27.2.2相似三角形的性质 课件（共27张PPT）
文档属性
| 名称 | 27.2.2相似三角形的性质 课件（共27张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 552.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-07 08:47:51 | ||
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文档简介
(共27张PPT)
第二十七章 相似
人教版九年级数学下册
27.2 相似三角形
27.2.2 相似三角形的性质
情境引入
问题1:把一个三角形放大k倍（或缩小1/k），那么这个三角形的边是否会变化？角呢？
问题2:三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素
如果两个三角形相似，
那么，对应的这些要素
有什么关系呢？
高
中线
角平分线
周长
面积
探究新知
问题3：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
解：如图，分别作出△ABC和△A' B' C' 的高AD和A' D' ．则:
∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∴△ABD∽△A' B' D'
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B' ，
∴
类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.
由此我们可以得到：
相似三角形对应高的比等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
对应线段包括了对应边，对应边上的中线、高、对应角的平分线
解：∵ △ABC∽△DEF，
解得:EH＝3.2(cm).
答：EH的长为3.2cm.
D
E
F
H
5 已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.
A
G
B
C
例题解析
例1
变式迁移
1. 若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为( )
A．3∶2 B．3∶5
C．9∶4 D．4∶9
A
2．如果两个相似三角形的对应高的比为2:3，那么对应角平分线的比是_____，对应边上的中线的比是______ .
3．△ABC与△A'B'C'的相似比为3:4，若BC边上的高AD＝12cm，则B'C'边上的高A'D'＝_______
2:3
2:3
16cm
4．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP，DQ是中线，若AP＝2，则DQ的值为( )
A．2 B．4 C．1 D.
C
问题4.相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？
如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么:
因此
AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'
从而
结论：相似三角形周长的比等于相似比.
已知两个相似三角形的最短边分别为9 cm和6 cm. 若它们的周长之和为60 cm，则这两个三角形的周长分别是多少？
例题解析
例2
导引：两个相似三角形的最短边就是一组对应边，由此
可确定相似比，进而根据已知条件，解以一个三角形周
长为未知数的方程即可．
解：设△ABC∽△A1B1C1，且△ABC中的最短边
AC＝9 cm，△A1B1C1中的最短边A1C1＝6 cm.
则
∴△ABC和△A1B1C1的相似比为
设△ABC的周长为x cm，
则△A1B1C1的周长为(60－x)cm.
∴
∴△ABC的周长为36 cm，△A1B1C1的周长为24 cm.
1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝ 30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的周长之比为( )
A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．1：5
A
变式迁移
2. 如图，AB∥CD，AO∶AD＝2∶5.若△AOB的周长为12，求△COD的周长．
3.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1∶2，若BC＝30 cm，AD＝10 cm，求矩形EFGH的周长．
导引：由四边形EFGH为矩形，得EH∥BC，
所以△AEH与△ABC相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比可求出HG的长，进而求出EH的长，即可求得矩形EFGH的周长．
解：设HG＝x cm，则EH＝2x cm. 易得AP⊥EH.
∵AD＝10 cm，∴AP＝(10－x) cm.
∵四边形EFGH为矩形，∴EH∥BC，
∴△AEH ∽ △ABC．
∴
解得 x=6．
∴HG＝6 cm，EH＝12 cm.
∴矩形EFGH的周长为36 cm.
问题5：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们的面积比是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
由前面的结论，我们有:
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
由此得出
如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE ，AC=2DF，
∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6，面积为 ，
求△DEF的边EF上的高和面积.
例题解析
例3
解：在△ABC和△DEF中，
∵AB=2DE,AC=2DF，
又∵∠D=∠A
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为1:2.
∵△ABC 的边BC上的高是 6，面积是 ，
∴△DEF 的边EF上的高为 ×6=3，
面积为
1.判断：
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍.（ ）
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍.（ ）
√
×
变式迁移
2. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于______.
1 : 2
1 : 4
3. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm，
若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则
较小三角形的周长____cm，面积为____cm2.
14
4．如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB，
AC于点D，E，S△ADE＝2S△DCE，求S△ADE∶S△ABC.
解：相似 （△A1B1C1∽△A2B2C2 ）
∵
∴
5.如图，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.
6.如图，D、E分别是AC、AB上的点，已知△ABC的面积为100cm2 ，且 ，求四边形BCDE的面积.
∴△ADE∽△ABC
∵它们的相似比为3：5，
∴面积比为9：25.
又∵△ABC的面积为100 cm2，
∴△ADE的面积为36 cm2 .
∴四边形BCDE的面积为100-36=64（cm2） .
