沪科版八年级数学下册第18章勾股定理专题测试试题（word解析版）
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学下册第18章勾股定理专题测试试题（word解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 835.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-08 04:30:17 | ||
图片预览
文档简介
八年级数学下册第18章 勾股定理专题测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，在△ABC中，BC＝2，∠C＝45°，若D是AC的三等分点（AD＞CD），且AB＝BD，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
2、如图，以Rt△ABC（AC⊥BC）的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1﹑S2﹑S3，若S1＋S2＋S3＝12，则S1的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3、下列三个数为边长的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．3，3， B．4，8， C．6，8，10 D．5，5，
4、如图，数轴上点A所表示的数是（ ）
A． B．﹣+1 C．+1 D．﹣1
5、如图所示，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，AE平分∠DAB，则下列说法正确的个数是（ ）
（1）DE平分∠CDA；（2）△EBA≌△EDA；（3）△EBA≌△DCE；（4）AB+CD=AD；（5）AE2+DE2=AD2
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6、点P（－3，4）到坐标原点的距离是（ ）
A．3 B．4 C．－4 D．5
7、如图，一只蚂蚁沿着边长为4的正方体表面从点A出发，爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为（ ）
A．4+2 B．4 C．2 D．4
8、如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的边长为（ ）
A．64 B．16 C．8 D．4
9、如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，则DE的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10、已知一个直角三角形两直角边边长分别为6和8，则斜边边长为（ ）
A． B． C． D．或
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知三角形的三边分别是6，8，10，则最长边上的高等于______．
2、已知跷跷板长为3.9米，小明和小红坐在两端玩跷跷板，在这个过程中，跷跷板的两端端点在水平方向的距离的最小值为3.6米，此时较高端点距离地面的高度等于 _____米．
3、如图，Rt中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确结论的序号有______．
4、在△ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，点E是AB中点，点D在AC上，DE＝3，将△ADE沿着DE翻折，点A的对应点是点F，直线EF与AC交于点G，那么△DGF的面积＝_____．
5、如图，中，，，，点P是直线AB上一点，当时，的面积______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决以下问题：
（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC=4，PA=，则①线段PB= ，PC= ．②猜想：三者之间的数量关系为 ．
（2）如图2，若点P在线段AB的延长线上，则在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程．
（3）若动点P满足，请直接写出的值．（提示：请你利用备用图探究）
2、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点都在格点上（网格线的交点叫做格点），现将△ABC先向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到△A1B1C1
（1）在图中画出△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
（2）如果将△A1B1C1看成由△ABC经过一次平移得到的，那么一次平移的距离是 ．
3、在中，点D为AC上一点，且，过C作，交AB于点E，垂足为点F．
（1）若，，求CD的长；
（2）若，求证：．
4、如图，在中，，，．AD平分交BC于点D．
（1）求BC的长；
（2）求CD的长．
5、如图，在△ABC中，∠C90°．
（1）用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：在边BC上求作一点D，使得点D到AB的距离等于DC的长；
（2）在（1）的条件下，若AC＝6，AB＝10，求CD的长．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
作BE⊥AC于E，根据等腰三角形三线合一性质可得AE=DE，根据∠C＝45°，得出∠EBC=180°-∠C-∠BEC=180°-45°-90°=45°，可得BE=CE，利用勾股定理求出CE=BE=2，根据D是AC的三等分点得出AE=DE==CD，求出CD=1，利用勾股定理即可．
【详解】
解：作BE⊥AC于E，
∵AB＝BD，
∴AE=DE，
∵∠C＝45°，
∴∠EBC=180°-∠C-∠BEC=180°-45°-90°=45°，
∴BE=CE，
在Rt△BEC中，
∴，
∴CE=BE=2，
∵D是AC的三等分点，
∴CD=，AD=AC-CD=，
∴AE=DE==CD，
∴CE=CD+DE=2CD=2，
∴CD=1，
∴AE=1，
在Rt△ABE中，根据勾股定理．
故选B．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三等分线段，掌握等腰三角形的性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三等分线段是解题关键．
2、C
【分析】
根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．
【详解】
解：∵由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴S3+S2=S1，
∵S1+S2+S3=12，
∴2S1=12，
∴S1=6，
故选：C．
【点睛】
题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．
3、D
【分析】
根据勾股定理的逆定理，若两条短边的平方和等于最长边的平方，那么就能够成直角三角形来判断．
【详解】
