6.3.1 平面向量基本定理 同步检测（Word含答案解析）

6.3.1 平面向量基本定理（同步检测）
1.如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于(　　)
A.(5e1＋3e2)　　　　B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1)
2.平行四边形ABCD，P是对角线AC所在直线上一点，且＝t＋(t－1)，则t＝(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．任意实数
3.如图，向量a－b等于(　　)
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
4.在△ABC中，＝，P是BN上的一点．若＝m＋，则实数m=(　　)
A. B.
C. D.
5.设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)
A．＝－＋ B．＝－
C．＝＋ D．＝－
6.如图，向量，，的终点在同一直线上，且＝－3. 设＝p，＝q，
＝r，则下列等式中成立的是(　　)
A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q D．r＝－q＋2p
7.如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且＋＝x ＋y，
则＋的最小值为 (　　)
A. B．2
C. D.
8.(多选)由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则，正确的选项有(　　)
A．“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”
B．“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”
C．“(mn)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”
D．“＝”类比得到“＝”
9.(多选)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，则下列四个结论中正确的是 (　　)
A．|a＋b|>1 θ∈ B．|a＋b|>1 θ∈
C．|a－b|>1 θ∈ D．|a－b|>1 θ∈
10.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x＋y)e1＋(3x＋2y)e2＝0，则x＋y＝________
11.如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，
若＝a，＝b，用a，b表示＝_________
12.若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________
13.如图，在△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点．若＝a，＝b，用a，b表示，，.
14.在梯形ABCD中，∥，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k.设＝e1，
＝e2，以e1，e2为基底表示向量，， .
15.设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)求证：{a，b}可以作为一个基底；
(2)以{a，b}为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
参考答案：
1.A
解析：＝＝(－)＝(＋)＝(5e1＋3e2)．
2.B
解析：因为，，共始点，且P，A，C三点共线，所以t＋t－1＝1，故t＝1，故选B.
3.C
解析：不妨令a＝，b＝，则a－b＝－＝，由平行四边形法则可知＝e1－3e2.
4C
解析：设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ＝(1－λ)＋＝m＋，∴解得
5.A
解析：由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋.
6.A
解析：∵＝－3，∴＝－2＝2.
∴r＝＝＋＋＝＋＋＝＋(－)＝－＝－p＋q.
7.D
解析：设＝m＋n，＝λ＋μ.
∵B，D，E，C共线，∴m＋n＝1，λ＋μ＝1.
∵＋＝x＋y，则x＋y＝2，
∴＋＝(x＋y)＝≥＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，
∴＋的最小值为.
8.AB
解析：对于A，“a·b＝b·a”是向量的数量积的交换律，根据向量数量积的定义可知是正确的；对于B，“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”是向量数量积对于加法的分配律，这是正确的；对于C，“(a·b)·c＝a·(b·c)”这是错误的，左边是与向量c共线的向量，右边是与向量a共线的向量，其中a·b，b·c都是实数；对于D，“＝”这是错误的，等号右边的向量的除法是无意义的，向量没有除法的概念．
9.AD
解析：因为|a＋b|>1，则|a|2＋2a·b＋|b|2>1，可得a·b>－，即|a||b|cos θ＝cos θ>－，所以θ∈，故A正确，B错误．因为|a－b|>1，即|a|2－2a·b＋|b|2>1，可知a·b<，即|a||b|·cos θ＝cos θ<，所以θ∈，故D正确，C错误．
10.答案：0
解析：∵e1，e2不共线，∴解得∴x＋y＝0.
11.答案：a＋b
解析：＝－＝＋－＝a＋b－＝a＋b－×＝a＋b－(a－b)＝a＋b.
12.答案：1∶4
解析：如图，由＝＋可知M，B，C三点共线，令＝λ ，则
＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ λ＝，
所以＝，即面积之比为1∶4.
13.解：＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b；＝＋＝＋＝a＋(b－a)
＝a＋b.
14.解：如图所示，∵＝e2，且＝k，∴＝k＝ke2.
又∵＋＋＋＝0，
∴＝－－－＝－＋＋＝e1＋(k－1)e2.
又∵＋＋＋＝0，且＝－，＝，
∴＝－－－＝－＋＋＝e2.
15.解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得
∴λ不存在，故a与b不共线，∴{a，b}可以作为一个基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴ ∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴ 故所求λ，μ的值分别为3和1.