解：∵∠BAC=∠DAE，且
直击中考
1.（2021 遂宁）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（ ）
A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2
B
知识小结
相似三角形的性质
相似三角形对应线段的比等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似三角形性质的运用
祝大家愉快! 再见
第二十七章 相似
人教版九年级数学下册
27.2 相似三角形
27.2.2 相似三角形的性质
情境引入
问题1:把一个三角形放大k倍（或缩小1/k），那么这个三角形的边是否会变化？角呢？
问题2:三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素
如果两个三角形相似，
那么，对应的这些要素
有什么关系呢？
高
中线
角平分线
周长
面积
探究新知
问题3：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
解：如图，分别作出△ABC和△A' B' C' 的高AD和A' D' ．则:
∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∴△ABD∽△A' B' D'
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B' ，
∴
类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.
由此我们可以得到：
相似三角形对应高的比等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
对应线段包括了对应边，对应边上的中线、高、对应角的平分线
解：∵ △ABC∽△DEF，
解得:EH＝3.2(cm).
答：EH的长为3.2cm.
D
E
F
H
5 已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.
A
G
B
C
例题解析
例1
变式迁移
1. 若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为( )
A．3∶2 B．3∶5
C．9∶4 D．4∶9
A
2．如果两个相似三角形的对应高的比为2:3，那么对应角平分线的比是_____，对应边上的中线的比是______ .
3．△ABC与△A'B'C'的相似比为3:4，若BC边上的高AD＝12cm，则B'C'边上的高A'D'＝_______
2:3
2:3
16cm
4．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP，DQ是中线，若AP＝2，则DQ的值为( )
A．2 B．4 C．1 D.
C
问题4.相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？
如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么:
因此
AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'
从而
结论：相似三角形周长的比等于相似比.
已知两个相似三角形的最短边分别为9 cm和6 cm. 若它们的周长之和为60 cm，则这两个三角形的周长分别是多少？
例题解析
例2
导引：两个相似三角形的最短边就是一组对应边，由此
可确定相似比，进而根据已知条件，解以一个三角形周
长为未知数的方程即可．
解：设△ABC∽△A1B1C1，且△ABC中的最短边
AC＝9 cm，△A1B1C1中的最短边A1C1＝6 cm.
则
∴△ABC和△A1B1C1的相似比为
设△ABC的周长为x cm，
则△A1B1C1的周长为(60－x)cm.
∴
∴△ABC的周长为36 cm，△A1B1C1的周长为24 cm.
1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝ 30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的周长之比为( )
A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．1：5
A
变式迁移
2. 如图，AB∥CD，AO∶AD＝2∶5.若△AOB的周长为12，求△COD的周长．
3.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1∶2，若BC＝30 cm，AD＝10 cm，求矩形EFGH的周长．
导引：由四边形EFGH为矩形，得EH∥BC，
所以△AEH与△ABC相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比可求出HG的长，进而求出EH的长，即可求得矩形EFGH的周长．
解：设HG＝x cm，则EH＝2x cm. 易得AP⊥EH.
∵AD＝10 cm，∴AP＝(10－x) cm.
∵四边形EFGH为矩形，∴EH∥BC，
∴△AEH ∽ △ABC．
∴
解得 x=6．
∴HG＝6 cm，EH＝12 cm.
∴矩形EFGH的周长为36 cm.
问题5：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们的面积比是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
由前面的结论，我们有:
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
由此得出
如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE ，AC=2DF，
∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6，面积为 ，
求△DEF的边EF上的高和面积.
例题解析
例3
解：在△ABC和△DEF中，
∵AB=2DE,AC=2DF，
又∵∠D=∠A
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为1:2.
∵△ABC 的边BC上的高是 6，面积是 ，
∴△DEF 的边EF上的高为 ×6=3，
面积为
1.判断：
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍.（ ）
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍.（ ）
√
×
变式迁移
2. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于______.
1 : 2
1 : 4
3. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm，
若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则
较小三角形的周长____cm，面积为____cm2.
14
4．如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB，
AC于点D，E，S△ADE＝2S△DCE，求S△ADE∶S△ABC.
解：相似 （△A1B1C1∽△A2B2C2 ）
∵
∴
5.如图，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.
6.如图，D、E分别是AC、AB上的点，已知△ABC的面积为100cm2 ，且 ，求四边形BCDE的面积.
∴△ADE∽△ABC
∵它们的相似比为3：5，
∴面积比为9：25.
又∵△ABC的面积为100 cm2，
∴△ADE的面积为36 cm2 .
∴四边形BCDE的面积为100-36=64（cm2） .
解：∵∠BAC=∠DAE，且
直击中考
1.（2021 遂宁）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（ ）
A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2
B
知识小结
相似三角形的性质
相似三角形对应线段的比等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似三角形性质的运用
祝大家愉快! 再见