解：A、32＋32＝（）2，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、42＋（）2＝82，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、62＋82＝102，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、52＋52≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4、D
【分析】
先根据勾股定理计算出BC＝，则BA＝BC＝，然后计算出AD的长，接着计算出OA的长，即可得到点A所表示的数．
【详解】
解：如图，
BD＝1﹣（﹣1）＝2，CD＝1，
∴BC＝＝＝，
∴BA＝BC＝，
∴AD＝﹣2，
∴OA＝1+﹣2＝﹣1，
∴点A表示的数为﹣1．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，实数与数轴的关系，熟练掌握勾股定理，实数与数轴的关系是解题的关键．
5、B
【分析】
作EF⊥AD于F，证明△EBA≌EFA，故（2）不正确；证明Rt△DCE≌DFE，得到DE平分∠CDA；故（1）正确；当△EBA≌△DCE时，得到AB=CD，与原图矛盾，故（3）不正确；根据△EBA≌EFA，Rt△DCE≌DFE，得到AB=AF，DC=DF，得到AB+CD=AF+DF=AD，故（4）正确；证明∠AED=90°，得到AE2+DE2=AD2，故（5）正确．问题得解．
【详解】
解：如图，作EF⊥AD于F，则∠AFE=∠DFE=90°，
∵∠B=∠C=90°，
∴∠B=∠AFE=90°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠FAE=∠BAE，
∵AE=AE，
∴△EBA≌EFA，故（2）不正确；
∵△EBA≌EFA，
∴EB=EF，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∴EF=EC，
又∵DE=DE，
∴Rt△DCE≌DFE，
∴∠CDE=∠FDE，
∴DE平分∠CDA；故（1）正确；
当△EBA≌△DCE时，AB=EC，BE=CD，
由题意得BE=CE，可得AB=CD，与原图矛盾，故（3）不正确；
∵△EBA≌EFA，Rt△DCE≌DFE，
∴AB=AF，DC=DF，
∴AB+CD=AF+DF=AD，故（4）正确；
∵∠B=∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠CDA=180°，
∵∠FAE=∠BAE，∠CDE=∠FDE，
∴∠EDA+∠EAD=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE2+DE2=AD2，故（5）正确．
故选：B
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据题意添加辅助线，证明△EBA≌EFA、Rt△DCE≌DFE是解题关键．
6、D
【分析】
利用两点之间的距离公式即可得．
【详解】
解：点到坐标原点的距离是，
故选：D．
【点睛】
本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．
7、C
【分析】
将正方体展开，右边的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB最短，根据三角形中位线，求出CN的长，利用勾股定理求出AC的长即可．
【详解】
解：将正方体展开，右边的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，
∵AN＝MN，CN∥BM
∴CN＝BM＝2，
在Rt△ACN中，根据勾股定理得：AC＝＝＝2，
故选：C．
．
【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问题，涉及的知识有：三角形中位线，勾股定理，熟练求出CN的长是解本题的关键．
8、C
【分析】
根据勾股定理求出正方形A的面积，根据算术平方根的定义计算即可．
【详解】
解：由勾股定理得，正方形A的面积＝289－225＝64，
∴字母A所代表的正方形的边长为＝8，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
9、B
【分析】
在中利用勾股定理求出长，利用折叠性质：得到，求出对应相等的边，设DE＝x，在中利用勾股定理，列出关于的方程，求解方程即可得到答案．
【详解】
解：∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，
∴AC＝，
∵AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，
，
∴A、B、E共线，AC＝AE＝10，DC＝DE，
∴BE＝AE﹣AB＝10﹣6＝4，
在Rt△BDE中，设DE＝x，则BD＝8﹣x，
∵BD2+BE2＝DE2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴DE＝5，
故选：B．
【点睛】
本题主要是考查了直角三角形的勾股定理以及折叠中的三角形全等的性质，熟练利用折叠得到全等三角形，找到直角三角形中的各边的关系，利用勾股定理列方程，并求解方程，这是解决该类问题的关键．
10、A
【分析】
已知两直角边边长分别为6和8，利用勾股定理求斜边即可．
【详解】
解： ∵一个直角三角形两直角边边长分别为6和8，斜边边长==10，
∴斜边边长为10．
故选A．
【点睛】
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中明确直角边或斜边，直接应用勾股定理，如果条件不明确时那条边是斜边，要注意讨论．
二、填空题
1、
【分析】
根据勾股定理的逆定理，得这个三角形是直角三角形；根据直角三角形的面积计算，即可得到答案．
【详解】
∵三角形的三边分别是6，8，10，
又∵
∴这个三角形是直角三角形
∵最长边上的高
∴最长边上的高为：
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理，从而完成求解．
2、##
【分析】
设较高端点距离地面的高度为h米，此时，跷跷板长即为直角三角形的斜边长，两端端点在水平方向的距离的最小值即为一条直角边长，利用勾股定理即可求出结果．
【详解】
解：设较高端点距离地面的高度为h米，
根据勾股定理得：h2＝3.92﹣3.62＝2.25，
∴h＝1.5（米），
故答案为：1.5．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决问题的关键．
3、①②④
【分析】
根据折叠的性质，，，，，，，然后结合等腰三角形的性质，直角三角形的性质，以及勾股定理，分别对每个选项进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：由折叠的性质可知，，，，，，，
∴，
∵，
∴；故①正确；
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；故②正确；
由勾股定理，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理，则，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴；故④正确；
∴正确的选项有①②④；
故答案为：①②④；
【点睛】
本题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，正确得到边相等、角相等．
4、6或6+9
【分析】
