高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册__——空间向量与立体几何单元测试卷2 （word含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册__——空间向量与立体几何单元测试卷2 （word含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 914.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-09 08:10:03 | ||
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文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
——空间向量与立体几何
一、单选题
1．在四面体中，为的中点，为棱上的点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知空间向量，，，下列命题中正确的个数是（ ）
①若与共线，与共线，则与共线；
②若，，非零且共面，则它们所在的直线共面；
⑧若，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一有序实数组，使得；
④若，不共线，向量，则可以构成空间的一个基底.
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在空间直角坐标系中，，，若∥，则x的值为（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
5．在长方体，=2，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，，P是该正四棱柱表面或内部一点，直线PB，PC与底面ABCD所成的角分别记为α，β，且sinβ＝2sinα，记动点P的轨迹与棱BC的交点为Q，则下列说法正确的是（ ）
A．Q为BC中点
B．线段PA1长度的最小值为5
C．存在一点P，使得PQ∥平面AB1D1
D．若P在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1表面，则点P的轨迹长度为
8．下列说法不正确的是（ ）
A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
B．若，，不共线，且，则，，、四点共面
C．对同一平面内给定的三个向量，，，一定存在唯一的一对实数，，使得.
D．中，若，则一定是钝角三角形.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
9．在空间直角坐标系中，已知，，，，则___________.
10．如图：二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，则的长等于__________.
11．已知空间向量，，，若，，共面，则实数___________.
12．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，给人民生命财产安全和生产生活造成了严重影响.在党和政府强有力的领导下，全国人民众志成城，取得了抗击疫情战争的重大胜利，社会生产、生活全面恢复正常.某中学结合抗疫组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作临时隔离帐篷.将一块边长为6m的正方形材料先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图2），该四棱锥底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心.则直线与平面所成角的正弦值为______.
四、解答题
13．已知正方体的棱长为1，求，cos．
14．如果平面与平面平行，是平面的一个法向量，那么是平面的一个法向量吗？
15．已知分别为两条不重合的直线，的方向向量，判断下列各组中两条直线的位置关系是平行还是垂直：
(1)，；
(2)，．
16．如图所示，直三棱柱中，，点M在线段上，，求直线与平面所成角的正弦值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
利用空间向量加法运算，减法运算，数乘运算即可得到答案.
【详解】
如图
故选：A
2．B
【解析】
【分析】
用向量共线或共面的基本定理即可判断.
【详解】
若 与 ， 与共线， ，则不能判定 ，
故①错误；
若非零向量共面，则向量 可以在一个与 组成的平面平行的平面上，
故②错误；
不共面，意味着它们都是非零向量，可以作为一组基底，
故③正确；
，∴ 与 共面，故 不能组成一个基底，
故④错误；
故选：C.
3．D
【解析】
【分析】
将用基底表示，然后利用空间向量数量积的运算性质可求得结果.
【详解】
因为四边形为平行四边形，且，则为的中点，
，
则
.
故选：D.
4．D
【解析】
【分析】
依题意可得，即可得到方程组，解得即可；
【详解】
解：依题意，即，所以，解得
故选：D
5．A
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案.
【详解】
由题意可知DA，DC，两两垂直，则以D为原点，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设，则，，，，
，，
从而，
故异面直线与所成角的余弦值是.
故选：A
6．A
【解析】
【分析】
根据平行六面体的特征和空间向量的线性运算依次对选项的式子变形，即可判断.
【详解】
A：
，故A正确；
B：
，故B错误；
C：
，故C错误；
D：
，故D错误；
故选：A
7．BD
【解析】
【分析】
A选项：建立空间直角坐标系，设，求出点的轨迹是以为球心，以2为半径的球再正四棱柱内部（含表面）的部分，进而可判断A选项；
B选项：设球心，则，所以线段长度的最小值为，从而可判断B正确；
C选项：证得球与矩形的交线为弧，球与矩形的交线为弧，所以与球没有交点，进而可判断C选项；
D选项：证得球与矩形的交线为弧，球与矩形的交线为弧，球与正方形的交线为弧，进而求出弧长，即可判断D选项.
【详解】
A选项：如图所示，建立空间直角坐标系，设，过点作平面，垂足为，连接，则，由题意可知，所以，因为，所以，即，所以点的轨迹是以为球心，以2为半径的球再正四棱柱内部（含表面）的部分，由题意得当为中点时不满足题意，故A错误；
B选项：设球心，则，所以线段长度的最小值为，故B正确；
C选项：由题知，过点作交于点，过点作交于点，所以,平面,平面，所以平面，同理平面，又， 平面，所以平面平面，所以，设球与棱的交点为，与的交点为，,，所以球与矩形的交线为弧，球与矩形的交线为弧，所以与球没有交点，所以不存在点，使得面，故C错误；
D选项：因为球与矩形的交线为弧，球与矩形的交线为弧，球与正方形的交线为弧，由于，所以，所以弧=弧=，弧=，所以点在正四棱柱表面，则点的轨迹的长度为，故D正确.
