊角三角函数即可求出BF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠CAD＝∠ACB＝90°．
又∵∠ACE＝90°，DE⊥BC，
∴四边形ACED是矩形．
（2）解：∵四边形ACED是矩形，
∴AD＝CE＝2，AF＝EF，AE＝CD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝2，AB＝CD．
∴AB＝AE．
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
∴∠BFE＝90°，．
在Rt△BFE中，．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．
（1）求m，k的值；
（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D．
①当n＝2时，求线段CD的长；
②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）先利用一次函数解析式确定m的值得到A点坐标，然后把A点坐标代入y＝得到k的值；
（2）①利用C、D的纵坐标都为2得到C点和D点的横坐标，然后求两横坐标之差得到线段CD的长；
②先确定（﹣3，0），由于C、D的纵坐标都为n，根据一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征可表示出C（，n），D（n﹣3，n），讨论：当点C在点D的右侧时，先利用CD＝OB得到﹣（n﹣3）＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），再结合图象可判断当0＜n≤2时，CD≥OB；当点C在点D的左侧时，先利用CD＝OB得到n﹣3﹣＝3，解得n1＝3+，n2＝3﹣（舍去），再结合图象可判断当n≥3+时，CD≥OB．
解：（1）∵直线y＝x+3经过点A（1，m），
∴m＝1+3＝4，
∵反比例函数的图象经过点A（1，4），
∴k＝1×4＝4；
（2）①当n＝2时，点P的坐标为（0，2），
当y＝2时，2＝，解得x＝2，
∴点C的坐标为（2，2），
当y＝2时，x+3＝2，解得x＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣1，2），
∴CD＝2﹣（﹣1）＝3；
②当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣3，则B（﹣3，0）
当y＝n时，n＝，解得x＝，
∴点C的坐标为（，n），
当y＝n时，x+3＝n，解得x＝n﹣3，
∴点D的坐标为（n﹣3，n），
当点C在点D的右侧时，
若CD＝OB，即﹣（n﹣3）＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），
∴当0＜n≤2时，CD≥OB；
当点C在点D的左侧时，
若CD＝OB，即n﹣3﹣＝3，解得n1＝3+，n2＝3﹣（舍去），
∴当n≥3+时，CD≥OB，
综上所述，n的取值范围为0＜n≤2或n≥3+．
24．在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，点P为线段BC上一动点，当点P运动到某一位置时，它到点A，B的距离都等于a，到点P的距离等于a的所有点组成的图形为W，点D为线段BC延长线上一点，且点D到点A的距离也等于a．
（1）求直线DA与图形W的公共点的个数；
（2）过点A作AE⊥BD交图形W于点E，EP的延长线交AB于点F，当a＝2时，求线段EF的长．
【分析】（1）连接AP，根据圆周角定理得到∠APD＝45°，求得DA＝AP＝a，得到∠D＝∠APD＝45°，推出D A⊥PA，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAP＝∠B＝22.5°，求得∠PAC＝∠PCA＝67.5°，推出点C在⊙P上，根据垂径定理得到AC＝CE，求得∠APE＝90°，于是得到结论．
解：（1）直线DA与图形W的公共点的个数为1个；
∵点P到点A，B的距离都等于a，
∴点P为AB的中垂线与BC的交点，
∵到点P的距离等于a的所有点组成图形W，
∴图形W是以点P为圆心，a为半径的圆，
根据题意补全图形如图所示，
连接AP，
∵∠B＝22.5°，
∴∠APD＝45°，
∵点D到点A的距离也等于a，
∴DA＝AP＝a，
∴∠D＝∠APD＝45°，
∴∠PAD＝90°，
∴DA⊥PA，
∴DA为⊙P的切线，
∴直线DA与图形W的公共点的个数为1个；
（2）∵AP＝BP，
∴∠BAP＝∠B＝22.5°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠PAC＝∠PCA＝67.5°，
∴PA＝PC＝a，
∴点C在⊙P上，
∵AE⊥BD交图形W于点E，
∴＝，
∴AC＝CE，
∴∠DPE＝∠APD＝45°，
∴∠APE＝90°，
∵EP＝AP＝a＝2，
∴AE＝，∠E＝45°，
∵∠B＝22.5°，AE⊥BD，
∴∠BAE＝67.5°，
∴∠AFE＝∠BAE＝67.5°．
∴EF＝AE＝．
25．2020年新冠肺炎疫情发生以来，我市广大在职党员积极参与社区防疫工作，助力社区坚决打赢疫情防控阻击战．其中，A社区有500名在职党员，为了解本社区2月﹣3月期间在职党员参加应急执勤的情况，A社区针对执勤的次数随机抽取50名在职党员进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