分两种情况：①如图1，当点D在H点上方时，过点E作EH⊥AC交AC于点E，过点G作GQ⊥AB交AB于点Q，②如图2，当点D在H点下方时，过点E作EH⊥AC交AC于点E，过点G作GQ⊥AB交AB于点Q，先求出三角形AEG的AE边上的高GQ和三角形ADE的AD边上的高，根据S△DGF＝2S△AED﹣S△AEG可分别求出答案．
【详解】
解：①如图1，当点D在H点上方时，过点E作EH⊥AC交AC于点E，过点G作GQ⊥AB交AB于点Q，
∵AB＝12，点E是AB的中点，
∴AE＝AB＝6，
∵EH⊥AC，
∴∠AHE＝90°，
∵∠A＝30°，AE＝6，
∴AH＝＝＝3，
∵DE＝3，
∴DH＝＝＝3，
∴DH＝EH，AD＝AH﹣DH＝3﹣3，
∴∠EDH＝45°，
∴∠AED＝∠EDH﹣∠A＝15°，
由折叠的性质可知，∠DEF＝∠AED＝15°，
∴∠AEG＝2∠AED＝30°，
∴∠AEG＝∠A，
∴AG＝GE，
∵GQ⊥AE，
∴AQ＝AE＝3，
∵∠A＝30°，
∴GQ＝AG，
∴GQ2+32＝（2GQ）2，
∴GQ＝．
∵S△AED＝S△FED，
∴S△DGF＝2S△AED﹣S△AEG，
∴S△DGF＝2××3﹣＝6﹣9．
②如图2，当点D在H点下方时，过点E作EH⊥AC交AC于点E，过点G作GQ⊥AB交AB于点Q，
∵AB＝12，点E是AB的中点，
∴AE＝AB＝6，
∵EH⊥AC，
∴∠AHE＝90°，
同理求得DH＝EH，AH＝3，AD＝3+3，
∴∠DEH＝45°，
∴∠AED＝90°﹣∠A+∠DEH＝105°，
由折叠的性质可得出∠DEF＝∠AED＝105°，
∴∠AEG＝2∠AED﹣180°＝30°，
∴∠AEG＝∠A，
∴AG＝GE，
同①求出GQ＝，
∵S△DGF＝2S△AED﹣S△AEG，
∴S△DGF＝2×﹣＝6+9．
故答案为：6或6+9．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
5、或
【分析】
分点P在AB延长线上和点P在线段AB上两种情况讨论，利用等腰三角形的判定和性质以及勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵，，，
∴AB=，
①当点P在AB延长线上时，过点C作CD⊥AB于点D，如图：
∵∠BPC=∠ABC，且∠BPC+∠BCP=∠ABC，
∴∠BPC=∠BCP，
∴BC=BP=1，
∵△ABC的面积为：ABCD=BCAC，
∴CD=，
∴△BPC的面积=PBCD=；
②当点P在线段AB上时，过点C作CD⊥AB于点D，延长AB到Q，使BQ=BC=1，连接CQ，如图：
∵BQ=BC，
∴∠BQC=∠BCQ，
∴∠BQC=∠ABC，
∵∠BPC=∠ABC，
∴∠BPC=∠BQC，
∴CP=CQ，
∵CD⊥AB，
∴PD=DQ，
由①得CD=，
∴BD=，
∴PB=PD+BD=DQ+BD=BQ+2BD=，
∴△BPC的面积=PBCD=；
综上，△BPC的面积为或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的外角性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
三、解答题
1、（1）①，；②AP2+BP2=PQ2；（2）见解析；（3）或
【分析】
（1）①在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的长，再利用SAS证明△APC≌△BQC，得出BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°，那么△PBQ为直角三角形，依据勾股定理求出PQ=，即可得到PC；
②过点C作CD⊥AB，垂足为D，由△ACB为等腰直角三角形，可求得：CD=AD=DB，然后根据AP=DC-PD，PB=DC+PD，可证明AP2+BP2=2PC2，因为在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则可证明AP2+BP2=2PC2，在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，可得出AP2+BP2=PQ2的结论；
（3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PA、PD的长（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACD和Rt△PCD中由勾股定理求得AC和PC的长度即可．
【详解】
解：（1）如图①．连接BQ，
①△ABC是等腰直角三角形，AC=4，
∴AB=，
∵PA=，
∴PB=，
∵△ABC和△PCQ均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACP=∠BCQ，PC=CQ，
∴△APC≌△BQC（SAS）．
∴BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°．
∴△PBQ为直角三角形．
∴PQ=．
∵，
∴；
故答案为：，；
②如图①．过点C作CD⊥AB，垂足为D．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB．
∵AP2=（AD-PD）2=（DC-PD）2=DC2-2DC PD+PD2，
PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DC PD+PD2，
∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，
∴AP2+BP2=2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2=PQ2．
∴AP2+BP2=PQ2；
故答案为：AP2+BP2=PQ2；
（2）如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB．
∵AP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DC PD+PD2，
PB2=（DP-BD）2=（PD-DC）2=DC2-2DC PD+PD2，
∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，
∴AP2+BP2=2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2=PQ2．
∴AP2+BP2=PQ2；
（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
①点P位于点P1处时．
∵，
∴P1A＝AB＝， ，
在Rt△P1CD中，由勾股定理得：
，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
，
∴；
②当点P位于点P2处时．
∵，
∴P2A＝AB＝CD， ，
在Rt△P2CD中，由勾股定理得：
，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
，
∴；
综合上述，的值为：或．
【点睛】
本题主要考查的是等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，以及全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，根据等腰直角三角形的性质得CD=AD=DB，将PA、PB、PQ、AC、PC用含DC的式子表示出来是解题的关键．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行求解.
