高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册__——空间向量与立体几何单元测试卷4（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册__——空间向量与立体几何单元测试卷4（Word含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-09 08:36:13 | ||
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文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
——空间向量与立体几何
一、单选题
1．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
2．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知正方体，E，F，G分别是AB，，的中点，则（ ）
A．直线与直线EG相交 B．直线平面EFG
C．直线与平面EFG相交 D．直线平面EFG
4．已知向量，，且与互相垂直，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．以下四个命题中，正确的是（ ）
A．若，则三点共线
B．
C．为直角三角形的充要条件是
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
6．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知直三棱柱的所有棱长均为1，点P满足（其中，），则下列说法不正确的是（ ）
A．当时，的面积是定值 B．当时，的周长是定值
C．当时，的面积是定值 D．当时，三棱锥的体积为定值
8．在正三棱柱中，，，点、分别在棱、上运动（不与重合，不与重合），使得是等腰三角形．记的面积为，平面与平面所成锐二面角的平面角大小为，则（ ）
A．平面 B．可能为等腰直角三角形
C．的取值范围是 D．的取值范围是
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
9．已知空间向量，，若，则______.
10．已知空间直角坐标系中，点，，若，与同向，则向量的坐标为______.
11．已知A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上，，，若球O的体积为，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为___________.
12．已知正四面体的棱长为1，且，则___________ .
四、解答题
13．已知是正方体，求直线与直线所成角的大小.
14．如图，在四棱锥中，平面，，，，．
(1)若是上一点，且，证明：平面；
(2)若是的中点，点满足，是线段上的任意一点，求与平面所成角的正弦值的取值范围．
15．已知点，P为线段上一点，且，求点P的坐标.
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，AC BD相交于点O，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，过E作交PB于点F，连接DF，BE.
(1)求证：平面BDE；
(2)求二面角的余弦值；
(3)取PA中点G，判断直线DG与平面DEF的位置关系.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
设所求点的坐标为，由，逐一验证选项即可．
【详解】
设所求点的坐标为，则，
因为平面的一个法向量为，
所以，，
对于选项A，，
对于选项B，，
对于选项C，，
对于选项D，．
故选：A．
2．D
【解析】
【分析】
以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】
以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，，
因此异面直线与所成角的余弦值等于.
故选：D.
3．C
【解析】
【分析】
通过建立空间直角坐标，求空间直线的距离以及空间直线与平面的关系，从而能每一个选项进行判断.
【详解】
建立如下图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2.
则.
从而有
对A，设与的公垂向量为，则，可取，又，
所以直线与直线EG的距离，故A不正确.
对B，设平面的法向量为，则
，从而可取.
所以，因此直线与平面不平行，故B不正确；
对C，，故直线与平面EFG相交，所以C正确；
对D，与不共线，故直线与平面EFG不垂直，故D不正确.
故选：C
4．B
【解析】
【分析】
根据空间向量垂直的坐标表示建立方程，求解即可.
【详解】
解：因为向量，，且与互相垂直，所以，解得，
故选：B.
5．D
【解析】
【分析】
利用向量共线的推论可判断A，利用数量积的定义可判断B，利用充要条件的概念可判断C，利用基底的概念可判断D.
【详解】
对于A，若，，所以三点不共线，故A错误；
对于B，因为，故B错误；
对于C，由可推出为直角三角形，由为直角三角形，推不出，所以为直角三角形的充分不必要条件是，故C错误；
对于D，若为空间的一个基底，则不共面，若不能构成空间的一个基底，设，整理可得，即共面，与不共面矛盾，所以能构成空间的另一个基底，故D正确.
故选：D.
6．A
【解析】
【分析】
根据平行六面体的特征和空间向量的线性运算依次对选项的式子变形，即可判断.
【详解】
A：
，故A正确；
B：
，故B错误；
C：
，故C错误；
D：
，故D错误；
故选：A
7．ACD
【解析】
【分析】
根据向量的线性关系，结合已知及直三棱柱的性质，分别判断、时所在位置，进而判断各选项的正误.
【详解】
由题设，在面上，△、△为正三角形且三棱柱的侧面都是正方形，它们的边长均为1，当时，显然在线段上运动，则△的面积是定值，而，，即△的周长为不为定值，故A正确，B错误；
当时，显然在线段上运动，则△的面积是定值，而，面，面，所以面，即到面距离不变，有三棱锥的体积为定值，故C、D正确.
故选：ACD
8．BCD
【解析】
【分析】
取的中点，则，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设点、，其中，，分、、三种情况讨论，结合空间向量法逐项分析，即可得出结果.
