高中数学人教A版（2019）必修 第二册 6.4.3.1 余弦定理同步训练 （word含解析）

6.4.3.1 余弦定理（同步检测）
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝(　　)
A．30°　　　　B．45°
C．60° D．90°
2.在△ABC中，cos C＝－，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)
A．4 B．
C. D．2
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC (　　)
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
4.在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝(2＋)bc，则角A等于 (　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
5.(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且bA．b＝2 B．b＝2
C．B＝60° D．B＝30°
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为(　　)
A．7.5 B．7
C．6 D．5
7.在锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是 (　　)
A．1C.8. 2020年新型冠状病毒肺炎蔓延全国，作为主要战场的武汉，仅用了十余天就建成了“小汤山”模式的火神山医院和雷神山医院，再次体现了中国速度．随着疫情发展，某地也需要参照“小汤山”模式建设临时医院，其占地是一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400 m的等腰三角形组成的图形(如图所示)，为使占地面积最大，则等腰三角形的底角为(　　)
A. B．
C. D.
9.已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________
10.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是________
11.在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是_______
12.(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin C＝，a＝2，b＝2，求c；
(2)在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状．
13.在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.
(1)求b，c的值；(2)求sin(B＋C)的值．
14.如图所示，在△ABC中，sin＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝，求cos∠ACB的值．
15.已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.
(1)求证：acos B＋bcos A＝c；
(2)在①＝，②ccos A＝2bcos A－acos C，③2a－＝，这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答，若a＝7，b＝5，______，求△ABC的周长．
参考答案：
1.C
解析：∵a＝，b＝3，c＝2，∴由余弦定理得，cos A＝＝＝，
又由A∈(0°，180°)，得A＝60°，故选C.
2.A
解析：在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
∴AB＝＝4.
3.C
解析：由>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．
4.A
解析：∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝(2＋)bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝，
∴A＝30°.
5.AD
解析：由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b＋8＝0 (b－2)(b－4)＝0，
由b6.D
解析：∵bcos A＋acos B＝c2，∴由余弦定理可得b·＋a·＝c2，整理可得2c2＝2c3，
解得c＝1，则△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋1＝5.
7.C
解析：若a为最大边，则b2＋c2－a2>0，即a2<5，
∴a<；若c为最大边，则a2＋b2>c2，即a2>3，∴a>，故8. D
解析：设顶角为α，由三角形的面积公式可得4个等腰三角形的面积和为4××400×400sin α，由余弦定理可得正方形边长为＝400，故正方形面积为160 000(2－2cos α)＝320 000(1－cos α)，所以所求占地面积为320 000(1－cos α＋sin α)＝320 000，故当α－＝，即α＝时，占地面积最大，此时底角为＝.
9.答案：0
解析：∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.
10.答案：120°
解析：设中间角为θ，则θ为锐角，cos θ＝＝，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求．
11.答案：
解析：cos B＝＝＝＋≥.∵012.解：(1)∵sin C＝，且0当C＝时，cos C＝，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝4，
∴c＝2.当C＝时，cos C＝－，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝28，∴c＝2.综上所述，c的值为2或2.
(2)由余弦定理知cos A＝，
cos B＝，cos C＝，代入已知条件，得
a·＋b·＋c·＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(c2＋a2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4. ∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
13.解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝32＋c2－2×3×c×.因为b＝c＋2，
所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，解得c＝5，所以b＝7.
(2)因为cos A＝＝，所以sin A＝＝.
在△ABC中，B＋C＝π－A，所以sin(B＋C)＝sin A＝.
14.解：因为sin＝，所以cos∠ABC＝1－2sin2＝1－2×2＝1－2×＝.
在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，由余弦定理可得9b2＝a2＋4－a.①
在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得cos∠ADB＝，cos∠BDC＝.
因为cos∠ADB＝－cos∠BDC，所以＝－，所以3b2－a2＝－6.②
由①②可得a＝3，b＝1，则BC＝3，AC＝3，所以cos∠ACB＝＝＝.
15.(1)证明：根据余弦定理：acos B＋bcos A＝a·＋b·＝＝c，
所以acos B＋bcos A＝c.
(2)解：选①：因为＝，所以2c·cos A＝bcos A＋acos B，
所以由(1)中所证结论可知，2ccos A＝c，即cos A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝；
选②：因为ccos A＝2bcos A－acos C，所以2bcos A＝acos C＋ccos A，
由(1)中的证明过程同理可得，acos C＋ccos A＝b，所以2bcos A＝b，即cos A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝；
选③：因为2a－b·＝c·，所以2acos A＝bcos C＋ccos B，
由(1)中的证明过程同理可得，bcos C＋ccos B＝a，所以2acos A＝a，即cos A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
选①或选②或选③中的任一条件，都可得A＝.
在△ABC中，由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋c2－10c·＝49，即c2－5c－24＝0，
解得c＝8或c＝－3(舍去)，所以a＋b＋c＝7＋5＋8＝20，即△ABC的周长为20.