2、（1）△A1B1C1为所求，图形见详解；（5，3）；（2）5．
【分析】
（1）先求出点A（-3，2），点B（-2，-2），点C（2，-1），根据点平移的特征上加下减，右加左减原则可得A1（0，6），点B1（1，2），点C1（5，3），利用描点A1（0，6），点B1（1，2），点C1（5，3），连接A1B1、B1C1、C1 A1，则△A1B1C1为所求；
（2）根据勾股定理求出AA1的长即可．
【详解】
解：（1）根据图形位置点A（-3，2），点B（-2，-2），点C（2，-1），
△ABC先向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到△A1B1C1，
根据点平移的特征上加下减，右加左减原则可得：
A1（-3+3，2+4）即（0，6），点B1（-2+3，-2+4）即（1，2），点C1（2+3，-1+4）即（5，3），
在平面直角坐标系中描点A1（0，6），点B1（1，2），点C1（5，3），
顺次连结A1B1、B1C1、C1 A1，则△A1B1C1为所求；
故答案为：（5，3）；
（2）根据勾股定理AA1=，
将△A1B1C1看成由△ABC经过一次平移得到的，那么一次平移的距离是5，
故答案为5．
【点睛】
本题考查平移作图，勾股定理，掌握平移作图方法是先求点坐标，在根据平移的方向与距离平移到指定位置，连线成图，和勾股定理应用是解题关键．
3、
（1）
（2）见解析
【分析】
（1）先求解 利用勾股定理再求解 再利用勾股定理可得的长；
（2）过点D、C作DH⊥AB于H，CG⊥AB于G，交BD于P，先证明△CGE≌△CGB，可得BG=BE，再证明△BHD≌△CGB，可得DH=BG=BE，最后结合等腰直角三角形的性质可得结论.
（1）
解：∵CE⊥BD
∴∠DFC=∠BFC=90°
∵BF=3，DF=2，
∴BC=BD=5
在Rt△BFC中，
在Rt△DFC中，CD=
（2）
证明：过点D、C作DH⊥AB于H，CG⊥AB于G，交BD于P
∴∠DHB=∠CGB=90°
∵∠BFC=90°，
∠1=∠3
∵BC=BD
∴∠4=∠BCD
即∠A+∠3=∠ACG+∠2
∠A=∠ACG=45°
∴∠3=∠2=∠1
又∵CG=CG，∠CGE=∠CGB =90°
∴△CGE≌△CGB
∴BG=BE
又∵∠3=∠2，BD=BC，∠BHD=∠CGB =90°
∴△BHD≌△CGB
∴DH=BG=BE
在等腰直角△AHD中，AD=DH=BE
即BE=AD
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，作出适当的辅助线关键全等三角形是解本题的关键.
4、（1）；（2）3．
【分析】
（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得DE=DC，利用面积法得到关于CD的方程，求解即可．
【详解】
解：（1）∵AB=10，AC=6，
∴BC=；
（2）作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠CAB，
∴DE=DC，
∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，
∴×10×DE+×6×CD=×6×8，
∴CD=3．
【点睛】
本题考查了勾股定理，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
5、（1）图见详解；（2）3.
