【备考2022】泰安市近十年中考数学 考点18 函数的概念、图象与性质（含答案）

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十八、 函数的概念、图象与性质
[基础知识]
一次函数、反比例函数、二次函数的一般形式 ；
一次函数中系数k、b与图象位置的关系、函数的增减性 ；
反比例函数中系数k与图象位置的关系、函数的增减性；
二次函数中系数a、b、c与图象位置的关系、函数的增减性。
①二次函数的a决定抛物线的开口方向和开口大小②抛物线对称轴的位置决定a、b的符号③二次函数的c决定抛物线与Y轴交点的位置④ 当x取特殊值1、-1、2-、-2等时对应代数式的值⑤二次函数的增减性⑥自变量x取不同值，所对应的y值的大小比较
二次函数的对称轴、顶点坐标。
函数与方程、不等式的关系。
分段函数（自变量取值范围）的确定。
[中考真题]
（2021）8．（4分）将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（　　）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）
（2021）15．（3分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0），对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根．其中正确的为 　 　（将所有正确结论的序号都填入）．
（2020）9．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
（2020）17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：则下列结论：
①a＞0；
②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；
③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；
④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是　 　．（把所有正确结论的序号都填上）
（2019）16．（4分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为　 　．
（2018）7．（3分） 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数y=与一次函数y=ax+b在同一坐标系内的大致图象是（　　）
B．
C． D．
（2018）17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：则下列结论：
①a＞0；
②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；
③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；
④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是　 　．（把所有正确结论的序号都填上）
（2017）13．已知一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（　　）
A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0 C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜0
（2016）12．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（　　）
B． C．D．
（2015）19．（3分） 某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　）
　 A．﹣11 B． ﹣2 C． 1 D． ﹣5
（2014）14． 如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（　　）
ABC．D
（2014）17． 已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（　　）
　A．B CD．
（2013）16．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（　　）
（2013）17．把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（　　）
　 A．1＜m＜7 B．3＜m＜4 C．m＞1 D．m＜4
（2012）10.（2012泰安）二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则 的最大值为（　　）
A.　 　B.3　 　C.　 　D.9
（2012）12.（2012泰安）将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（　　）
　 B. 　
C. D.
（2012）16.二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过（　　）
第一、二、三象限　B.第一、二、四象限　
C.第二、三、四象限　D.第一、三、四象限
（2012）19. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（　　）
A.　 　B.　 　C.　 　D.
[答案解析]
（2021）8．（4分）将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（　　）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）
【分析】利用函数的概念，自变量和应变量的关系解决问题。
【解答】：y＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x2+2x）+3
＝﹣[（x+1）2﹣1]+3
＝﹣（x+1）2+4，
∵将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
∴得到的抛物线解析式为：y＝﹣x2+2，
当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2+2＝﹣4+2＝﹣2，故（﹣2，2）不在此抛物线上，故A选项不合题意；
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）2+2＝﹣1+2＝1，故（﹣1，1）在此抛物线上，故B选项符合题意；
当x＝0时，y＝﹣02+2＝0+2＝2，故（0，6）不在此抛物线上，故A选项不合题意；
当x＝1时，y＝﹣12+2＝﹣1+2＝1，故（1，﹣3）不在此抛物线上，故A选项不合题意；
故选：B．
（2021）15．（3分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0），对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根．其中正确的为 　 　（将所有正确结论的序号都填入）．
【分析】根据函数图象与系数的关系解答问题。
【解答】：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴的交点（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线x轴的另一个交点在（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，即②正确；
由图象无法判断y的最大值，故③错误；
方程ax2+bx+c+1＝0，可看作二次函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的交点个数，
由图象可知，必然有2个交点，即方程ax2+bx+c+1＝0有2个不想等的实数根．
故④正确．
故答案为：②④．
（2020）9．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解答】：A、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故B错误；
C、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故C正确；
∵D、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故D错误；
故选：C．
x ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2
y 6 0 ﹣6 ﹣4 6
（2020）17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：则下列结论：
①a＞0；
②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；
③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；
④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是　 　．（把所有正确结论的序号都填上）
【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可．