应急执勤次数的频数分布表
次数x/次 频数 频率
0≤x＜10 8 0.16
10≤x＜20 10 0.20
20≤x＜30 16 b
30≤x＜40 a 0.24
x≥40 4 0.08
中，应急执勤次数在20≤x＜30这一组的数据是：
20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝　12　，b＝　0.32　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）随机抽取的50名在职党员参加应急执勤次数的中位数是　23　；
（4）请估计2月﹣3月期间A社区在职党员参加应急执勤的次数不低于30次的约有　160　人．
【分析】（1）根据频率＝频数÷总数求解可得；
（2）根据以上所求结果即可补全图形；
（3）根据中位数的概念找到第25、26个数据，再取其平均数即可得；
（4）用总人数乘以样本中参加应急执勤的次数不低于30次的人数所占比例即可得．
解：（1）a＝0.24×50＝12，b＝16÷50＝0.32，
故答案为：12、0.32；
（2）补全直方图如下：
（3）随机抽取的50名在职党员参加应急执勤次数的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为23、23，
所以随机抽取的50名在职党员参加应急执勤次数的中位数是＝23（次）；
故答案为：23次；
（4）估计2月﹣3月期间A社区在职党员参加应急执勤的次数不低于30次的约有500×＝160（人），
故答案为：160．
26．已知二次函数y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝　1　；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；
（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）由对称轴是直线x＝﹣，可求解；
（2）分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；
（3）利用函数图象的性质可求解．
解：（1）由题意可得：对称轴是直线x＝＝1，
故答案为：1；
（2）当a＞0时，∵对称轴为x＝1，
当x＝1时，y有最小值为﹣a，当x＝3时，y有最大值为3a，
∴3a﹣（﹣a）＝4．
∴a＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x；
当a＜0时，同理可得
y有最大值为﹣a； y有最小值为3a，
∴﹣a﹣3a＝4，
∴a＝﹣1，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x；
综上所述，二次函数的表达式为y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；
（3）∵a＜0，对称轴为x＝1，
∴x≤1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，x＝﹣1和x＝3时的函数值相等，
∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，
∴t≥﹣1，t+1≤3，
∴﹣1≤t≤2．
27．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，点D在AB上，连接CD，并将CD绕点D逆时针旋转60°得到DE，连接AE．
（1）如图1，当点D为AB中点时，直接写出DE与AE长度之间的数量关系；
（2）如图2，当点D在线段AB上时，
①根据题意补全图2；
②猜想DE与AE长度之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）想办法证明△ADE是等边三角形即可解决问题．
（2）①根据要求画出图形即可．
②首先证明△的长，△FBC都是等边三角形，再证明△ECF≌△DCB，推出∠4＝∠5＝60°，证明△EFA≌△EFC（SAS）可得结论．
解：（1）结论：DE＝AE．
理由：如图1中，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，∠B＝60°，
∵AD＝DB，
∴CD＝AD＝DB，
∴△CDB是等边三角形，
∴∠CDB＝60°，
∵DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝180°﹣∠ED﹣∠CDB＝60°，
∵DA＝DC，DC＝DE，
∴AD＝DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE．
（2）①图形如图2所示：
②如图2﹣1中，结论：DE＝AE．
理由：取AB的中点F，连接CE，CF，EF．
∵∠ACB＝90°，AF＝BF，
∴CF＝AF＝BF，
∵∠B＝60°，
∴△BCF是等边三角形，
∵DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴△ECD是等边三角形，
∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝60°，CE＝CD，CF＝CB，
∴∠1＝∠3，
∴△ECF≌△DCB（SAS），
∴∠5＝∠B＝60°，
∵∠6＝60°，
∴∠4＝∠5＝60°，
∵EF＝EF，FA＝FC，
∴△EFA≌△EFC（SAS），
∴AE＝EC，
∵EC＝ED，
∴AE＝ED．