【分析】
（1）根据题意作∠BAC的平分线交BC于D，根据角平分线的性质得到点D满足条件；
（2）根据题意作DE⊥AB于E，先根据勾股定理计算出BC=8，再根据角平分线性质得到DC=DE，通过证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AE=AC=6，则EB=4，设CD=x，则BD=8-x，在Rt△BED中，利用勾股定理得到x2+42=（8-x）2，解方程求出即可．
【详解】
解：（1）如图，点D即为所作；
（2）作DE⊥AB于E，如上图，
在Rt△ABC中，BC==8，
∵AD为角平分线，
∴DC=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=6，
∴EB=AB-AE=10-6=4
设CD=x，则DE=x，则BD=8-x，
在Rt△BED中，x2+42=（8-x）2，解得x=3，
∴CD=3．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图以及全等三角形判定和角平分线定理、勾股定理，注意掌握复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，在△ABC中，BC＝2，∠C＝45°，若D是AC的三等分点（AD＞CD），且AB＝BD，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
2、如图，以Rt△ABC（AC⊥BC）的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1﹑S2﹑S3，若S1＋S2＋S3＝12，则S1的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3、下列三个数为边长的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．3，3， B．4，8， C．6，8，10 D．5，5，
4、如图，数轴上点A所表示的数是（ ）
A． B．﹣+1 C．+1 D．﹣1
5、如图所示，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，AE平分∠DAB，则下列说法正确的个数是（ ）
（1）DE平分∠CDA；（2）△EBA≌△EDA；（3）△EBA≌△DCE；（4）AB+CD=AD；（5）AE2+DE2=AD2
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6、点P（－3，4）到坐标原点的距离是（ ）
A．3 B．4 C．－4 D．5
7、如图，一只蚂蚁沿着边长为4的正方体表面从点A出发，爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为（ ）
A．4+2 B．4 C．2 D．4
8、如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的边长为（ ）
A．64 B．16 C．8 D．4
9、如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，则DE的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10、已知一个直角三角形两直角边边长分别为6和8，则斜边边长为（ ）
A． B． C． D．或
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知三角形的三边分别是6，8，10，则最长边上的高等于______．
2、已知跷跷板长为3.9米，小明和小红坐在两端玩跷跷板，在这个过程中，跷跷板的两端端点在水平方向的距离的最小值为3.6米，此时较高端点距离地面的高度等于 _____米．
3、如图，Rt中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确结论的序号有______．
4、在△ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，点E是AB中点，点D在AC上，DE＝3，将△ADE沿着DE翻折，点A的对应点是点F，直线EF与AC交于点G，那么△DGF的面积＝_____．
5、如图，中，，，，点P是直线AB上一点，当时，的面积______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决以下问题：
（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC=4，PA=，则①线段PB= ，PC= ．②猜想：三者之间的数量关系为 ．
（2）如图2，若点P在线段AB的延长线上，则在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程．
（3）若动点P满足，请直接写出的值．（提示：请你利用备用图探究）
2、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点都在格点上（网格线的交点叫做格点），现将△ABC先向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到△A1B1C1
（1）在图中画出△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
（2）如果将△A1B1C1看成由△ABC经过一次平移得到的，那么一次平移的距离是 ．
3、在中，点D为AC上一点，且，过C作，交AB于点E，垂足为点F．
（1）若，，求CD的长；
（2）若，求证：．
4、如图，在中，，，．AD平分交BC于点D．
（1）求BC的长；
（2）求CD的长．
5、如图，在△ABC中，∠C90°．
（1）用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：在边BC上求作一点D，使得点D到AB的距离等于DC的长；
（2）在（1）的条件下，若AC＝6，AB＝10，求CD的长．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
作BE⊥AC于E，根据等腰三角形三线合一性质可得AE=DE，根据∠C＝45°，得出∠EBC=180°-∠C-∠BEC=180°-45°-90°=45°，可得BE=CE，利用勾股定理求出CE=BE=2，根据D是AC的三等分点得出AE=DE==CD，求出CD=1，利用勾股定理即可．
【详解】
解：作BE⊥AC于E，
∵AB＝BD，
∴AE=DE，
∵∠C＝45°，
∴∠EBC=180°-∠C-∠BEC=180°-45°-90°=45°，
∴BE=CE，
在Rt△BEC中，
∴，
∴CE=BE=2，
∵D是AC的三等分点，
∴CD=，AD=AC-CD=，
∴AE=DE==CD，
∴CE=CD+DE=2CD=2，
∴CD=1，
∴AE=1，
在Rt△ABE中，根据勾股定理．
故选B．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三等分线段，掌握等腰三角形的性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三等分线段是解题关键．
2、C
【分析】
根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．
【详解】
解：∵由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴S3+S2=S1，
∵S1+S2+S3=12，
∴2S1=12，
∴S1=6，
故选：C．
【点睛】
题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．
