高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册__——空间向量与立体几何单元测试卷5（Word含解析）

高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
——空间向量与立体几何
一、单选题
1．在四棱台中，侧棱与底面垂直，上下底面均为矩形，，，则下列各棱中，最长的是（ ）
A． B． C． D．
2．直线的方向向量分别是，则直线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．若，E为空间中不在直线CD上的任意一点，则直线AB与平面CDE的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．在平面内 D．平行或在平面内
4．如图，已知圆锥的底面半径为，母线长为，为圆锥底面圆的直径，是圆弧的中点，是母线的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A．1 B． C． D．
6．若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线与所成的角为（ ）
A．30° B．150° C．60° D．120°
二、多选题
7．如图，在直三棱柱中，，D，E，F分别为AC，，AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．与EF相交 B．EF与所成的角为90°
C．点到平面DEF的距离为 D．三棱锥A－外接球表面积为12π
8．已知四面体的所有棱长都是分别是棱的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
9．如图，在三棱锥中，，，E，F，O分别为棱，，的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是______.
10．已知正方形的边长为2，对部分以为轴进行翻折，翻折到，使二面角的平面角为直二面角，则___________.
11．已知空间向量，，若，则______.
12．已知直四棱柱中，，且，若的中点为，则直线与平面所成的角的正弦值为______.
四、解答题
13．如图1，在四边形ABCD中，，，E是AD的中点，将沿BF折起至的位置，使得二面角的大小为120°（如图2），M，N分别是，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
14．如图，在三棱柱中，平面，，，，点分别在棱和棱上，且，，为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值.
15．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，平面ABCD，且，．
(1)求证：∥平面PCD；
(2)求平面MBC与平面ABCD夹角的余弦值．
16．如图，在直三棱柱中，，，，.
(1)求证：；（用向量方法证明）
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
建立如图所示的空间直角坐标系，计算出各选项中线段的长度后可得正确的选项.
【详解】
由四棱台可得，故.
因为平面，而平面，
故，而，故可建立如图所示的空间直角坐标系.
故，
故，
故选：B.
2．B
【解析】
【分析】
根据题意，先求向量与的夹角，再求解直线夹角即可.
【详解】
解：因为，
所以，因为
所以与的夹角为，
所以直线的夹角为，即.
故选：B
3．D
【解析】
【分析】
由给定条件可得直线AB与直线CD平行或重合，再分情况讨论作答.
【详解】
因，则有直线AB与直线CD平行或重合，而点E不在直线CD上，即点E、直线CD确定平面CDE，
若直线AB与直线CD平行，当点E在直线AB上时，直线AB在平面CDE内，
当点E不在直线AB上时，平面CDE，平面CDE，于是得平面CDE，
若直线AB与直线CD重合，则直线AB在平面CDE内，
所以直线AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.
故选：D
4．C
【解析】
【分析】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值.
【详解】
解：连接、，因为为圆锥底面圆的直径，是圆弧的中点，则，
为的中点，则，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
因为，，易知，则，
所以，、、、，
，，则，
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
5．C
【解析】
【分析】
根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.
【详解】
解：因为，，所以，
所以，
所以在上的投影向量为
故选：C
6．C
【解析】
【分析】
利用向量夹角公式求得正确选项.
【详解】
依题意，，
设直线与所成角为，，所以.
故选：C
7．BCD
【解析】
【分析】
A用异面直线的知识判断，BC用向量法判断，D求外接球的表面积来进行判断.
【详解】
对于A选项，平面，平面，，所以与是异面直线，A选项错误.
对于D选项，两两相互垂直，且，
所以三棱锥外接球的直径，
所以外接球的表面积为，D选项正确.
建立如图所示空间直角坐标系，，
，，所以，B选项正确.
，设平面的法向量为，
则，故可设.
，所以到平面的距离为，C选项正确.
故选：BCD
8．ACD
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量数量级的坐标运算计算即可.
【详解】
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，
，
，，
，.
故选：ACD
9．
【解析】
【分析】
易证得，引入辅助角变量，设，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求得线面角的正弦值，从而可判断所求角的范围.
【详解】
解：因为，，
所以，
所以，
又因为为的中点，
所以，
又，所以平面，
设，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则平面与平面重合，
不妨设，
则，
则，
，
则，
因为平面，
所以即为平面的一条法向量，
因为直线与平面所成角为，，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
10．-2
【解析】
【分析】
根据，则，根据条件求得向量夹角即可求得结果.
【详解】
由题知，，取的中点O，连接，如图所示，
则，又二面角的平面角为直二面角，
则，又，
则，为等边三角形，从而，
则，
故答案为：-2
11．2
【解析】
【分析】
依据向量垂直充要条件列方程，解之即可解决.
【详解】
空间向量，，
由，可知，即，解之得
故答案为：2
12．
【解析】
【分析】
以为坐标原点，，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，1，，用向量法可求线面角的正弦值．
【详解】
解：直四棱柱中，
所以，，又，
以为坐标原点，，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，，1，，，2，，，0，
所以，，，，0，，，2，
设平面的一个法向量为，，，
则，即，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
故答案为：
13．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）构造中位线，利用面面平行，可以证明;
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量的方法即可.
(1)
证明：如图，
取ED的中点P，连接MP，NP.
在平行四边形ABCD中，因为E是AD的中点，，
所以，又，所以四边形BCDE是平行四边形；
因为M，N分别是，BC的中点，所以，.
又平面，平面，所以平面，平面.
因为，所以平面平面.
又平面，所以平面
(2)
取BE的中点O，连接，CO，CE.
在图1中，因为，所以是等边三角形， ，
又四边形ABCD是等腰梯形，所以 ，即 是等边三角形；
所以如图，，，所以.
以为原点，射线OB为x轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，则，，，，
则，
设平面的法向量为， ，
得令，则，，即，
由题可知，平面BCD的一个法向量为，.
由图可知，平面与平面BDC夹角的余弦值为；
14．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）取的中点，可证得四边形为平行四边形，由此得到，根据线面平行的判定定理可得结论；
（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.
(1)
证明：取的中点，连接，，
为中点，为中点，为的中位线，
且；
又，，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面.
(2)
解：以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
平面，平面的一个法向量；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
，
设二面角的平面角为，则，
即二面角的正弦值为.
15．(1)详见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）取PD的中点E，连接ME，CE，易证四边形是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面MBC的一个法向量，易知平面ABCD的一个法向量为：，由求解.
(1)
证明：如图所示：
取PD的中点E，连接ME，CE，
因为底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，又平面PCD，平面PCD，
所以∥平面PCD；
(2)
建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
设平面MBC的一个法向量为，
则，即，
令，得，
易知平面ABCD的一个法向量为：，
所以，
所以平面MBC与平面ABCD的夹角的余弦值为.
16．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据，，两两垂直，建立如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据两个向量的数量积等于0，证出两条直线互相垂直．
（2）求出两个面的法向量，求两个法向量的夹角的余弦值，即可得到答案．
(1)
直三棱柱，底面三边长，，，
，，两两垂直．
如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则
，，
，故.
(2)
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，，
由得：
令，则，，则．
故，．
所以平面与平面夹角的余弦值.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页