高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册__——圆锥曲线方程单元测试卷1(Word含解析)

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名称 高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册__——圆锥曲线方程单元测试卷1(Word含解析)
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-03-09 08:41:55

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文档简介

高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
——圆锥曲线方程单元测试卷
一、单选题
1.抛物线上一点到焦点的距离是,则点的横坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知点是椭圆上的任意一点,过点作圆:的切线,设其中一个切点为,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.若方程表示的曲线为,则( )
A.是为椭圆的充要条件
B.是为椭圆的充分条件
C.是为焦点在轴上椭圆的充要条件
D.是为焦点在轴上椭圆的充分条件
4.已知,是双曲线的左、右焦点,点A是的左顶点,为坐标原点,以为直径的圆交的一条渐近线于、两点,以为直径的圆与轴交于两点,且平分,则双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.3
5.双曲线的一条渐近线与直线垂直,则双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.4
6.已知椭圆:的左、右焦点为,,上顶点为P,则( )
A.为锐角三角形 B.为钝角三角形
C.为直角三角形 D.,,三点构不成三角形
二、多选题
7.曲线,则( )
A.C上的点满足, B.C关于x轴、y轴对称
C.C与x轴、y轴共有3个公共点 D.C与直线只有1个公共点
8.若,,动点满足,当和时,点轨迹( )
A.双曲线 B.双曲线的一支 C.一条射线 D.一条直线
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
9.过双曲线C:的左焦点且垂直于x轴的直线交C与M,N两点,若 为直角三角形,则C的离心率为_________.
10.已知椭圆与双曲线有相同的焦点,点是两曲线的一个公共点,且,若双曲线为等轴双曲线,则椭圆的离心率为______.
11.已知直线l:与抛物线C:交于,两点,点A,B在准线上的射影分别为点,,若四边形的面积为,则__________.
12.瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心 重心 垂心依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”,后人称这条直线为“欧拉线”,直线l与y轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合M,且M恰为某三角形的外心,重心,垂心所成集合,若l的斜率为-1,则该双曲线的离心率可以是①,②,③,④,⑤,⑥.以上结论正确的是___________.
四、解答题
13.求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)焦点,,一个顶点为;
(2)一个焦点为,离心率为3;
(3)一条渐近线为,且过点;
(4)经过点,.
14.已知椭圆的离心率为,右焦点为,过作轴的垂线交双曲线的两条渐近线于,,得到三角形的面积为1.
(1)求,;
(2)设,,的三个点都在椭圆上,设的中点为,且.求证:的面积为定值.
15.如图,已知动圆M与两个定圆和分别外切(、外离),则动圆圆心M的轨迹是什么图形?
16.如图,已知抛物线的焦点为椭圆:()的右焦点,点为抛物线与椭圆在第一象限的交点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线交抛物线于,两点,交椭圆于,两点(,,,依次排序),且,求直线的方程.
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
参考答案:
1.B
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义将点M到焦点的距离转化为到准线的距离即可求得答案.
【详解】
由题意,抛物线的准线方程为,设点M的横坐标为,由抛物线的定义可知.
故选:B.
2.B
【解析】
【分析】
设,得到,利用椭圆的范围求解.
【详解】
解:设,
则,


因为,
所以,即,
故选:B
3.C
【解析】
【分析】
根据椭圆的性质及焦点的性质可写出其充要条件,然后逐项分析即可.
【详解】
解:
对于A、B选项:
曲线表示椭圆的充要条件是且,所以A,B不正确;
对于C、D选项:
方程表示焦点在轴上椭圆,所以C对,D错.
故选:C
4.B
【解析】
【分析】
由直径所对圆周角是直角,结合双曲线的几何性质和角平分线定义可解.
【详解】
由圆的性质可知,,,所以,
因为,所以
又因为平分,所以,
由,得,
所以,即
所以
故选:B
5.B
【解析】
【分析】
由双曲线的渐近线与直线垂直求出关系,计算离心率即可.
【详解】
双曲线的一条渐近线与直线垂直,则,所以曲线的离心率,
故选:B
6.A
【解析】
【分析】
根据题意求得,要判断的形状,只需要看是什么角即可,利用余弦定理判断,从而可得结论.
【详解】
解:由椭圆:,得,
则,
则,
所以且为锐角,
因为,
所以为锐角,
所以为锐角三角形.
故选:A.
7.ACD
【解析】
【分析】
去掉绝对值即可根据双曲线和椭圆的性质判断.
【详解】
表示椭圆在x轴上方的部分,
表示双曲线在x轴下方的部分,
作出图象:
双曲线的一条渐近线为,
故选项ACD正确,选项B错误.
故选:ACD.
8.BC
【解析】
【分析】
根据已知条件判断的大小关系,结合双曲线定义判断轨迹的图形.
【详解】
当时,,故轨迹为双曲线的右支;
当时,,故轨迹为射线;
故选:BC.
9.##
【解析】
【分析】
由题可得,即,即求.
【详解】
由题可得,代入双曲线,解得,
为直角三角形,则,



