北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明同步练习练习题（word解析版）

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明同步练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，是等边三角形，D是BC边上一点，于点E．若，则DC的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
2、如图，在中，，，点D为边AB的中点，点P在边AC上，则周长的最小值等于（ ）．
A． B． C． D．
3、等腰三角形的顶角是，则这个三角形的一个底角的大小是（ ）
A． B． C． D．
4、如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　）
A．米 B．米 C．4米 D．6米
5、下列说法中，错误的是（ ）
A．等边三角形的三条中线、角平分线、高线都交于一点
B．若两个三角形全等，则它们的面积也相等
C．有两条边及一角对应相等的两个三角形全等
D．斜边和一直角边对应相等判定直角三角形全等
6、如图所示，P为平分线上的点，于D，，则点P到OB的距离为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
7、如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（ ）．
A．25° B．60° C．90° D．100°
8、如图，等题直角中，，过点A作，若线段上一点C满足，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9、等腰三角形一边长是2，一边长是5，则此三角形的周长是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．9或12
10、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，MN垂直平分AB交AB于点M，交AC于点N，连接BN，ND⊥BC于点D，则∠BND的度数为（ ）
A．65° B．75° C．55° D．50°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝2，BC＝6，则△BDC的面积是 _____．
2、一个直角三角形房梁如图所示，其中，，，，垂足为，那么________________．
3、如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为_____．
4、如图，中，边AC的垂直平分线与边BC交于点D．将沿AD折叠后，使点C与点E重合，且，若，则______度．
5、如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝6，BC＝4，DE＝2，则△ABC的面积为______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知直线l1：y＝-x＋b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交与点C，且C点的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式；
（2）过点A作x轴的垂线，若点P为垂线上的一个动点，点Q为y轴上的一个动点，当CP＋PQ＋QA的值最小时，求此时点P的坐标；
（3）E点的坐标为（﹣2，0），将直线l1绕点C顺时针旋转，使旋转后的直线l3刚好过点E，过点C作平行于x轴的直l4，点M、N分别为直线l3、l4上的两个动点，是否存在点M、N，使得△BMN是以M点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
2、已知，在△ABC中，∠BAC＝30°，点D在射线BC上，连接AD，∠CAD＝，点D关于直线AC的对称点为E，点E关于直线AB的对称点为F，直线EF分别交直线AC，AB于点M，N，连接AF，AE，CE．
（1）如图1，点D在线段BC上．
①根据题意补全图1；
②∠AEF ＝ （用含有的代数式表示），∠AMF＝ °；
③用等式表示线段MA，ME，MF之间的数量关系，并证明．
（2）点D在线段BC的延长线上，且∠CAD＜60°，直接用等式表示线段MA，ME，MF之间的数量关系，不证明．
3、如图1，中，于，且；
（1）试说明是等腰三角形；
（2）已知cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为(秒)．
①若的边与BC平行，求t的值；
②在点N运动的过程中，能否成为等腰三角形 若能，求出的值；若不能，请说明理由．
4、已知：如图，ABC中，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE交于点I，连接AI并延长交BC于点F．求证：AF平分∠BAC．
5、如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
（1）点A的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　；
（2）求OC的长度；
（3）在x轴上有一点P，且△PAB是等腰三角形，不需计算过程，直接写出点P的坐标．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
先求解 可得 从而可得答案.
【详解】
解： 是等边三角形，
，
故选C
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键.
2、C
【分析】
作点B关于AC的对称点H，连接HP、HD，由轴对称的性质可知，由题意易得，，则有，然后由三角形周长公式可知，要使其最小，则需满足H、P、D三点共线即可，进而问题可求解．
【详解】
解：作点B关于AC的对称点H，连接HP、HD，如图所示：
∴，，
∵，，
∴，
∵点D为边AB的中点，
∴，
∴，
∵，
∴（SAS），
∴，
∵，要使其最小，则需满足H、P、D三点共线，即的最小值为HD的长，
∴的周长最小值为；
故选C．
【点睛】
本题主要考查轴对称的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
3、A
【分析】
根据等腰三角形的两底角相等，即可求解．
【详解】
解：∵等腰三角形的顶角是，
∴这个三角形的一个底角的大小是 ．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
4、D
【分析】
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
【详解】
解：如图，根据题意BC＝2米，