【详解】
在正三棱柱中，取的中点，则，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则、、，则，
设点、，其中，.
在正三棱柱中，为等边三角形，
因为为等腰直角三角形，有三种情况：①；②；③.
①若，，，
由可得，即，
由已知，故，此时，则，
平面，平面，则平面，
因为，此时，不可能是等腰直角三角形；
线段的中点为，，为的中点，则，
，；
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
平面的一个法向量为，因为，
，为锐角，则；
②若，，，
由可得，可得，
因为，则，由，可得，则
，此时与不平行，
若平面，平面，平面平面，则，矛盾，
故假设不成立，即与平面不平行；
若为等腰直角三角形，，，
则，解得或（舍），
此时可能为等腰直角三角形；
取线段的中点，连接，则，且，
，，
所以，；
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
平面的一个法向量为，
，
因为，此时的取值范围是的真子集.
③若，同②.
综上所述，对于A选项，与平面不一定平行，A错；
对于B选项，可能为等腰直角三角形，B对；
对于C选项，的取值范围是，C对；
对于D选项，的取值范围是，D对.
故选：BCD.
【点睛】
方法点睛：求二面角常用的方法：
（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：
①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；
（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.
9．2
【解析】
【分析】
依据向量垂直充要条件列方程，解之即可解决.
【详解】
空间向量，，
由，可知，即，解之得
故答案为：2
10．
【解析】
【分析】
求出坐标，根据给条件表示出坐标，利用向量模的坐标表示计算作答.
【详解】
因，，则，
因与同向，则设，因此，，
于是得，解得，则，
所以向量的坐标为.
故答案为：
11．
【解析】
【分析】
由知中点是所在截面圆的圆心，是中点，即球心，因此有平面，再结合可得，以为轴建立空间直角坐标系，用向量法求得异面直线所成的角．
【详解】
如图，取中点，连接，
∵，所以是的外心，
则平面，又，∴，
由得，即，又，
∴，
分别是中点，∴，，，
以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，与平行的向量为，
，
∴异面直线和所成角的余弦值为．
故答案为：．
12．
【解析】
【分析】
利用空间两个向量的加减法的法则，结合两个向量的数量积的定义，求得数量积的值．
【详解】
正四面体的棱长为1，且，，
，
则，
故答案为：
13．.
【解析】
【分析】
在正方体中求异面直线所成角，可以用向量法.
【详解】
如图，在正方体中，以为坐标原点，向量，,为正方向建立空间直角坐标系，并设正方体的边长为，则,,,,所以,,
故,又因为，所以，即直线与直线所成角的大小为.
14．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先在上取点，使，连接，，证明四边形为平行四边形，然后根据直线与平面平行的判定定理证明即可；
（2）先以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，写出，，的坐标，设与平面所成的角为，求出平面的法向量，进而求出的表达式，再分，两种情况，并结合基本不等式解题即可．
(1)
证明：如图，在上取点，使，连接，．
∵是上一点，且，∴且．
又∵，，∴且，
∴四边形为平行四边形，∴．
又∵平面，平面，∴平面．
(2)
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，，
设，
∴，，．
设与平面所成的角为，平面的法向量为，
∴即
令得，，∴，
∴，
当时，，当时，．
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴，∴．
综上所述，，∴与平面所成角的正弦值的取值范围为．
15．
【解析】
【分析】
根据向量的性质可知，再根据向量的坐标运算求解点的坐标.
【详解】
解：设点坐标为
则，
为线段上一点，且
，解得：
故点坐标为
16．(1)证明见解析
(2)
(3)直线DG在平面DEF内
【解析】
【分析】
(1)连接OE，根据中位线的性质可得，利用线面平行的判定定理即得证明；
(2)建立如图空间直角坐标系，设、，利用空间向量法求出平面DEF和平面DEP的法向量，结合向量的数量积计算即可；
(3)结合(2)与可知直线DG在平面DEF内.
(1)
连接OE，且O E分别为CA CP的中点，
所以，平面BDE，平面BDE，平面BDE.
(2)
以点D为坐标原点，DA DC DP方向的直线分别为x轴，y轴，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，
易知：，，，，
则，由E为PC的中点，则，
设，则，
因，，，
即，
设平面DEF的法向量为，
则，令
可得平面DEF的一个法向量为，
很明显平面DEP的一个法向量为，
，
二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.
