高三年级2021一2022学年第二学期开学考试数学试卷
民代
满分：150分钟时间：120分钟
一、单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的
1.复数z=云（为虚数单位)的虚部是(
A.-gi
B.是
D.
已知案合4ez可，a-体-x以，则4n8-(）
2.
A.{x2
B.{-1,01,2,3}
C.{-2,-1,1,2,3}
D.R
3.若a>0,b>0,则“a+b≥2”是“ab≥1”的()
是面
A,必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D,不充分不必要条件
4.如图为并排的4块地，现对4种不同的农作物进行种植试验，要
求每块地种植1种农作物，相邻地块不能种植同一种农作物且4块
②
③
④
地全部种上农作物，则至少同时种植3种不同农作物的种植方法种
数为()
A.24
B.80
C.72
D.96
5.已知函数fx)=π+cosx.Inx++x)
在区间[-5,5]的最大值是M,最小值是m,
则f(M+m)的值等于()
点圆两交珠=+
(一：凡团1-
'的人(
A.0
B.10
C.
D.
K
4
2
直9兴言性
,法西级千球园点(10
6.若Cos10°
-1cos10°=√5，则1的值为(
)
越，S-以
sin10
A.1
B.4
C.-1
D.2
7.如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面与地面的角落内，容
器与地面所成角为30°，液面为椭圆形，椭圆长轴上的顶点M,N到
容器底部的距离分别为12和18，则容器内液体的体积为()
A.45π
B.48π
C.36π
D.15π
8。已匆知双曲线c号节-a>0b>0的左右焦点分别为，F,过的直线交双曲
高三开学考试数学第1页，共4页
回
线的右支于A,:两点.点M满足花+丽=2，且丽.丽=0，若os∠ArB=
则双曲线的离心率是()
A.9
B.5
C.2·1
D,5
二、
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的2分，有选错得0分.
9.已知(+2广(aeN)展开式申共有7项。则该展开式(
)
A.所有项的二项式系数和为64
B.所有项的系数和为1
C.二项式系数最大项为第4项
D,有理项共有4项
10.如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AC=BC=AA,=2,∠ACB=90°，
D,E,F分别为AC,A4,AB的中点，则下列结论正确的是()
A.AC与EF相交
B.EF与AC所成的角为90°
C.点C到平面DEF的距离为3N5
D.三棱锥A一BCC外接球表面积为12π
1.已知直线1：y=-)与抛物线C:y=2x(>0)相交于4，B两点，点A
在x轴上方，点M(-1,-)是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列
结论正确的是()
宜大领如晒)超
FA
A.p=2
B.k=-2
C.MF⊥AB
D
FB
5
12.
已知实数a,b满足等式e-e°=2(2b-a),则下列不等式中可能成立的有()
A.aD.0三、填空题：共4小题，每题5分，共20分.
13.已知某样本数据分别为1,2,3,4,6，若样本均值x=3,则样本方差2=
14.数学家也有许多美丽的错误，法国数学家费马于1640年提出了
F,=2+1(n=0,1,2,)是质数的猜想，直到1732年才被大数学家欧拉算出
F=641×6700417不是质数现设a,=1og4(E-1)(n=1,2,),S,表示数列{a,}的
高三开学考试数学第2页，共4页
高三开学考参考答案
1~5．CBADC 6~8.BAC 9．ACD 10．BCD 11．ABC 12．ACD
14
13． 14．6 15 3． 16． 2 1 5 2
17．(1)设数列 an 1 的公比为q，bn an 1，则an bn 1.
由 a2 5得b2 4，由a3 a4 26得b3 b4 24
2
，所以 4 q q 24，解得 q= 2或 q 3（舍去），
n 2 n 2
所以bn b2q 4 2 2
n .所以数列 an 的通项公式为 a nn 2 1........................................5分
(2)由条件知 na n 2 3n n 2 n，设 An 1 2 2 2 3 2 n 2n，
则 2An 1 2
2 2 23 3 24 n 1 2n n 2n 1，
A 2 22 23 2 n n 2 n 1 2 2 n 1 n 2 n 1将以上两式相减得 n 1 n 2 n 1 2 ，
A n 1 2n 1 2 . n 1 nB 所以 n 设 n 1 2 3 n ，2
n 1 n 1 n
2
则 Sn An Bn n 1 2 2
n n
n 1 2n 1 2 .......................................................10分
2 2 2
a2 2 218．(1) c b由余弦定理可得2a b 2c ，整理得 a2 b2 c2 ac .