∵∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4米，
∴2+4＝6米．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
5、C
【分析】
（1）等边三角形中，中线、高线、角平分线三线合一，且全部都交于同一点；
（2）两个全等的三角形，大小、形状都相同，面积也相同；
（3）利用两边一角证明三角形全等时，要求两边夹一角；
（4）直角三角形全等时，只需要说明斜边、直角边对应相等即可；
【详解】
解：A选项中等边三角形中，中线、高线、角平分线三线合一，且全部都交于同一点，表述正确，故不符合题意；
B选项中两个全等的三角形面积相同，表述正确，故不符合题意；
C选项中有两条边及一角对应相等时无法证明两个三角形全等，表述错误，故符合题意；
D选项中斜边和一直角边对应相等判定直角三角形全等，表述正确，故不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考察了三角形全等的判定条件以及性质，等边三角形的性质．解题的关键在于理解特殊三角形的性质与三角形全等的判定与性质．
6、C
【分析】
根据角平分线的性质可得角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得点P到OB的距离等于
【详解】
解：∵P为平分线上的点，于D，，
∴点P到OB的距离为3cm
故选：C
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
7、D
【分析】
由等边三角形的性质及三角形外角定理即可求得结果．
【详解】
∵是等边三角形
∴∠C=60°
∴∠ADB=∠DBC+∠C=40°+60°=100°
故选：D
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，掌握这两个性质是关键．
8、C
【分析】
过点作，交的延长线于，于，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】
解：如图，过点作，交的延长线于，于，
，，
，
，
又，
，
，，
，
又，，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
∴，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
9、B
【分析】
分两种情况考虑：当5为等腰三角形的腰长时和底边时，分别求出周长即可．
【详解】
解：当5为等腰三角形的腰长时，2为底边，此时等腰三角形三边长分别为5，5，2，周长为5＋5＋2＝12；
当5为等腰三角形的底边时，腰长为2，此时等腰三角形三边长分别为5，2，2，
∵5>2+2，
∴不能组成三角形，
综上这个等腰三角形的周长为12．
故选B．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
10、B
【分析】
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABC=65°，再根据线段垂直平分线的性质和等边对等角求得∠ABN＝∠A＝50°，进而∠NBC=15°，再根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】
解：∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°，
∵MN垂直平分AB交AB于点M，
∴AN＝BN，
∴∠ABN＝∠A＝50°，
∴∠NBC＝15°，
∵ND⊥BC，
∴∠BDN＝90°，
∴∠BND＝180°－∠BDN－∠NBC=180°－90°－15°=75°，
故选：B．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解答的关键．
二、填空题
1、6
【分析】
过D作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质求出AD＝DE＝2，再根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】
解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠ABC的平分线是BD，∠A＝90°（即DA⊥AB），DE⊥BC，
∴AD＝DE，
∵AD＝2，
∴DE＝2，
∵BC＝6，
∴S△BDC＝，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质的应用，掌握“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解本题的关键.
2、
【分析】
利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．
【详解】
解：∵，，，
∴ ， ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
3、19cm
【分析】
根据线段垂直平分线的性质可得AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，由△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，得到AB+BC＝13cm，由此即可得到答案．
【详解】
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，
又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，
∴AB+BD+CD＝13cm，
即AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．
故答案为：19cm．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．
4、
【分析】
先利用垂直求出的度数，再根据折叠求出的度数，利用等腰三角形的性质求出和，再利用三角形内角和可求．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠可知，，，
∵边AC的垂直平分线与边BC交于点D．
∴ ，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求出角的度数．
5、10
【分析】
作，根据角平分线的性质得到，在根据三角形的面积公式计算即可；
【详解】
作，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，，
∴，
∴；
故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质应用，准确分析计算是解题的关键．
三、解答题
1、（1）；（2）点的坐标；（3）点的坐标为或，或．
【分析】