故选：BD.
【点睛】
空间几何体的线面位置关系判定与证明：
（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；
（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.
8．ACD
【解析】
【分析】
对于A，由与的数量积大于0且不共线计算判断；对于B，变形，由空间共面向量
定理判断；对于C，由平面向量基本定理判断；对于D，利用平面向量数量积运算判断作答.
【详解】
对于A，依题意，，且与不同向共线，求得，解得：且，A错误；
对于B，由，则，即，
于是得共面，且公共起点C，而，，不共线，，，，四点共面，B正确；
对于C，同一平面内不共线的非零向量，，，才存在唯一的一对实数，，使得，否则不成立，C错误；
对于D，在中，，则，于是得是锐角，不能确定是钝角三角形，D错误.
故选：ACD
9．或##或
【解析】
【分析】
根据向量平行时坐标的关系和向量的模公式即可求解.
【详解】
，且，
设，
，解得，
或.
故答案为：或.
10．
【解析】
【分析】
由题意，二面角等于，根据，结合向量的运算，即可求解.
【详解】
由题意，二面角等于，
可得向量，，
因为，可得,
所以
.
故答案为：
11．1
【解析】
【分析】
根据向量共面，可设，先求解出的值，则的值可求.
【详解】
因为，，共面且，不共线，所以可设，
所以，所以，
所以，所以，
故答案为：1.
12．
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，求出与平面的法向量为.利用直线与平面所成角的正弦值为计算即可求出答案.
【详解】
设与的交点为点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系
，，，.
故.
，
设平面的法向量为.
，
直线与平面的法向量的余弦值为：
则直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
13．；
【解析】
【分析】
以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算可求得答案..
【详解】
解：以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
则 ，，，
所以，
所以，.
14．是平面的一个法向量.理由见解析.
【解析】
【分析】
由法向量的定义即可得到答案.
【详解】
由题意，是平面的一个法向量，所以，而，所以，于是是平面的一个法向量.
15．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用空间向量垂直的坐标表示判断；
（2）利用空间向量平行的坐标表示判断.
(1)
解：因为，所以.
(2)
解：由题得，所以.
16．
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的法向量,直线与平面所成角的正弦值为.
【详解】
解：如图，在直三棱柱中，，故,,两两垂直.
以点为坐标原点，,,分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则,,,,,
所以,,又,,
所以,.
设是平面的一个法向量，则,即，
取，则，，得.
设直线与平面所成的角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
——空间向量与立体几何
一、单选题
1．在四面体中，为的中点，为棱上的点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知空间向量，，，下列命题中正确的个数是（ ）
①若与共线，与共线，则与共线；
②若，，非零且共面，则它们所在的直线共面；
⑧若，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一有序实数组，使得；
④若，不共线，向量，则可以构成空间的一个基底.
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在空间直角坐标系中，，，若∥，则x的值为（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
5．在长方体，=2，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，，P是该正四棱柱表面或内部一点，直线PB，PC与底面ABCD所成的角分别记为α，β，且sinβ＝2sinα，记动点P的轨迹与棱BC的交点为Q，则下列说法正确的是（ ）
A．Q为BC中点
B．线段PA1长度的最小值为5
C．存在一点P，使得PQ∥平面AB1D1
D．若P在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1表面，则点P的轨迹长度为
8．下列说法不正确的是（ ）
A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
B．若，，不共线，且，则，，、四点共面
C．对同一平面内给定的三个向量，，，一定存在唯一的一对实数，，使得.
D．中，若，则一定是钝角三角形.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
9．在空间直角坐标系中，已知，，，，则___________.
10．如图：二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，则的长等于__________.
11．已知空间向量，，，若，，共面，则实数___________.
12．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，给人民生命财产安全和生产生活造成了严重影响.在党和政府强有力的领导下，全国人民众志成城，取得了抗击疫情战争的重大胜利，社会生产、生活全面恢复正常.某中学结合抗疫组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作临时隔离帐篷.将一块边长为6m的正方形材料先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图2），该四棱锥底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心.则直线与平面所成角的正弦值为______.
四、解答题
13．已知正方体的棱长为1，求，cos．
14．如果平面与平面平行，是平面的一个法向量，那么是平面的一个法向量吗？
15．已知分别为两条不重合的直线，的方向向量，判断下列各组中两条直线的位置关系是平行还是垂直：
(1)，；
(2)，．
16．如图所示，直三棱柱中，，点M在线段上，，求直线与平面所成角的正弦值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
利用空间向量加法运算，减法运算，数乘运算即可得到答案.
【详解】
如图
故选：A
2．B
【解析】
【分析】
用向量共线或共面的基本定理即可判断.