3、D
【分析】
根据勾股定理的逆定理，若两条短边的平方和等于最长边的平方，那么就能够成直角三角形来判断．
【详解】
解：A、32＋32＝（）2，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、42＋（）2＝82，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、62＋82＝102，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、52＋52≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4、D
【分析】
先根据勾股定理计算出BC＝，则BA＝BC＝，然后计算出AD的长，接着计算出OA的长，即可得到点A所表示的数．
【详解】
解：如图，
BD＝1﹣（﹣1）＝2，CD＝1，
∴BC＝＝＝，
∴BA＝BC＝，
∴AD＝﹣2，
∴OA＝1+﹣2＝﹣1，
∴点A表示的数为﹣1．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，实数与数轴的关系，熟练掌握勾股定理，实数与数轴的关系是解题的关键．
5、B
【分析】
作EF⊥AD于F，证明△EBA≌EFA，故（2）不正确；证明Rt△DCE≌DFE，得到DE平分∠CDA；故（1）正确；当△EBA≌△DCE时，得到AB=CD，与原图矛盾，故（3）不正确；根据△EBA≌EFA，Rt△DCE≌DFE，得到AB=AF，DC=DF，得到AB+CD=AF+DF=AD，故（4）正确；证明∠AED=90°，得到AE2+DE2=AD2，故（5）正确．问题得解．
【详解】
解：如图，作EF⊥AD于F，则∠AFE=∠DFE=90°，
∵∠B=∠C=90°，
∴∠B=∠AFE=90°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠FAE=∠BAE，
∵AE=AE，
∴△EBA≌EFA，故（2）不正确；
∵△EBA≌EFA，
∴EB=EF，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∴EF=EC，
又∵DE=DE，
∴Rt△DCE≌DFE，
∴∠CDE=∠FDE，
∴DE平分∠CDA；故（1）正确；
当△EBA≌△DCE时，AB=EC，BE=CD，
由题意得BE=CE，可得AB=CD，与原图矛盾，故（3）不正确；
∵△EBA≌EFA，Rt△DCE≌DFE，
∴AB=AF，DC=DF，
∴AB+CD=AF+DF=AD，故（4）正确；
∵∠B=∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠CDA=180°，
∵∠FAE=∠BAE，∠CDE=∠FDE，
∴∠EDA+∠EAD=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE2+DE2=AD2，故（5）正确．
故选：B
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据题意添加辅助线，证明△EBA≌EFA、Rt△DCE≌DFE是解题关键．
6、D
【分析】
利用两点之间的距离公式即可得．
【详解】
解：点到坐标原点的距离是，
故选：D．
【点睛】
本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．
7、C
【分析】
将正方体展开，右边的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB最短，根据三角形中位线，求出CN的长，利用勾股定理求出AC的长即可．
【详解】
解：将正方体展开，右边的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，
∵AN＝MN，CN∥BM
∴CN＝BM＝2，
在Rt△ACN中，根据勾股定理得：AC＝＝＝2，
故选：C．
．
【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问题，涉及的知识有：三角形中位线，勾股定理，熟练求出CN的长是解本题的关键．
8、C
【分析】
根据勾股定理求出正方形A的面积，根据算术平方根的定义计算即可．
【详解】
解：由勾股定理得，正方形A的面积＝289－225＝64，
∴字母A所代表的正方形的边长为＝8，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
9、B
【分析】
在中利用勾股定理求出长，利用折叠性质：得到，求出对应相等的边，设DE＝x，在中利用勾股定理，列出关于的方程，求解方程即可得到答案．
【详解】
解：∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，
∴AC＝，
∵AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，
，
∴A、B、E共线，AC＝AE＝10，DC＝DE，
∴BE＝AE﹣AB＝10﹣6＝4，
在Rt△BDE中，设DE＝x，则BD＝8﹣x，
∵BD2+BE2＝DE2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴DE＝5，
故选：B．
【点睛】
本题主要是考查了直角三角形的勾股定理以及折叠中的三角形全等的性质，熟练利用折叠得到全等三角形，找到直角三角形中的各边的关系，利用勾股定理列方程，并求解方程，这是解决该类问题的关键．
10、A
【分析】
已知两直角边边长分别为6和8，利用勾股定理求斜边即可．
【详解】
解： ∵一个直角三角形两直角边边长分别为6和8，斜边边长==10，
∴斜边边长为10．
故选A．
【点睛】
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中明确直角边或斜边，直接应用勾股定理，如果条件不明确时那条边是斜边，要注意讨论．
二、填空题
1、
【分析】
根据勾股定理的逆定理，得这个三角形是直角三角形；根据直角三角形的面积计算，即可得到答案．
【详解】
∵三角形的三边分别是6，8，10，
又∵
∴这个三角形是直角三角形
∵最长边上的高
∴最长边上的高为：
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理，从而完成求解．
2、##
【分析】
设较高端点距离地面的高度为h米，此时，跷跷板长即为直角三角形的斜边长，两端端点在水平方向的距离的最小值即为一条直角边长，利用勾股定理即可求出结果．
【详解】
解：设较高端点距离地面的高度为h米，
根据勾股定理得：h2＝3.92﹣3.62＝2.25，
∴h＝1.5（米），
故答案为：1.5．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决问题的关键．
3、①②④
【分析】
根据折叠的性质，，，，，，，然后结合等腰三角形的性质，直角三角形的性质，以及勾股定理，分别对每个选项进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：由折叠的性质可知，，，，，，，
∴，
∵，
∴；故①正确；
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；故②正确；
由勾股定理，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理，则，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴；故④正确；
∴正确的选项有①②④；
故答案为：①②④；
【点睛】
本题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，正确得到边相等、角相等．