【解答】：将（﹣4，0）（0，﹣4）（2，6）代入y＝ax2+bx+c得，
，解得，，
∴抛物线的关系式为y＝x2+3x﹣4，
a＝1＞0，因此①正确；
对称轴为x＝﹣，即当x＝﹣时，函数的值最小，因此②不正确；
把（﹣8，y1）（8，y2）代入关系式得，y1＝64﹣24﹣4＝36，y2＝64+24﹣4＝84，因此③正确；
方程ax2+bx+c＝﹣5，也就是x2+3x﹣4＝﹣5，即方x2+3x+1＝0，由b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0可得x2+3x+1＝0有两个不相等的实数根，因此④正确；
正确的结论有：①③④，
故答案为：①③④．
（2019）16．（4分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为　 　．
【分析】根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．
【解答】：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，
∴，
得b＝﹣4，
则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，
解得，x1＝2，x2＝4．
故意答案为：x1＝2，x2＝4．
【总结】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得b的值是解题的关键．
（2018）7．（3分） 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数y=与一次函数y=ax+b在同一坐标系内的大致图象是（　　）
B．
C． D．
【分析】 首先利用二次函数图象得出a，b的值，进而结合反比例函数以及一次函数的性质得出答案．
【解答】：由二次函数开口向上可得：a＞0，对称轴在y轴左侧，故a，b同号，则b＞0，
故反比例函数y=图象分布在第一、三象限，一次函数y=ax+b经过第一、二、三象限．
故选：C．
【总结】此题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象，正确得出a，b的值是解题关键．　
（2017）13．已知一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（　　）
A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0 C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜0
【分析】由一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交且函数值y随自变量x的增大而减小，可得出k﹣2＜0、﹣m＜0，解之即可得出结论．
【解答】：∵一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，
∴k﹣2＜0，﹣m＜0，
∴k＜2，m＞0．
故选A．
（2016）12．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（　　）
B． C．D．
【分析】由y=ax2+bx+c的图象判断出a＞0，b＜0，于是得到一次函数y=ax+b的图象经过一，二，四象限，即可得到结论．
【解答】：∵y=ax2+bx+c的图象的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过一，二，三象限．
故选A．
【总结】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的取值范围．
（2015）19．（3分） 某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　）
　 A．﹣11 B． ﹣2 C． 1 D． ﹣5
【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．
【解答】：由函数图象关于对称轴对称，得
（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上，
把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得
，
解得，
函数解析式为y=﹣3x2+1
x=2时y=﹣11，
故选：D．
【总结】本题考查了二次函数图象，利用函数图象关于对称轴对称是解题关键．
：
（2014）14． 如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（　　）
ABC．D
【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．
【解答】当点Q在AC上时，∵∠A=30°，AP=x，∴PQ=xtan30°=　∴y=×AP×PQ=×x×=x2；
当点Q在BC上时，如图所示：
∵AP=x，AB=16，∠A=30°，∴BP=16﹣x，∠B=60°，
∴PQ=BP tan60°=（16﹣x）．
∴==．
∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．
故选：B．
【总结】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．
（2014）17． 已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（　　）
　A．B CD．
【分析】根据二次函数图象判断出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．
【解答】：由图可知，m＜﹣1，n=1，所以，m+n＜0，
所以，一次函数y=mx+n经过第二四象限，且与y轴相交于点（0，1），
反比例函数y=的图象位于第二四象限，
纵观各选项，只有C选项图形符合．故选C．
【总结】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键．
（2013）16．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（　　）
【分析】令x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．
【解答】：x=0时，两个函数的函数值y=b，
所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确．
故选C．
【总结】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．　
（2013）17．把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（　　）
　 A．1＜m＜7 B．3＜m＜4 C．m＞1 D．m＜4
【分析】直线y=﹣x+3向上平移m个单位后可得：y=﹣x+3+m，求出直线y=﹣x+3+m与直线y=2x+4的交点，再由此点在第一象限可得出m的取值范围．
【解答】：直线y=﹣x+3向上平移m个单位后可得：y=﹣x+3+m，
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为（，），
∵交点在第一象限，
∴，
解得：m＞1．
故选C．
【总结】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第一象限的点的横、纵坐标均大于0．　
（2012）10.（2012泰安）二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则 的最大值为（　　）
A.　 　B.3　 　C.　 　D.9
【分析】抛物线与x轴的交点。
【解答】：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，
∴a＞0.，即，
∵一元二次方程有实数根，
∴△=，即，即，解得，
∴m的最大值为3．
故选B．
（2012）12.（2012泰安）将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（　　）
A.　 B. 　C. D.
【分析】二次函数图象与几何变换。
【解答】：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：．
故选A．
（2012）16.二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过（　　）
A.第一、二、三象限　B.第一、二、四象限　C.第二、三、四象限　D.第一、三、四象限
【分析】二次函数的图象；一次函数的性质。
【解答】：∵抛物线的顶点在第四象限，
∴﹣m＞0，n＜0，
∴m＜0，
∴一次函数的图象经过二、三、四象限，
故选C．
（2012）19. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（　　）
A.　 　B.　 　C.　 　D.
【分析】二次函数图象上点的坐标特征。
【解答】：∵函数的解析式是，如右图，
∴对称轴是，
∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，
于是．
故选A．
[解题攻略]
明确函数的性质，由函数图象可以判断系数的取值范围是解本类题目的关键．
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