【详解】
若 与 ， 与共线， ，则不能判定 ，
故①错误；
若非零向量共面，则向量 可以在一个与 组成的平面平行的平面上，
故②错误；
不共面，意味着它们都是非零向量，可以作为一组基底，
故③正确；
，∴ 与 共面，故 不能组成一个基底，
故④错误；
故选：C.
3．D
【解析】
【分析】
将用基底表示，然后利用空间向量数量积的运算性质可求得结果.
【详解】
因为四边形为平行四边形，且，则为的中点，
，
则
.
故选：D.
4．D
【解析】
【分析】
依题意可得，即可得到方程组，解得即可；
【详解】
解：依题意，即，所以，解得
故选：D
5．A
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案.
【详解】
由题意可知DA，DC，两两垂直，则以D为原点，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设，则，，，，
，，
从而，
故异面直线与所成角的余弦值是.
故选：A
6．A
【解析】
【分析】
根据平行六面体的特征和空间向量的线性运算依次对选项的式子变形，即可判断.
【详解】
A：
，故A正确；
B：
，故B错误；
C：
，故C错误；
D：
，故D错误；
故选：A
7．BD
【解析】
【分析】
A选项：建立空间直角坐标系，设，求出点的轨迹是以为球心，以2为半径的球再正四棱柱内部（含表面）的部分，进而可判断A选项；
B选项：设球心，则，所以线段长度的最小值为，从而可判断B正确；
C选项：证得球与矩形的交线为弧，球与矩形的交线为弧，所以与球没有交点，进而可判断C选项；
D选项：证得球与矩形的交线为弧，球与矩形的交线为弧，球与正方形的交线为弧，进而求出弧长，即可判断D选项.
【详解】
A选项：如图所示，建立空间直角坐标系，设，过点作平面，垂足为，连接，则，由题意可知，所以，因为，所以，即，所以点的轨迹是以为球心，以2为半径的球再正四棱柱内部（含表面）的部分，由题意得当为中点时不满足题意，故A错误；
B选项：设球心，则，所以线段长度的最小值为，故B正确；
C选项：由题知，过点作交于点，过点作交于点，所以,平面,平面，所以平面，同理平面，又， 平面，所以平面平面，所以，设球与棱的交点为，与的交点为，,，所以球与矩形的交线为弧，球与矩形的交线为弧，所以与球没有交点，所以不存在点，使得面，故C错误；
D选项：因为球与矩形的交线为弧，球与矩形的交线为弧，球与正方形的交线为弧，由于，所以，所以弧=弧=，弧=，所以点在正四棱柱表面，则点的轨迹的长度为，故D正确.
故选：BD.
【点睛】
空间几何体的线面位置关系判定与证明：
（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；
（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.
8．ACD
【解析】
【分析】
对于A，由与的数量积大于0且不共线计算判断；对于B，变形，由空间共面向量
定理判断；对于C，由平面向量基本定理判断；对于D，利用平面向量数量积运算判断作答.
【详解】
对于A，依题意，，且与不同向共线，求得，解得：且，A错误；
对于B，由，则，即，
于是得共面，且公共起点C，而，，不共线，，，，四点共面，B正确；
对于C，同一平面内不共线的非零向量，，，才存在唯一的一对实数，，使得，否则不成立，C错误；
对于D，在中，，则，于是得是锐角，不能确定是钝角三角形，D错误.
故选：ACD
9．或##或
【解析】
【分析】
根据向量平行时坐标的关系和向量的模公式即可求解.
【详解】
，且，
设，
，解得，
或.
故答案为：或.
10．
【解析】
【分析】
由题意，二面角等于，根据，结合向量的运算，即可求解.
【详解】
由题意，二面角等于，
可得向量，，
因为，可得,
所以
.
故答案为：
11．1
【解析】
【分析】
根据向量共面，可设，先求解出的值，则的值可求.
【详解】
因为，，共面且，不共线，所以可设，
所以，所以，
所以，所以，
故答案为：1.
12．
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，求出与平面的法向量为.利用直线与平面所成角的正弦值为计算即可求出答案.
【详解】
设与的交点为点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系
，，，.
故.
，
设平面的法向量为.
，
直线与平面的法向量的余弦值为：
则直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
13．；
【解析】
【分析】
以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算可求得答案..
【详解】
解：以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
则 ，，，
所以，
所以，.
14．是平面的一个法向量.理由见解析.
【解析】
【分析】
由法向量的定义即可得到答案.
【详解】
由题意，是平面的一个法向量，所以，而，所以，于是是平面的一个法向量.
15．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用空间向量垂直的坐标表示判断；
（2）利用空间向量平行的坐标表示判断.
(1)
解：因为，所以.
(2)
解：由题得，所以.
16．
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的法向量,直线与平面所成角的正弦值为.
【详解】
解：如图，在直三棱柱中，，故,,两两垂直.
以点为坐标原点，,,分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则,,,,,
所以,,又,,
所以,.
设是平面的一个法向量，则,即，
取，则，，得.
设直线与平面所成的角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页