(3)
易知PA中点，则，
由（2）知平面DEF的一个法向量为，
且且点D在平面DEF内，
故直线DG在平面DEF内.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
——空间向量与立体几何
一、单选题
1．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
2．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知正方体，E，F，G分别是AB，，的中点，则（ ）
A．直线与直线EG相交 B．直线平面EFG
C．直线与平面EFG相交 D．直线平面EFG
4．已知向量，，且与互相垂直，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．以下四个命题中，正确的是（ ）
A．若，则三点共线
B．
C．为直角三角形的充要条件是
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
6．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知直三棱柱的所有棱长均为1，点P满足（其中，），则下列说法不正确的是（ ）
A．当时，的面积是定值 B．当时，的周长是定值
C．当时，的面积是定值 D．当时，三棱锥的体积为定值
8．在正三棱柱中，，，点、分别在棱、上运动（不与重合，不与重合），使得是等腰三角形．记的面积为，平面与平面所成锐二面角的平面角大小为，则（ ）
A．平面 B．可能为等腰直角三角形
C．的取值范围是 D．的取值范围是
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．已知空间向量，，若，则______.
10．已知空间直角坐标系中，点，，若，与同向，则向量的坐标为______.
11．已知A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上，，，若球O的体积为，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为___________.
12．已知正四面体的棱长为1，且，则___________ .
四、解答题
13．已知是正方体，求直线与直线所成角的大小.
14．如图，在四棱锥中，平面，，，，．
(1)若是上一点，且，证明：平面；
(2)若是的中点，点满足，是线段上的任意一点，求与平面所成角的正弦值的取值范围．
15．已知点，P为线段上一点，且，求点P的坐标.
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，AC BD相交于点O，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，过E作交PB于点F，连接DF，BE.
(1)求证：平面BDE；
(2)求二面角的余弦值；
(3)取PA中点G，判断直线DG与平面DEF的位置关系.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
设所求点的坐标为，由，逐一验证选项即可．
【详解】
设所求点的坐标为，则，
因为平面的一个法向量为，
所以，，
对于选项A，，
对于选项B，，
对于选项C，，
对于选项D，．
故选：A．
2．D
【解析】
【分析】
以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】
以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，，
因此异面直线与所成角的余弦值等于.
故选：D.
3．C
【解析】
【分析】
通过建立空间直角坐标，求空间直线的距离以及空间直线与平面的关系，从而能每一个选项进行判断.
【详解】
建立如下图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2.
则.
从而有
对A，设与的公垂向量为，则，可取，又，
所以直线与直线EG的距离，故A不正确.
对B，设平面的法向量为，则
，从而可取.
所以，因此直线与平面不平行，故B不正确；
对C，，故直线与平面EFG相交，所以C正确；
对D，与不共线，故直线与平面EFG不垂直，故D不正确.
故选：C
4．B
【解析】
【分析】
根据空间向量垂直的坐标表示建立方程，求解即可.
【详解】
解：因为向量，，且与互相垂直，所以，解得，
故选：B.
5．D
【解析】
【分析】
利用向量共线的推论可判断A，利用数量积的定义可判断B，利用充要条件的概念可判断C，利用基底的概念可判断D.
【详解】
对于A，若，，所以三点不共线，故A错误；
对于B，因为，故B错误；
对于C，由可推出为直角三角形，由为直角三角形，推不出，所以为直角三角形的充分不必要条件是，故C错误；
对于D，若为空间的一个基底，则不共面，若不能构成空间的一个基底，设，整理可得，即共面，与不共面矛盾，所以能构成空间的另一个基底，故D正确.
故选：D.
6．A
【解析】
【分析】
根据平行六面体的特征和空间向量的线性运算依次对选项的式子变形，即可判断.
【详解】
A：
，故A正确；
B：
，故B错误；
C：
，故C错误；
D：
，故D错误；
故选：A
7．ACD
【解析】
【分析】
根据向量的线性关系，结合已知及直三棱柱的性质，分别判断、时所在位置，进而判断各选项的正误.
【详解】
由题设，在面上，△、△为正三角形且三棱柱的侧面都是正方形，它们的边长均为1，当时，显然在线段上运动，则△的面积是定值，而，，即△的周长为不为定值，故A正确，B错误；
当时，显然在线段上运动，则△的面积是定值，而，面，面，所以面，即到面距离不变，有三棱锥的体积为定值，故C、D正确.
故选：ACD
8．BCD
【解析】
【分析】
取的中点，则，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设点、，其中，，分、、三种情况讨论，结合空间向量法逐项分析，即可得出结果.