（1）当时，，即点的坐标为，将点的坐标代入直线得：，解得：，即可求解；
（2）确定点的对称点、点的对称点，连接，此时，的值最小，即可求解；
（3）①当点在直线上方，画出图形，证明，利用，，即可求解．②当点在直线下方时，同①的方法即可得出结论．③如图2中，当点在轴的右侧，是等腰直角三角形时，同法可得结论．
【详解】
解：（1）当时，，即点的坐标为，
将点的坐标代入直线得：，解得：，
故：直线的解析式为：；
（2）确定点关于过点垂线的对称点、点关于轴的对称点，
连接交过点的垂线与点，交轴于点，此时，的值最小，如图所示：
将点、点的坐标代入一次函数表达式：得：，解得：，
则直线的表达式为：，
当时，，即点的坐标为，
的值，
即：当的值最小为时，此时点的坐标；
（3）将、点坐标代入一次函数表达式，同理可得其表达式为
①当点在直线上方时，设点，点，点，
过点、分别作轴的平行线交过点与轴的平行线分别交于点、，
，，
，
，，
，
，，
即，解得．
故点的坐标为，
②当点在下方时，如图1，过点作轴，与过点作轴的平行线交于，与过点作轴的平行线交于，
同①的方法得，，
③如图2中，当点在轴的右侧，是等腰直角三角形时，同法可得
即：点的坐标为，或，．
【点睛】
本题考查的是一次函数的综合运用，涉及到三角形全等、轴对称的性质等知识点，其中（2）中，通过画图确定点、的位置是本题的难点．
2、（1）①见解析； ②，；③MF＝MA＋ME，证明见解析；（2）
【分析】
（1）①按照要求旋转作图即可；②由旋转和等腰三角形性质解出∠AEF；再由三角形外角定理求出∠AMF； ③在FE上截取GF＝ME，连接AG，证明△AFG ≌△AEM且△AGM为等边三角形后即可证得MF＝MA＋ME；
（2）根据题意画出图形，根据含30°的直角三角形的性质，即可得到结论．
【详解】
解：（1）①补全图形如下图：
②∵∠CAE=∠DAC=，
∴∠BAE=30°+
∴∠FAE=2×（30°+）
∴∠AEF==60°-；
∵∠AMF=∠CAE+∠AEF=+60°-=60°，
故答案是：60°-，60°；
③MF＝MA＋ME．
证明：在FE上截取GF＝ME，连接AG ．
∵点D关于直线AC的对称点为E，
∴△ADC ≌△AEC．
∴∠CAE ＝∠CAD ＝．
∵∠BAC＝30°，
∴∠EAN＝30°＋．
又∵点E关于直线AB的对称点为F，
∴AB垂直平分EF．
∴AF＝AE，∠FAN＝∠EAN ＝30°＋，
∴∠F＝∠AEF＝．
∴∠AMG ＝．
∵AF＝AE，∠F＝∠AEF， GF＝ME，
∴△AFG ≌△AEM．
∴AG ＝AM．
又∵∠AMG＝，
∴△AGM为等边三角形．
∴MA＝MG．
∴MF＝MG＋GF＝MA＋ME．
（2），理由如下：
如图1所示，
∵点E与点F关于直线AB对称，
∴∠ANM=90°，NE=NF，
又∵∠NAM=30°，
∴AM=2MN，
∴AM=2NE+2EM =MF+ME，
∴MF=AM-ME；
如图2所示，
∵点E与点F关于直线AB对称，
∴∠ANM=90°，NE=NF，
∵∠NAM=30°，
∴AM=2NM，
∴AM=2MF+2NF=2MF+NE+NF=ME+MF，
∴MF=MA-ME；
综上所述：MF=MA-ME．
【点睛】
本题考查轴对称、三角形全等判定与性质、等边三角形判定与性质，掌握这些是本题关键．
3、（1）证明见解析；
（2）①t值为5或6；②点N运动的时间为6s，，或时，为等腰三角形.
【分析】
（1）设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；
（2）①由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；再分当MN∥BC时，AM＝AN和当DN∥BC时，AD＝AN两种情况得出方程，解方程即可；②分三种情况：AD=AN；DA=DN；和ND=NA，三种情况讨论即可
【详解】
解：（1）设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，
在Rt△ACD中，AC＝＝5x，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）①S△ABC＝×5x×4x＝40cm2，而x＞0，
∴x＝2cm，
则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．
当MN∥BC时，AM＝AN，即10 t＝t，此时t＝5，
当DN∥BC时，AD＝AN，此时t＝6，
综上所述，若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6；
②能成为等腰三角形，
分三种情况：
（ⅰ）若AD=AN=6，如图：
则t==6s；
（ⅱ）若DA=DN，如图：
过点D作于点H，则AH=NH，
由，得，
解得，
在中，，
，
；
（ⅲ）若ND=NA，如图：
过点N作于点Q，则AQ=DQ=3，，
，
；
综上，点N运动的时间为6s，，或时，为等腰三角形.
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握方程的思想方法和分类讨论思想．
4、见解析
【分析】
过点I分别向△ABC的边BC、AC、AB作垂线，垂足分别为点G、H、K，然后由角平分线的性质得到IG＝IH，IG＝IK，然后得到IH＝IK，再证明△IHA≌△IKA即可得到AF平分∠BAC．
【详解】
证明：如图所示，过点I分别作IG⊥BC、IH⊥AC、IK⊥AB，垂足分别G、H、K，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴IG＝IH，IG＝IK，
∴IH＝IK，
在Rt△IHA和Rt△IKA中，
，
∴Rt△IHA≌Rt△IKA（HL），
∴∠IAH＝∠IAK，
∴AF平分∠BAC．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
5、（1），；（2）；（3）或或或．
【分析】
（1）求出当时的值可得点的坐标，求出当时的值可得点的坐标；
（2）先根据点的坐标可得的长，再根据折叠的性质可得，设，从而可得的长，然后在中，利用勾股定理即可得；
（3）设点的坐标为，根据等腰三角形的定义分①，②，③三种情况，再利用两点之间的距离公式建立方程，解方程即可得．
【详解】
解：（1）对应一次函数，
当时，，解得，即，
当时，，即，
故答案为：，；
（2），
，
由折叠的性质得：，
设，则，
在中，，即，
解得，
即的长度为；
（3）设点的坐标为，
则，
，
，
根据等腰三角形的定义，分以下三种情况：
①当时，是等腰三角形，
则，解得，
此时点的坐标为或（与点重合，不符题意，舍去）；
②当时，是等腰三角形，
则，解得或，
此时点的坐标为或；
③当时，是等腰三角形，
则，解得，
此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】
本题考查了一次函数、折叠的性质、等腰三角形的定义等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键．