2ac
a2 b2 c2 1
于是 cosC ，又C 0, ，所以，C ．………………………..4分
2ab 2 3
3 1
(2)由题意可得b sin B cosB a cosB 2 3，
2 2
bsin 整理得 B
a cosB 2 3 .............................................................6分
6
又 B
A A，所以
6 3 6 2 bcos A acosB 2 3
.
b2 c2 a2 a2 c2 b2
由余弦定理可得b a 2 3，整理得，c 2 3 .………………8分
2bc 2ac
由余弦定理可得 c2 a2 b2 2abcosC a2 b2 ab ab，
即 ab c2 12，当且仅当 a b时取等号. ………………………………………………..10分
所以，△ABC S 1的面积 absinC 3 ab 3 3，当且仅当 a b时取等号.
2 4
答案第 1页，共 4页
因此，△ABC面积的最大值为3 3 .……………………………………..12分
2
19(1) 200(80 35 65 20) 1800根据题意可得:K2的观测值K 2 5.643 3.841，所以有95%的把145 55 100 100 319
握认为支付方式的选择与年龄有关．............................................................6分
4
(2) 4 由题意可知：在 60岁以下的市民中抽到 1人选择“手机支付”的概率为 ，所以 X ~ B
5
3,
5 ，
X 的所有可能取值为 0，1，2，3．
4 0 3 1 2P(X 0) C0 1 1 1 4 1 123 ，P(X 1) C5 5 125 3 5
，
5 125
2 1 3 0
P(X 2) C2 4 1 48 4 1 643 ， P(X 3) C
3
3 ………………………10分
5 5 125 5 5 125
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
1 12 48 64
P
125 125 125 125
E(X ) 3 4 12 D(X ) 3 4 1 12 ， ．............................................................12分
5 5 5 5 25
20．(1)证明：在梯形 ABCD中， AB//CD， AD CD BC 1，故梯形 ABCD为等腰梯形，
因为 BCD
2
，则 ADC
2
，所以， BAC ACD ，
3 3 6
又因为 ABC
BCD ，则 ACB ABC BAC ， AC BC，
3 2
因为CF 平面 ABCD， AC 平面 ABCD， AC CF，QBC CF C， AC 平面BCF，
因为四边形 ACFE为矩形，则 AC //EF，因此， EF 平面BCF ............4分
(2)解：因为CF 平面 ABCD，AC BC，以点C为坐标原点，CA、CB、CF所在直线分别为 x、
y、 z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，..............................6分
由余弦定理可得 AC AD 2 CD 2 2AD CD cos 2 3 ，
3
则 A 3,0,0 、B 0,1,0 、C 0,0,0 、E 0,0,1 、 F 3,0,1 ，设点M t,0,1 ，其中0 t 3，
uuur
设平面MAB的法向量为m x, y, z ， AB 3,1,0 ， AM t 3,0,1 ，
→ →
= 3 = 0
由{ → ，取 x 1，可得m 1, 3, 3 t→ ，..............................8分
= ( 3) + = 0
答案第 2页，共 4页
r m n
易知平面 FCB的一个法向量为 n 1,0,0 ， cos m,n
1
m n 2 ，...................10分4 t 3
所以，当 t 0时， cos m,n 取最小值，此时平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，
7
此时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值为 ...............................12分
7
21 c 3．(1)由题意得 e ，由圆 F1 : (x c)2 y2 1与圆 F2 : (x c)2 y 2 9相交，两圆交点在椭圆a 2
E上，可知：2a 1 3，又a2 b2 c2，解得： a 2,b 1,c 3 .所以椭圆E的方程为：
x2
y2 1 ..............................4分
4
(2)证明：①当直线 AB的斜率不存在时，设直线 l : x t，
4 t2 4 t2
由题意可知 t 0，且 t 2，设 A t, ,B t,
2 2
，
4 t2 4 t2
因为直线 PA,PB的斜率之和为 2，所以 1 12 2 2，
t t
化简得 t 1，所以直线 l的方程为 x 1 .............................................................6分
②当直线 AB的斜率存在时，设 AB方程为 y kx m m 1 , A x1, y1 ,B x2 , y2 ，
x2
y2 1 2 2 2
联立 4 消去 y，化简得 4k 1 x 8kmx 4m 4 0 .