,又,
.
故答案为:.
10.
【解析】
【分析】
设,由椭圆和双曲线的定义,解方程可得 ,再由余弦定理,可得,与的关系,结合离心率公式,可得,的关系,计算可得所求值.
【详解】
设,为第一象限的交点,设椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,
由椭圆和双曲线的定义可得,解得,
在三角形中,,
由余弦定理可得,,
即有,可得,即为,
由双曲线为等轴双曲线,所以,可得.
故答案为:.
11.4
【解析】
【分析】
直线l与抛物线联立,根据抛物线定义得,再根据直线的斜率得直角梯形的高,通过计算梯形的面积可求解.
【详解】
易知直线l过抛物线的焦点,联立方程可得,所以,,
由抛物线定义,可得A,B到准线的距离分别为,,
而,
由直线方程为,设直线的倾斜角为,则,从而,
四边形为直角梯形,其高设为,则,
所以,解得.
故答案为:
12.①③⑤
【解析】
【分析】
设直线方程,可求出三个交点,结合条件列出等式进而可得a,b的关系式,即可判断.
【详解】
设直线l的方程为,
令x=0,可得y=t,设直线l与y轴的交点,
双曲线的渐近线方程为,
与直线y=x+t联立,可得,
由三角形的外心 重心 垂心依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,
当A,B,C依次为三角形的外心 重心 垂心,且它们依次位于同一条直线上,
可得,即为,化为a=2b,;
当A,C,B依次为三角形的外心 重心 垂心,且它们依次位于同一条直线上,
可得,即为,化为a=-2b不成立;
当B,A,C依次为三角形的外心 重心 垂心,且它们依次位于同一条直线上,
可得,即为,化为b=3a,;
当C,A,B依次为三角形的外心 重心 垂心,且它们依次位于同一条直线上,
可得,即为,化为b=-3a不成立;
当C,B,A依次为三角形的外心 重心 垂心,且它们依次位于同一条直线上,
可得,即为,化为a=5b,;
当B,C,A依次为三角形的外心 重心 垂心,且它们依次位于同一条直线上,
可得,即为,化为a=-5b不成立.
故答案为:①③⑤.
13.(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
(1)设双曲线方程为,利用已知条件求出后可得方程.
(2)设双曲线方程为,利用已知条件求出后可得方程.
(3)设双曲线方程为,利用已知条件求出后可得方程.
(4)设双曲线方程为,利用已知条件求出后可得方程.
(1)
设双曲线方程为,
由题设可得,故,故双曲线方程为.
(2)
设双曲线方程为,
由题设可得半焦距,故,所以,
所以双曲线方程为.
(3)
根据渐近线方程设双曲线方程为,
代入则有,故,
所以即双曲线方程为:.
(4)
设双曲线方程为,则,
解得,故双曲线方程为:.
14.(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)根据离心率及渐近线方程,表达出三角形面积后求参数.
(2)分直线斜率存在和不存在两种情况分别计算出三角形面积,可知三角形的面积为定值.
(1)
椭圆的离心率为
,其中,
双曲线的两条渐近线的方程为,设,则
因为三角形的面积为1,所以,所以,,
故椭圆的方程为;
(2)
①当直线的斜率不存在时,因为,所以,此时的方程为,或,此时的方程为.
将,代入椭圆方程得,,,
所以的面积为
由椭圆轴对称性得:当的方程为时,的面积也为.
②当直线的斜率存在时:
设直线方程为,设,,,
因为的中点为,且,所以的重心是坐标原点
所以,
联立和,得,
,当时,,,
所以,,故
因为点在椭圆上,所以代入椭圆整理得,满足
因而与满足的等式关系为①
当时,
因为的重心是坐标原点,所以的面积为的面积的3倍
设直线与轴交于点,则.
那么的面积为,
关系式①代入得,综合①②得的面积为定值.
15.见解析
【解析】
【分析】
就两圆半径的大小关系分类讨论,再根据曲线的定义可得相应的轨迹.
【详解】
设圆的半径为,圆的半径为,动圆的半径为,
因为动圆M与两个定圆和分别外切,故,,
若,则,故的轨迹为的中垂线.
若,则,
故的轨迹为以、为焦点的双曲线的右支.
若,则,
故的轨迹为以、为焦点的双曲线的左支.
16.(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)确定抛物线即椭圆的右焦点坐标,继而求得点,由此列出方程组,即可求得椭圆方程;
(2)设直线方程,和抛物线以及椭圆分别联立,求得相应的弦长,即的表达式,利用,解方程可得答案.
(1)
由抛物线可知:,
故由得: ,故 ,则 ,
则对于有: ,解得,
故椭圆方程为:;
(2)
过点的直线 的斜率不存在时,则有不符合题意,
故设直线 的斜率为k,则直线方程为 ,
联立抛物线方程: ,整理得: ,
设 ,则,
故 ,
联立,整理得: ,
设,则,


又,故,
即,整理得 ,
解得 ,
由题中所给图可知, ,故,
故直线的方程为.
【点睛】
本题考查了椭圆方程的求法,以及直线和椭圆相交时的弦长问题,综合考查了学生分析问题,解决问题以及计算的能力,解答的关键是明确解答的思路,即联立方程,计算弦长,难点就是计算量大且繁杂,要十分细心.
答案第1页,共2页
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