4、6或6+9
【分析】
分两种情况：①如图1，当点D在H点上方时，过点E作EH⊥AC交AC于点E，过点G作GQ⊥AB交AB于点Q，②如图2，当点D在H点下方时，过点E作EH⊥AC交AC于点E，过点G作GQ⊥AB交AB于点Q，先求出三角形AEG的AE边上的高GQ和三角形ADE的AD边上的高，根据S△DGF＝2S△AED﹣S△AEG可分别求出答案．
【详解】
解：①如图1，当点D在H点上方时，过点E作EH⊥AC交AC于点E，过点G作GQ⊥AB交AB于点Q，
∵AB＝12，点E是AB的中点，
∴AE＝AB＝6，
∵EH⊥AC，
∴∠AHE＝90°，
∵∠A＝30°，AE＝6，
∴AH＝＝＝3，
∵DE＝3，
∴DH＝＝＝3，
∴DH＝EH，AD＝AH﹣DH＝3﹣3，
∴∠EDH＝45°，
∴∠AED＝∠EDH﹣∠A＝15°，
由折叠的性质可知，∠DEF＝∠AED＝15°，
∴∠AEG＝2∠AED＝30°，
∴∠AEG＝∠A，
∴AG＝GE，
∵GQ⊥AE，
∴AQ＝AE＝3，
∵∠A＝30°，
∴GQ＝AG，
∴GQ2+32＝（2GQ）2，
∴GQ＝．
∵S△AED＝S△FED，
∴S△DGF＝2S△AED﹣S△AEG，
∴S△DGF＝2××3﹣＝6﹣9．
②如图2，当点D在H点下方时，过点E作EH⊥AC交AC于点E，过点G作GQ⊥AB交AB于点Q，
∵AB＝12，点E是AB的中点，
∴AE＝AB＝6，
∵EH⊥AC，
∴∠AHE＝90°，
同理求得DH＝EH，AH＝3，AD＝3+3，
∴∠DEH＝45°，
∴∠AED＝90°﹣∠A+∠DEH＝105°，
由折叠的性质可得出∠DEF＝∠AED＝105°，
∴∠AEG＝2∠AED﹣180°＝30°，
∴∠AEG＝∠A，
∴AG＝GE，
同①求出GQ＝，
∵S△DGF＝2S△AED﹣S△AEG，
∴S△DGF＝2×﹣＝6+9．
故答案为：6或6+9．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
5、或
【分析】
分点P在AB延长线上和点P在线段AB上两种情况讨论，利用等腰三角形的判定和性质以及勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵，，，
∴AB=，
①当点P在AB延长线上时，过点C作CD⊥AB于点D，如图：
∵∠BPC=∠ABC，且∠BPC+∠BCP=∠ABC，
∴∠BPC=∠BCP，
∴BC=BP=1，
∵△ABC的面积为：ABCD=BCAC，
∴CD=，
∴△BPC的面积=PBCD=；
②当点P在线段AB上时，过点C作CD⊥AB于点D，延长AB到Q，使BQ=BC=1，连接CQ，如图：
∵BQ=BC，
∴∠BQC=∠BCQ，
∴∠BQC=∠ABC，
∵∠BPC=∠ABC，
∴∠BPC=∠BQC，
∴CP=CQ，
∵CD⊥AB，
∴PD=DQ，
由①得CD=，
∴BD=，
∴PB=PD+BD=DQ+BD=BQ+2BD=，
∴△BPC的面积=PBCD=；
综上，△BPC的面积为或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的外角性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
三、解答题
1、（1）①，；②AP2+BP2=PQ2；（2）见解析；（3）或
【分析】
（1）①在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的长，再利用SAS证明△APC≌△BQC，得出BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°，那么△PBQ为直角三角形，依据勾股定理求出PQ=，即可得到PC；
②过点C作CD⊥AB，垂足为D，由△ACB为等腰直角三角形，可求得：CD=AD=DB，然后根据AP=DC-PD，PB=DC+PD，可证明AP2+BP2=2PC2，因为在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则可证明AP2+BP2=2PC2，在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，可得出AP2+BP2=PQ2的结论；
（3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PA、PD的长（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACD和Rt△PCD中由勾股定理求得AC和PC的长度即可．
【详解】
解：（1）如图①．连接BQ，
①△ABC是等腰直角三角形，AC=4，
∴AB=，
∵PA=，
∴PB=，
∵△ABC和△PCQ均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACP=∠BCQ，PC=CQ，
∴△APC≌△BQC（SAS）．
∴BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°．
∴△PBQ为直角三角形．
∴PQ=．
∵，
∴；
故答案为：，；
②如图①．过点C作CD⊥AB，垂足为D．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB．
∵AP2=（AD-PD）2=（DC-PD）2=DC2-2DC PD+PD2，
PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DC PD+PD2，
∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，
∴AP2+BP2=2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2=PQ2．
∴AP2+BP2=PQ2；
故答案为：AP2+BP2=PQ2；
（2）如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB．
∵AP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DC PD+PD2，
PB2=（DP-BD）2=（PD-DC）2=DC2-2DC PD+PD2，
∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，
∴AP2+BP2=2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2=PQ2．
∴AP2+BP2=PQ2；
（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
①点P位于点P1处时．
∵，
∴P1A＝AB＝， ，
在Rt△P1CD中，由勾股定理得：
，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
，
∴；
②当点P位于点P2处时．
∵，
∴P2A＝AB＝CD， ，
在Rt△P2CD中，由勾股定理得：
，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
，
∴；
综合上述，的值为：或．
【点睛】
本题主要考查的是等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，以及全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，根据等腰直角三角形的性质得CD=AD=DB，将PA、PB、PQ、AC、PC用含DC的式子表示出来是解题的关键．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行求解.