y kx m
2
x1 x
8km , x x 4m 4 ，由题意可得Δ 16 4k 2 m2 1 02 2 1 2 2 ，..............................8分4k 1 4k 1
y 1 y 1 kx m 1 kx m 1
因为直线 PA,PB的斜率之和为 2 1 2 1 2，所以 2x x ，
2
x x ，1 2 1 2
2kx1x2 m 1 x1 x 2 2， 2k 2 x1x2 m 1 x1 x2 0x x ，1 2
2k 2 4m
2 4
2 m 1
8km
0 m 1 ，化简整理得 k m 1，..............................10分
4k 1 4k 2 1
当且仅当Δ 16 4(m 1)
2 m2 1 16 3m2 8m 5 0 5时，即m 或m 1且m 1 时符合题意，3
直线 AB的方程： y m 1 x m，即 y 1 m 1 x 1 ，
故直线 l过定点 1, 1 ，综上①②可得直线 l过定点 1, 1 ........................................................12分
22.(1)由题意，当m 0时， f x 的定义域为 0, .
答案第 3页，共 4页
f x m x 1 x又 ，由 f x 0得0 x 1；由 f x 0得 x 1.
mx x
所以，函数 f x 的单调递增区间为 0,1 ，单调递减区间为 1, ；
当m 0时， f x 的定义域为 , 0 .
又 f x m x 1 x 0恒成立，函数 f x 的单调递减区间为 , 0 ；
mx x
综上所述，当m 0时， f x 的单调递增区间为 0,1 ，单调递减区间为 1, ；
当m 0时， f x 的单调递减区间为 , 0 ...............................4分
(2)由(1)可知，m 0 .
x x x
f (x) 0 m e g(x) e (x 0) g (x) e (x 1)令 ，得 ，令 ，则
x x x2
，
令 g (x) 0，可得 x 1， 当 x (0,1)时， g (x) 0；当 x (1, )时， g (x) 0 .
所以 g(x)在区间 (0,1)上单调递减，在区间 (1, )上单调递增.所以 g(x)min g(1) e，
当 x趋近于 0时，y趋近于 ；当 x趋近于 时，y趋近于 ，所以m (e, ) ...........6分
ln mx1 x1, ln mx2 x
x2
2，两式相减，得 ln x x
x
2 1 .
1
t x令 2 2，则 ln t (t 1)x x
ln t
x 1，故 1 , x
t ln t
t 1 2
t 1，............................................................8分1
1
ln t 1 ln tt H t 1
1
ln t t 2
记 h(t) , t 2，则 h (t) 2 ，构造函数 t ，t 1 (t 1)
H t 1 1 1 t ，所以H t 在 2, H '上 t 0,H t 递减，
t 2 t t 2
H 2 1 1 1 1由于 ln 2 ln 2 ln e 0，
2 2 2
1 1 ln t
所以当 t 2时，H t 0，所以 h (t) t 2 0，(t 1)
所以函数 h(t)在区间 (2, )上单调递减，故 x1 h(t) h(2) ln 2， 即0 x1 ln2 1，...........10分
ex
而m g(x) ， g(x)在区间 (0,1)上单调递减，
x
故m g x1
2
g (ln 2) 2 m ,
ln 2，即 ln 2 ..............................................................................12分
答案第 4页，共 4页