【详解】
在正三棱柱中，取的中点，则，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则、、，则，
设点、，其中，.
在正三棱柱中，为等边三角形，
因为为等腰直角三角形，有三种情况：①；②；③.
①若，，，
由可得，即，
由已知，故，此时，则，
平面，平面，则平面，
因为，此时，不可能是等腰直角三角形；
线段的中点为，，为的中点，则，
，；
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
平面的一个法向量为，因为，
，为锐角，则；
②若，，，
由可得，可得，
因为，则，由，可得，则
，此时与不平行，
若平面，平面，平面平面，则，矛盾，
故假设不成立，即与平面不平行；
若为等腰直角三角形，，，
则，解得或（舍），
此时可能为等腰直角三角形；
取线段的中点，连接，则，且，
，，
所以，；
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
平面的一个法向量为，
，
因为，此时的取值范围是的真子集.
③若，同②.
综上所述，对于A选项，与平面不一定平行，A错；
对于B选项，可能为等腰直角三角形，B对；
对于C选项，的取值范围是，C对；
对于D选项，的取值范围是，D对.
故选：BCD.
【点睛】
方法点睛：求二面角常用的方法：
（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：
①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；
（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.
9．2
【解析】
【分析】
依据向量垂直充要条件列方程，解之即可解决.
【详解】
空间向量，，
由，可知，即，解之得
故答案为：2
10．
【解析】
【分析】
求出坐标，根据给条件表示出坐标，利用向量模的坐标表示计算作答.
【详解】
因，，则，
因与同向，则设，因此，，
于是得，解得，则，
所以向量的坐标为.
故答案为：
11．
【解析】
【分析】
由知中点是所在截面圆的圆心，是中点，即球心，因此有平面，再结合可得，以为轴建立空间直角坐标系，用向量法求得异面直线所成的角．
【详解】
如图，取中点，连接，
∵，所以是的外心，
则平面，又，∴，
由得，即，又，
∴，
分别是中点，∴，，，
以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，与平行的向量为，
，
∴异面直线和所成角的余弦值为．
故答案为：．
12．
【解析】
【分析】
利用空间两个向量的加减法的法则，结合两个向量的数量积的定义，求得数量积的值．
【详解】
正四面体的棱长为1，且，，
，
则，
故答案为：
13．.
【解析】
【分析】
在正方体中求异面直线所成角，可以用向量法.
【详解】
如图，在正方体中，以为坐标原点，向量，,为正方向建立空间直角坐标系，并设正方体的边长为，则,,,,所以,,
故,又因为，所以，即直线与直线所成角的大小为.
14．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先在上取点，使，连接，，证明四边形为平行四边形，然后根据直线与平面平行的判定定理证明即可；
（2）先以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，写出，，的坐标，设与平面所成的角为，求出平面的法向量，进而求出的表达式，再分，两种情况，并结合基本不等式解题即可．
(1)
证明：如图，在上取点，使，连接，．
∵是上一点，且，∴且．
又∵，，∴且，
∴四边形为平行四边形，∴．
又∵平面，平面，∴平面．
(2)
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，，
设，
∴，，．
设与平面所成的角为，平面的法向量为，
∴即
令得，，∴，
∴，
当时，，当时，．
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴，∴．
综上所述，，∴与平面所成角的正弦值的取值范围为．
15．
【解析】
【分析】
根据向量的性质可知，再根据向量的坐标运算求解点的坐标.
【详解】
解：设点坐标为
则，
为线段上一点，且
，解得：
故点坐标为
16．(1)证明见解析
(2)
(3)直线DG在平面DEF内
【解析】
【分析】
(1)连接OE，根据中位线的性质可得，利用线面平行的判定定理即得证明；
(2)建立如图空间直角坐标系，设、，利用空间向量法求出平面DEF和平面DEP的法向量，结合向量的数量积计算即可；
(3)结合(2)与可知直线DG在平面DEF内.
(1)
连接OE，且O E分别为CA CP的中点，
所以，平面BDE，平面BDE，平面BDE.
(2)
以点D为坐标原点，DA DC DP方向的直线分别为x轴，y轴，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，
易知：，，，，
则，由E为PC的中点，则，
设，则，
因，，，
即，
设平面DEF的法向量为，
则，令
可得平面DEF的一个法向量为，
很明显平面DEP的一个法向量为，
，
二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.
(3)
易知PA中点，则，
由（2）知平面DEF的一个法向量为，
且且点D在平面DEF内，
故直线DG在平面DEF内.
答案第1页，共2页
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