2、（1）△A1B1C1为所求，图形见详解；（5，3）；（2）5．
【分析】
（1）先求出点A（-3，2），点B（-2，-2），点C（2，-1），根据点平移的特征上加下减，右加左减原则可得A1（0，6），点B1（1，2），点C1（5，3），利用描点A1（0，6），点B1（1，2），点C1（5，3），连接A1B1、B1C1、C1 A1，则△A1B1C1为所求；
（2）根据勾股定理求出AA1的长即可．
【详解】
解：（1）根据图形位置点A（-3，2），点B（-2，-2），点C（2，-1），
△ABC先向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到△A1B1C1，
根据点平移的特征上加下减，右加左减原则可得：
A1（-3+3，2+4）即（0，6），点B1（-2+3，-2+4）即（1，2），点C1（2+3，-1+4）即（5，3），
在平面直角坐标系中描点A1（0，6），点B1（1，2），点C1（5，3），
顺次连结A1B1、B1C1、C1 A1，则△A1B1C1为所求；
故答案为：（5，3）；
（2）根据勾股定理AA1=，
将△A1B1C1看成由△ABC经过一次平移得到的，那么一次平移的距离是5，
故答案为5．
【点睛】
本题考查平移作图，勾股定理，掌握平移作图方法是先求点坐标，在根据平移的方向与距离平移到指定位置，连线成图，和勾股定理应用是解题关键．
3、
（1）
（2）见解析
【分析】
（1）先求解 利用勾股定理再求解 再利用勾股定理可得的长；
（2）过点D、C作DH⊥AB于H，CG⊥AB于G，交BD于P，先证明△CGE≌△CGB，可得BG=BE，再证明△BHD≌△CGB，可得DH=BG=BE，最后结合等腰直角三角形的性质可得结论.
（1）
解：∵CE⊥BD
∴∠DFC=∠BFC=90°
∵BF=3，DF=2，
∴BC=BD=5
在Rt△BFC中，
在Rt△DFC中，CD=
（2）
证明：过点D、C作DH⊥AB于H，CG⊥AB于G，交BD于P
∴∠DHB=∠CGB=90°
∵∠BFC=90°，
∠1=∠3
∵BC=BD
∴∠4=∠BCD
即∠A+∠3=∠ACG+∠2
∠A=∠ACG=45°
∴∠3=∠2=∠1
又∵CG=CG，∠CGE=∠CGB =90°
∴△CGE≌△CGB
∴BG=BE
又∵∠3=∠2，BD=BC，∠BHD=∠CGB =90°
∴△BHD≌△CGB
∴DH=BG=BE
在等腰直角△AHD中，AD=DH=BE
即BE=AD
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，作出适当的辅助线关键全等三角形是解本题的关键.
4、（1）；（2）3．
【分析】
（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得DE=DC，利用面积法得到关于CD的方程，求解即可．
【详解】
解：（1）∵AB=10，AC=6，
∴BC=；
（2）作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠CAB，
∴DE=DC，
∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，
∴×10×DE+×6×CD=×6×8，
∴CD=3．
【点睛】
本题考查了勾股定理，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
5、（1）图见详解；（2）3.
【分析】
（1）根据题意作∠BAC的平分线交BC于D，根据角平分线的性质得到点D满足条件；
（2）根据题意作DE⊥AB于E，先根据勾股定理计算出BC=8，再根据角平分线性质得到DC=DE，通过证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AE=AC=6，则EB=4，设CD=x，则BD=8-x，在Rt△BED中，利用勾股定理得到x2+42=（8-x）2，解方程求出即可．
【详解】
解：（1）如图，点D即为所作；
（2）作DE⊥AB于E，如上图，
在Rt△ABC中，BC==8，
∵AD为角平分线，
∴DC=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=6，
∴EB=AB-AE=10-6=4
设CD=x，则DE=x，则BD=8-x，
在Rt△BED中，x2+42=（8-x）2，解得x=3，
∴CD=3．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图以及全等三角形判定和角平分线定理、勾股定理，注意掌握复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．